2014-计算力学-4-轴对称问题有限元

0 ci bi
bi 1 0 Bi 2 f i ci
0 ci 0 bi
（ i，j，m）
单元分析
显然，每个单元中的应变分量都是常量，但是环向应变不是常量，而是 坐标r和z的函数。为了简化计算和消除由于结点落在对称轴上使 r = 0而 引起的计算溢出，通常采用单元的形心坐标值 r , z 来近似代替（4-12） 中的r，z值，即令
m j
z
d
c
i i
m j b
a
r
图4-1 轴对称结构
为自变量的二维问题。
轴对称问题的弹性力学基本方程
由于轴对称性，弹性体内各点只可能存在径向位移 u 和轴 向位移w。此时，位移u、w只是r、z的函数，而环向位移v=0。 即：
u u( r , z ) w w( r , z ) v0
（4-1）

T * e
R
e


T * e


T * e
B D B rdrdzd
T e T e
2 B D Brdrdz
（4-18）
单元分析
由于虚位移列阵
*

e
是任意给定的，所以有
e
R e 2 B T D Brdrdz
e
Nj 0
0 Nj
Nm 0
e

N m I

0 i j Nm m
(4-11)
N
其中：[I]为二阶单位矩阵
1 0 I 0 1
因此，形函数矩阵的表达式为
Ni N 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 0 Nm
u N i ui N j u j N m um w N i wi N j w j N m wm
（4-5）
单元分析
其中形函数
Ni
a
i
bi r ci z
2
i,
j, m
（4-6） （4-7）
而

1 1 rj 2 1 rm
1 ri
zi zj zm
ai
A1ci ci A1ci A2 bi
，
1 u E A3 41 u1 2u
bi A1 f i 2 A3 A1 bi f i Si A b f 1 i i A2 ci
i, j, m
bi E 1 bi Si D Bi 2 1 1 2 1 1 2 ci 2 1 ci 1 ci 1 2 bi 21
z rj j v u ri i
rm
m
图4-2
r
ui

wi
பைடு நூலகம்
uj
wj
um
wm

T
（4-3）
单元分析
对于每一个环形单元，需要假定其位移模式。仿照平面三角
形单元，取线性位移模式
u u( r, z ) 1 2 r 3 z w w( r, z ) 4 5r 6 z
bm 0 fm cm
单元分析
式中
fi ai cz bi i r r
（i，j，m）
上式可简写成
B
e
（4-13）
其中 [B]为三角形断面环元的应变矩阵，它可写成分块矩阵形 式[B]=[Bi Bj Bm]
平面三角元子矩阵
bi 1 Bi 2 0 ci
0 1 1 0 E D 1 0 1 1 2 1 2 0 0 0 2
单元分析
一、单元剖分及位移模式
由于轴对称性，只需分析任意一个子午面上的位移、应
力和应变情况。其有限元分析计算步骤和平面问题相似。
c
m j
i i
m j b
a
r
图4-1 轴对称结构
轴对称问题的弹性力学基本方程
轴对称结构体可以看成由任意一 个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而形 成。此旋转轴即为对称轴，纵向剖 面称为子午面。 如图 4-1 表示一圆柱体的子午面 abcd 被分割为若干个三角形单元， 再经过绕对称轴旋转，圆柱体被离 散成若干个三棱圆环单元，各单元 之间用圆环形的铰链相连接。
轴对称问题的弹性力学基本方程
轴对称问题的物理方程可写为：

r r z z D D rz rz
（4-2）
其中：[D]为轴对称问题弹性体的弹性矩阵

从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他三 个正应力在单元中都不是常数，与坐标 r和 z有关。同样采 用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单元， 所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
单元分析
三、单元刚度矩阵 运用虚功原理来求导轴对称问题结构上任何单元的刚度矩阵。 单元在结点力的作用下处于平衡状态，结点力列阵为
bi A1 f i 2 A3 A1 bi f i Si A b f 1 i i A2 ci A1ci ci A1ci A2 bi
i, j, m
单元分析
其中
u A1 1 u ， 1 2u A2 21 u
（4-4）
类似于平面三角形单元的推导，即将单元的结点坐标 zi , z j , z m , ri , rj , rm及 结点位移 ui , u j , um , wi , w j , wm 代入式（4-4）中,可以解出六个待定系 数 1, 2, , 6 。再将这些待定系数回代到式（4-4）中，就可以得到 由结点位移和形函数所表示的单元内任一点的位移表达式
K
e e
（4-19）
e K 式中， 就是单元刚度矩阵
K e 2 BT D Brdrdz
写成分块形式，则为
（4-20）
K e
kii k ji k mi
kij k jj k mj
kim k jm k mm
rr
于是
1 ri r j rm 3 1 z z zi z j z m 3
fi fi ai cz bi i r r



