西南交通大学_数学物理方程第八讲

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v(0, t ) 0,
v(l , t ) 0.
(5)
由(2)(4)容易看出,要使(5)成立,只要
w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u 2 (t ),
(6)
其实满足(6)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的,为了以后计 算方便起见,通常取 w( x, t ) 为 x 的一次式,即设
l
x,
2
(3)
通过计算可得,
vn (t ) f n ( )e
0
t
na ( t ) l
d ,
2 l nx 2 2 l x nx f n (t ) f ( x, t ) sin dx 1 sin dx . 0 0 l l l l l n
第八讲:非齐次边界条件的处理 陈桂玲
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陈桂玲
复习:
对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言:
a) 当方程和边界条件均为齐次时,不管初值条件如何,可直接
应用分离变量法求解; b) 当边界条件为齐次、方程与初始条件为非齐次时,原定解问 题分解成两个, 其一是方程为齐次的并具有原初始条件的定解问题,这个问 题应用分离变量法求解; 其二是方程为非齐次的并具有零初始条件的定解问题,该问 题应用特征展开法求解;
(3) u x (0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ); w( x, t ) u1 (t ) x u 2 (t ) lu1 (t ).
u 2 (t ) u1 (t ) 2 x u1 (t ) x. (4) u x (0, t ) u1 (t ), u x (l , t ) u 2 (t ); w( x, t ) 2l
2
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【注】:对于给定的定解问题,例如:
utt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
(7)
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则问题(1)-(3)可化成 v( x, t ) 的定解问题
vtt a 2 v xx f1 ( x, t ) (0 x l , t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
v(l , t ) w(l ) 6, 4 x
w(0) 3,
w(l ) 6.
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这样由代换
u( x, t ) v( x, t ) w( x),
问题(1)化为下面两个问题:
a 2 w sin 2 2 x cos x 0. l l
(2)
(3)
w(0) 3,
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
vtt a 2 v xx f1 ( x, t ) (0 x l , t 0),
v(0, t ) v(l , t ) 0,
(8)
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
(8)
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
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utt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
函 数 代 换
(1) (2) (3)
以上4种辅助函数的情形对热传导方程同样适用。
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注:当x=0和x=l 满足第二类边界条件
u x x 0 1 ( t )
u x x l 2 ( t )
如果仍取 x 的线性函数作为
w ,则有 w x x 0 A t 1 t , w x x l A t 2 t
w( x, t ) A(t ) x B(t ),
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由条件(6)确定 A(t ), B(t )
B(t ) u1 (t ),
于是可得
1 A(t ) [u 2 (t ) u1 (t )], l
因此,令
x w(t , x) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
x (t ) u1 (t ) u1 (t ), f1 ( x, t ) f ( x, t ) u 2 l 其中 ( x) ( x) x u (0) u (0) u (0), 1 2 1 1 l x (0) u1 (0) u1 (0). 1 ( x) ( x) u 2 l
(1)
若边界条件不全是第一类,也可采用类似方法把非齐次边界条件 化成齐次的。
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我们就下列几种非齐次边界条件的情况,分别给出相应辅 助函数 w( x, t )的表达式:
x w ( t , x ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). (1) u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ); l (2) u(0, t ) u1 (t ), u x (l , t ) u 2 (t ); w( x, t ) u 2 (t ) x u1 (t ).
w(l ) 6.
vtt a 2vxx (0 x l , t 0),

v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, (4) 4 x x. v( x,0) 31 w( x), vt ( x,0) sin l l
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a w sin
(1) 令
u( x,0) 0.
解: 选取辅助函数
t u ( x, t ) v( x, t ) x t , l 则问题(1)化成
2
t w( x, t ) x t. l
x vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l (2) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, v( x,0) 0.
2
2 vn (t ) n
e
0
t
0 ( t ) l

t
f n ( )e
na ( t ) l
d ,
d
na t 2l nx x l u ( x, t ) t 1 e 1 sin . 3 2 l l n 1 (n ) a 2
若边界条件非齐次,对于这种情况如何处理?
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1.带有非齐次边界条件的定解问题
a.处理这类问题的基本原则是: 无论方程是齐次的还是非齐次的,选取一个辅助函数 w( x, t ), 通过函数代换:
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
使得对于新的未知函数 v( x, t ) 而言,边界条件为齐次的。
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
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通过作一函数变换将边界条件化为齐次的,为此令
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ),
并选取辅助函数 w( x, t ), 使新的未知函数 v( x, t )
(4)
满足齐次边界条件,即
2
2
为了将此方程化成齐次的,自然选取 w( x) 满足
2 2 x cos x, l l
2 2 a w sin x cos x 0. l l
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再把(2)代入问题(1)中的定解条件,得
v(0, t ) w(0) 3,
x. v( x,0) w( x) 31 , vt ( x,0) sin l l 为了将 v( x, t ) 的边界条件也化成齐次, 则 w( x)满足
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1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言:
方程齐次、 边界条件齐次 、 初始条件可齐次也 可非齐次
方程非齐次、 边界条件齐次、 初始条件非齐次
分离变量法
方程齐次、 边界条件齐次 、 初始条件非齐次
分离变量法
分解
方程非齐次、 边界条件齐次 、 零初始条件
特征展开法
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问题:
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b.我们以下面的问题为例,说明选取函数代换的方法。 (也可称为辅助函数法)
考察定解问题:
utt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(1) (2) (3)
x vt a v xx - 1 (0 x l , t 0), l (2) v(0, t ) 0, v(l , t ) 0, v( x,0) 0.
2
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应用特征展开法求解定解问题(2)的解。 n
v( x, t ) vn (t ) sin
n 1
将问题(8)的解代入
x u ( x, t ) v( x, t ) [u 2 (t ) u1 (t )] u1 (t ). l
(7)
即得原定解问题问题(1)-(3)的解。
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对于一维波动方程:
utt a 2 u xx f ( x, t ) (0 x l , t 0),
1 t 2 t ,否则这两式互相矛盾。
w x, t A t x 2 B t x
此时除非 应取
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例1 求解下列问题:
ut a 2 u xx (0 x l , t 0),
u(0, t ) t , u(l , t ) 0,
解: 设问题的解为
u(0, t ) 3, u(l , t ) 6, x 4 u ( x,0) 31 , ut ( x,0) sin x. l l
u( x, t ) v( x, t ) w( x),
将(2)代入问题(1)中的方程,即得
(2)
vtt a (v xx w( x)) sin
2
w(0) 3,
2 2 x cos x 0. l l
(3)
w(l ) 6.
问题(3)是一个常微分方程的边值问题,其解为
4 w( x) sin x 31 2 2 l 32 a l2
将求得的 w( x) 代入问题(4)
x . l
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2
2 代入 v (t ) 再将 f n (t ) n n 2 na
即得
na t 2l l (4) e 1, 3 2 (n ) a n v ( x , t ) v ( t ) sin x, 可得 把(4)代入(3) n l n 1 2 na 2 t 2l nx l v ( x, t ) e 1 sin . 3 2 l n 1 ( n ) a 因此,原问题(1)的解为 2
如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 u1 , u 2 都与自变 量 t 无关,在这种情形下,我们可选取辅助函数 w( x), 通 过函数代换
u( x, t ) v( x, t ) w( x),
使方程与边界条件同时化成齐次的。
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例2 求解下列问题: 2 2 2 utt a u xx sin x cos x (0 x l , t 0), l l (1)
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