钢结构平面内稳定习题

第一章习题和思考题

1.1用平衡法求解图P1.1所示刚性压杆的屈曲荷载。图中线弹簧常数为，转动弹簧的转动刚度为 试用能量法讨论此杆的失稳类型，并画出荷载－挠度曲线。

k z k

图P1.1

图P1.7 图P1.8 1.8 图P1.4为一直径为的实心圆截面悬臂梁，其抗扭刚度为GI ，在梁的自由端作用有一对平衡力

，梁的长度为，试用平衡法和能量法求解梁扭转时的屈曲荷载，并讨论梁的稳定性。

1.9 论述第1类稳定问题和第2类稳定问题在数学上和物理意义上的相似性。

d t P l

第2章习题

2.1 试画出如图P2.1所示下端固定、上端可移动但不能转动的轴心受压构件的计算简图，建立它的二阶微分方程，并确定其屈曲荷载，用通式表示时需给出计算长度系数。

图P2.1 图P2.2 图P2.3

2.2 图示P2.2为上端与横梁铰接而下端与基础固定的刚架，左右两柱的抗弯刚度分别为和EI EI α，只在左柱的柱顶作用有轴心压力，横梁的刚度无限大。试画出左柱的计算简图，并计算左柱的屈曲荷载，需给出以下结果：

①与P cr P α之间的关系式。

②当0α=和∞时分别说明与哪种柱的屈曲荷载相当。 ③当cr P 1.0α=，计算之值。

④如右柱的下端铰接，对有何影响。

2.3 请推导（2.33）式和（2.34）式，并设定参数的值，对两者进行比较。在一端固定一端自由的情况下，用简单的式子（例如多项式或有理分子式，也可以采用三角级数展开后截断的式子）拟合抗侧刚度与轴力的关系。

2.4 利用计算机对压杆和拉杆的各个刚度系数进行计算，考察构件刚度随压力和拉力的变化。 2.5 图P2.3为弹性基础上的两端铰接的轴心受压构件，弹性基础的反力常数为k 。利用静力平衡法建立构件屈曲时的平衡微分方程，并进行求解。讨论如果两端固定时，压杆的临界荷载有什么变化。 2.6 试证明图P2.4所示下端固定、上端自由的阶形柱的屈曲方程，并在给定几何和刚度参数以及上下柱轴力比的情况下，确定下柱的计算长度系数表格，精确到小数点后面4位数。

cr P cr P

图P2.4 2.7 推导（2-30）式。

2.8 对拉杆推导(2-41a,b)式。

2.9 推导两端转动约束的压杆的抗侧刚度的精确表达式，并验证，这个抗侧刚度可以用下式很精确地近似：

222

223

222/1/b ub b

u EI

u S h

u 2

πβμβ

μππμ′⎡⎤−=−⋅⎢⎥−⎣⎦， β′=

式中,ub b μμ

分别是这个柱子发生有侧移屈曲、无侧移屈曲的计算长度系数。u =

第三章习题

3.1 对无残余应力的矩形截面，推导其M P −−Φ曲线。

3.2 矩形截面，设存在如图所示的残余应力，采用3.3节给出的步骤，编制程序，对其M P −−Φ曲线矩形计算，并采用microsoft EXCEL 软件画图表示。设200mm,400mm,b h ==2235N/mm ,y f =

。材料是领先弹塑性。

2206kN/mm E =0.3

0.3

+

A

B

A

B

C D

图P3.1 图P3.2 图P3.3

3.3 对工字形截面，采用3.4节给出的方法和步骤，编制程序，并计算一个双轴对称工字形截面的轴力和双向弯矩作用下的极限屈服曲面。

3.4 对图P3.2所示的单跨门式刚架，设不存在失稳问题，二阶效应也可以忽略。请回答如下问题 （1）设梁截面的塑性弯矩小于柱子的塑性弯矩，当竖向荷载增加，梁端将首先形成塑性铰，此时结构还可以继续承受增加的荷载，请考察，荷载继续增加时，梁端截面A 的受力状态是如何在塑性极限屈服面上流动的，参考图3-11。