i, j, m
有限元网格确定后，各单元的就是定值。这样就可以把轴对称问题的各 单元看成是常应变矩阵，所求得的应变是形心处的应变值。当轴对称结 构的单元划分比较小时，这种近似所引起的误差是很小的。特别当结构 上各单元的形心离 Z 轴 较远时，产生的误差就更小了。
z
d
c
m j
i i
m j b
a
r
图4-1 轴对称结构
轴对称问题的弹性力学基本方程
对于轴对称问题，采用圆柱坐标 较为方便。以弹性体的对称轴为z轴， 其约束及外载荷也都对称于z轴，因 此弹性体内各点的各项应力分量、 应变分量和位移分量都与环向坐标 θ无关，只是径向坐标r和轴向坐标z 的函数。也就是说，在任何一个过 z 轴的子午面上的位移、应变和应 力的分布规律都相同。因此轴对称 问题可把三维问题简化为以（ z ， r ）
根据虚功原理，三角形断面形状的单元体所吸收的虚应变能 等于单元结点力所做的虚功


T * e

Re * rdrdzd
T
（4-17）
上式等号左边为单元结点力所作的虚功，与平面问题不同的是 这里所说的结点力是指作用在整个结圆上的力，等式右边是指 整个三角形环状单元中应力的虚功。 将（4-14）式和（4-16）式代入（4-17）式，则得
k
st
e
2 Bs D Bt r
T
s, t i, j, m
（4-23）
上式也可以写成
2 rA3 kst bs bt A1 f t f s f t A1b t A2 cs ct A1cs bt f t A2 bs ct A1ct bs f s A2 cs bt cs ct A2 bs bt
单元分析
单元的各应力分量可通过将式（4-12）代入轴对称问题的物 理方程得到
r e Z D D B S i rZ

Sj
S m

e
（4-14）
式中：[S]是三角形截面环形单元的应力矩阵。它的子矩阵为
rj rm
zj zm
rj zm rm z j z j zm
（4-8）
bi
1 zj 1 zm
i, j, m
（4-9）
1 rj ci rm r j 1 rm
（4-10）
单元分析
（4-5）式也可以写成矩阵形式
u N i f w 0 Ni I 0 Ni N jI
单元分析
二、单元应变与应力
为了将单元任意点的应变和应力用结点位移表示，可按以下 步骤推导。 将式（4-5）代入轴对称问题的几何方程，便得到单元体内的 应变，即
u r bi 0 b j 0 r w z z 1 0 ci 0 c j fi 0 f j 0 u 2 r rz u w ci bi c j b j z r ui 0 wi cm u j 0 w j （4-12） bm um wm
第四章
轴对称问题
轴对称问题的弹性力学基本方程
单元分析
等效结点载荷计算
轴对称问题的弹性力学基本方程
轴对称问题是弹性力学空
z
d
间问题的一个特殊情况。如 果弹性体的几何形状、约束 以及外载荷都对称于某一轴， 则弹性体内各点所有的位移、 应变及应力也都对称于此轴， 这类问题称为轴对称问题。 在离心机械、压力容器、矿 山井架等中经常遇到轴对称 问题。
（4-21）
单元分析
其中每个子矩阵为
kst e 2 Bs D Bt rdrdz
T
s, t i, j, m （4-22）
在轴对称问题中，矩阵[B]不是常数而是坐标r, z的函数，所以 （4-22）式的积分运算比平面问题要复杂得多。为了简化计算 仍取单元形心的坐标 r , z 代替矩阵[B]中的坐标r, z，得到一个近 似的单元刚度矩阵。此时，（4-22）式可以写成
相邻的单元由圆环形的铰链相 连接。单元的棱边都是圆，故称 为结圆。每个结圆与 rz 平面的交 点称为结点。如图4-2中的 i, j, m
各单元在子午面 rz平面上形成三 角形网格，就如同平面问题中在 xy 平面上的网格一样。采用位移法有 限元分析，其基本未知量为结点位 移。单元的结点位移列阵如下：
T T e iT T m j
首先进行结构区域的有限元剖分。采用的单元是三角形、 矩形或任意四边形环绕对称轴z旋转一周而得到的整圆环，
通常采用的单元是三角形截面的整圆环。
在单元类型确定之后，单元剖分可以在子午面内进行， 如图 4-1 表示的 abcde 子午面被分割为若干个三角形，绕对 称轴z旋转后即形成若干个三棱圆环单元。
单元分析
R R
e

T i
R
T j
R
T m

T
假设单元e的三个结点的虚位移为

* e
u

* i
v
* i
u
* j
v
* j
u
* m
v
* m

T
单元任一点的虚位移为
f N
*
* e
（4 -15）
单元的虚应变为
B
*
* e
（4-16）
单元分析