第5讲：容斥原理——总结容斥原理中最常考的几种题型(小升初计数重点考查内容)练习题补充包

第5讲：容斥原理——总结容斥原理中最常考的几种题型（小升初计
数重点考查内容）练习题补充包
【习题1】
三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只．张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？
【习题2】
五年级共110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加两个小组的有80人，参加了三个小组的有20人，那么五年级有多少人没有参加小组？
【习题3】
培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？
【习题4】
光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？
【习题5】
甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
【习题6】
五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了
语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。

请问：参加文艺小组的学生有多少人？
【习题7】
唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难。

请问：师徒四人共同渡过的有多少难？
【习题8】
有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？
【习题9】
参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有21人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．
【习题10】
参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有11人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．
【习题11】
某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．
第5讲：容斥原理——总结容斥原理中最常考的几种题型（小升初计
数重点考查内容）练习题补充包答案
【习题1】 题目解析：
根据题意，三位经理一共买过股票：()()66402317139696++-+++=（只）．
【习题2】 题目解析：
使用文式图辅助分析，设没参加小组的为x 人，则在0123P x P P P -=-+中，0110P =，320P =，
1925158201P =++=，而所谓“至少参加了两个小组的”即图中的阴影部分：23280P P -=，
解得2380280220120P P =+=+⨯=.从而列方程：11020112020x -=-+，解得9x =.
【习题3】 题目解析：
订阅报纸的有：500350250400100100100600++---+=（人）； 没有订报纸的有：1000600400-=（人）．
【习题4】 题目解析：
根据容斥原理，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是425533130++=（人）．把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130********-+++=（）(人)． 实际上，若设总数为0P ，满足一个条件的为1P ，满足两个条件的为2P ，满足三个条件的为3P ，则有0123P P P P =-+，本题中1425533130P =++=，21810937P =++=，35P =，从而013037598P =-+=.
【习题5】 题目解析：
68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．
如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：523022-=(块)玻璃．
【习题6】 题目解析：
这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。

因而必须先求出这个三项活动都参加人数。

再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。

设三项活动都参加人数为x ，根据题意得参加文艺小组的人数为7x ，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x÷3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x 。

如图可得464242010x -=+-，3x =，所以：参加文艺小组的学生有7x=21人。

【习题7】 题目解析：
唐僧与徒弟共同渡过了81378-=难，设师徒四人共同渡过了x 难，根据容斥原理有77656264616078x ++---+=
解得： 59x = 因此师徒四人共同渡过了59难
【习题8】 题目解析：
答对题数的合计是：9286618757383++++=人.
为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于3832100183-⨯=人.把这183尽可能少分给一些人.
从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对第5题的最少人数57人都是满分的话，余下的答对题数的合计是()183525712--⨯=人.
再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分的话，答对了4道题的最多的情况下是61-57=4人.
丙
乙甲
B
A
10-x x
x
x 语20
文7x
数24
这时，余下的答对题数的合计是：12-（4-2）×4=4. 答对3道题的人数是()4324÷-=.
根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人. 所以至少有65人及格.
【习题9】 题目解析：
由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(8921)219++÷=人参加竞赛，但参加英语竞赛的有21人，因此至少应该有21人参加竞赛
【习题10】 题目解析：
由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(8911)214++÷=人参加竞赛，1495-=，14113-=，参加语文和英语竞赛的有5人，参加语文和数学竞赛的有3人，参加数学和英语竞赛的有6人，符合题意，因此至少有14人参加竞赛
【习题11】 题目解析：
根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次。

要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷=，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科。

那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人。

也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加。

检验可知符合题设条件。

所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人。

（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）。