（2）如果柱子的塑性极限弯矩效应梁的塑性极限弯矩，则柱顶截面B 的受力状态是如何在极限屈服曲面上流动的？

3.5 对图P3.3所示的单跨门式刚架，设不存在失稳问题，二阶效应也可以忽略。首先施加竖向荷载，到梁端或柱顶形成塑性铰，然后施加水平力。请回答如下问题

（1）设梁截面的塑性弯矩小于柱子的塑性弯矩，当竖向荷载增加，梁端将首先形成塑性铰，此时结构还可以继续承受水平荷载，请考察，水平荷载增加时，梁端截面C 的受力状态是如何在塑性极限屈服面上流动的，参考图3-11。

（2）如果柱子的塑性极限弯矩效应梁的塑性极限弯矩，则柱顶截面D 的受力状态是如何在极限屈服曲面上流动的？

（3）右柱柱顶形成塑性铰后，继续增加水平荷载，右柱柱底将出现塑性铰，此后结构仍然可以继续承受水平力，请考察右柱柱底截面内力在屈服面上的流动方向。

第4章习题和思考题

4.1 为什么说Shanley 模型的长度在/r y E h f L Eh f /y <<范围内时，切线模量荷载和双模量荷载相等？ 4.2 在图4-3中，设腹板的面积很小，以致可以略去不计，但是两翼缘的变形仍符合平截面假定，设残余应力r σ＝0.5y f ，。b ＝＝200mm ，t ＝10mm ，用切线模量理论求出这个截面压杆绕强轴和绕弱轴屈曲的稳定系数曲线。钢材的弹性模量取为206kN/mm 2235 N/mm y f =h 2。

4.3 考虑截面残余应力、轴压力的初始偏心和压杆的初始弯曲，采用数值积分法求压杆的稳定系数

过程由4.4节给出，在第3章计算M P −−Φ曲线的程序基础上，进一步扩充成数值积分法计算挠度和极限承载力的程序，并利用矩形截面压杆进行试算。

4.4 请思考，如何修改4.4节的数值积分步骤，使得这种方法能够得到压力－柱中挠度曲线的下降段？

4.5通过给定应力t σ，得到对应的切线模量()t t E σ，切线模量荷载计算公式（4-3）式，可以反算出压杆对应的长度，增加或减小应力，可以得到一系列的长度，从而得到柱子的承载力曲线，无需任何迭代。对数值积分法，能否也无需迭代得到柱子的承载力随长度变化的曲线？ 4.6 通过简单的推导证明，图4.7中的压杆的计算长度系数是AB 和AC 的比值。

4.7 比较Merchant －Rankine 公式（4-26）式和边缘纤维屈服准则公式，两者是否以及何时有交点？

第5章：习题和思考题

5.1 采用Rayleigh －Ritz 法或Galerkin 法求图P5.1所示的两端铰支等截面压杆的临界荷载，压杆承受：

（1）均布的轴向荷载；（2）压杆承受抛物线分布的轴向分布荷载q 0()4(1)x x

q x q L L

=−

图P5.1 图P5.2 图P5.3 图P5.4

5.2 采用Rayleigh －Ritz 法或Galerkin 法求图P5.2所示的变截面悬臂柱的临界荷载。设截面的抗弯刚度

为()1211,x

EI EI EI EI EI EI L =+−>1b ，轴向均布荷载为，柱顶作用集中的竖向荷载。

5.3 采用Rayleigh －Ritz 法或Galerkin 法求图P5.3所示等截面压杆的临界荷载，下段柱子长度是，轴力是，上段柱子长度是，轴力是。设q P a 1P b 2P 210.5,2P P a ==，求出下段柱子的计算长度系数，并解释为什么这个柱子的计算长度系数不等于1.0。与精确解减小比较。

5.4 采用Rayleigh －Ritz 法或Galerkin 法求图P5.4所示悬臂柱的临界荷载，要求尽可能精确。 5.5 采用屈曲问题的变分原理（5-19）式，推导压杆弯曲屈曲的变分式，并通过分部积分导出平衡微分方程和边界条件。将这种推导与5.2节的推导过程进行比较，指出其中的不同。

图P5.5 图P5.6 图P5.7 5.6 图P5.5所示的压杆，两端有转动约束，发生有侧移屈曲，利用下式表示的屈曲模式：

1A 2B 4()()()y f x f x f x θθ=++Δ