从算式到方程

“从算式到方程”课堂教学纪实

与评析

地名时间

王家庄10：00

青山13：00

秀水15：00

师：同学们，我们都知道数学与生活是密切相关的。看下面的问题：山间公路上有一辆正在匀速行驶的汽车，途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖的路程有多远？

师：要解决这个问题，你首先想到了什么？

生1: 我首先想到这是一个行程问题，要求路程，就要想法用这段路程汽车所用的时间，及这段路程汽车的速度，让速度×时间。

生2：我首先想到要画线段图，线段图能让我们对问题看得更清楚，更明白（师让这位同学到黑板上画出线段图）。

10:00 13:00 15:00

师：那咱们一起来想办法试一试。请同学们认真读题，分析题意，试着解决这个问题，希望没有思路的产生想法，有思路的能想到几种解决问题的方法（独立思考5分钟，然后小组交流，补充、纠正）。

【评析】上课伊始，直接步入正题，一下抓住学生，引起学生对问题的关注。生1的表述很清楚，在这里同学们对时间、速度和路程三者之间的关系及其变式还是知道的，但是对于学困生而言某段路程所对应的速度和时间往往就混乱了，而生2画线段图的方法恰恰能够帮助这些学生理清这一点。

师：现在请大家交流一下各自的解法。

生3：我是通过列算式，先求出速度，在匀速的情况下，

S王家庄到翠湖 = S王家庄到秀水－S翠湖到秀水（或者S王家庄到翠

湖 = S王家庄到青山＋S青山到翠湖）列式：

时，60×5—70=230（千米）（或60×3+50=230（千米））。

师：再请一位同学，对照生2的线段图说说他的思路（不管应用什么方法，这是理解题意，解决问题的前提。）。

生4：我是用的比例的知识：

（千米）；

生5：我也是用比例的知识，但是这样列式：

（千米）；

师：当然这些比例的应用是建立在汽车匀速行驶的前提下。速度一定，路程与时间成正比例关系。

生6：我想用方程的方法。

师：那什么是方程呢？

生齐答：方程是含有未知数的等式。

生6：如果直接设王家庄到翠湖的距离是

千米，就可列方程

师：这个等式是如何得来的？等式两边又分别表示什么意思呢？

生6：等式左边表示从王家庄到青山的行驶速度，右边表示从青山到秀水的行驶速度，由于汽车是匀速行驶，所以各个路段上的速度是相等的。

生7：老师，根据各个路段上的速度是相等的，我还可以列个方程

【评析】在这里学生还是不适应等式两边都含有未知数列方程的方法，迟迟不往下走，其实这恰恰是学生真正经历的从算式向方程过渡的过程。

师：刚才大家分析的很好。这一问题关系比较多，为了条理起见，实际上我们还可以列一个表（设王家庄到翠湖的距离是

千米）：

已知路段路程（千米）时间（小时）速度（千米／时）

王家庄→青山 3

王家庄→秀水 5

青山→秀水 2

生8：还可以列方程：

【评析】通过列表，确定用“速度”这个量寻找等量关系，用不同路段上汽车所行驶的路程和相应的时间来表示，从而理解方程的构建和形成过程。以此为基点，扩散开来，由点到线再及面，让学生向方程进一步迈进、看清并理解它。

师：很好，通过确定行程问题中“速度”这个量，用不同路段上汽车所行驶的路程和相应的时间来表示，列出了几个不同的方程。（话音刚落，又有学生要求发言。）

生9：老师我根据速度匀速，还可以列个方程，不过设的未知数不再是王家庄到翠湖的路程，我想设从王家庄到青山的距离是

千米，可列方程：

师：那谁能评价一下这个方法？

生10：我觉得这个列法很好，只不过求得的结果不是最后结果，还需列式

。

师：其实这是间接地设了一个未知数，待求出该未知数后，还需加一步，才能求出最后结果。

生11：根据速度相等，还可以间接设从青山到翠湖的时间为

小时，可列方程

，再用从王家庄到翠湖的时间×速度=所求路程。

师：太棒了，同学们真了不起。给你们一个平台，你们给了老师太多的精彩。继续考虑，如果确定一个其它的量，比如路程，又会列出哪些不同的方程呢？（独立思考后，小组交流）

生12：根据路程相等，设汽车速度为

千米∕时，可列方程：

师：小组其他成员帮助解释一下？

生13：等式左边是用三段路程之和表示王家庄到秀水的路程，等式右边也表示从王家庄到秀水的路程。

生14：我如果确定“时间”这个量，设汽车速度为

千米∕时，可列方程：

师：真不错，老师为你们骄傲。其实只要确定其中一个量，再能用两种不同的代数式把它表示出来，就构建了一个方程。

【评析】学生通过自主探究——小组合作——成果展示的合作学习过程，体会从算式到方程的过程，感受方程作为刻画现实世界有效模型。在教师有效点拨下，学生思维发散开来，慢慢对方程走近、由接受到理解。

师：同学们通过分析，列出了很多不同的方程，想一想，列算式与列方程有什么不同，我们为什么有时要用列方程的方法解决实际问题呢？列方程有什么优越性呢？小组内交流一下。

生1：列算式是我们用小学的算术方法去列式和计算，只能用题目中的已知数量；而列方程是根据问题中的相等关系列出等式，参与列式的既有已知数，也含有未知量。

生2：我觉得列算式简单，列方程太难，太麻烦。

生3:列算式逆向考虑的多，有时候需要先求一些间接的量，考虑起来会很难，其实列方程属于正向思维，好理解，只不过感觉步骤多一些。

生众：……

师：生1和生3两位同学们对于列算式和用方程的方法解应用题的比较，能够认识到这个程度，不错。通过今后更加深入的学习和接触，同学们会逐步感受到从算式到方程是数学的一大进步。其实方程并不是孤立的，前面我们学过的算术方法对于提高分析问题中的数量关系的能力有着基础性的作用。下面，请同学们阅读与思考：《“方程”史话》。

【评析】教师在提出问题——学习新知——解决问题的过程中，尝试以问题为主线，用为什么要列方程？怎样来列方程？怎样简捷的列方程？这三个层层递进的问题，引导学生深入思考。

列方程相比较列算式是顺向思考，当把未知数用一个字母来表示，这样未知数就可以和已知数同样参加运算。往往依据自然的顺序和方式就可以得到含已知数和未知数的等式，即方程。而算术方法是逆向思考，只能对已知数进行运算，进而求得未知数。而要确定对已知数按何种顺序进行何种运算才能求出未知数，需要经过分析推理，较繁琐，且思路相对窄一些。

师：生2同学能不能说说你的读后感？

生2：方程的提出和应用历史悠久，我相信它一定有它的存在价值，今后我会仔细体会。

生4：我国是最早提出方程概念的国家，中国有悠久的文化底蕴。作为中国人我有一种自豪感。……

师: 设字母表示未知数，找到相等关系，写出含有未知数的等式----方程。这将成为我们今后的一种重要的数学工具和方法。

【评析】将数学史融入课堂教学，可以激发学生学习的兴趣，培养学生的创新精神和民族自豪感，引起学生对数学文化的关注，使学生感受理性的精神、严谨的态度和科学的方法，体现数学的人文价值。