高中数学必修二《直线与平面平行的判定与性质》优秀教学设计

直线与平面平行的判定与性质
教学目的：掌握直线和平面的位置关系、线面平行的判定与性质并能运用于实际解题过程中。

教学重点：线面平行的判定定理及其应用。

教学难点：线面平行的判定定理的应用。

教学过程
一、实际引入
足球场球门框所在直线与地面的关系。

二、新课
定义：直线与平面若没有公共点，则称直线与平面平行。

直线与平面的位置关系：
①直线在平面内（有无数个公共点）a α⊂；②直线与平面相交（有且只有一个公共点）
a P α=；③直线与平面平行（无公共点）//a α。

直线与平面平行及直线与平面相交统称为直线在平面外。

定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。

已知：a α⊄，,//b a b α⊂。

求证：//a α。

证明：∵//a b ∴a b 、确定一个平面β，则b αβ=。

若a
A α=，则由A a β∈⊂及A α∈得()A b α
β∈=，这与//a b 矛盾。

又∵ a α⊄ ∴ //a α。

例1 在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P 、、分别为棱1AB BC BB 、、的中点，指出正方
体的各条棱及面对角线与平面MPN 的关系。

例2 分别按下列条件画出图形：
（1）,//,a b P a b A αα==； （2）,,//l a A a αββα==。

例3 已知E F G 、、分别为空间四边形ABCD 的边AB BC CD 、、的中点。

求证：（1）//BD 平面EFG ；（2）//AC 平面EFG 。

分析：
////BF CF FG BD CG GD FG EFG BD EFG BD EFG =⎫
⎫⇒⎬⎪
=⎭⎪
⎪
⊂⇒⎬⎪
⊄⎪⎪⎭
平面平面平面 同理可证：//AC 平面EFG 。

练习：P 为
ABCD 外一点，Q 为PA 的中点。

求证：//PC BDQ 平面。

例4 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 在1AB 上，F 在BD 上，且1B E BF =。

（1）求证：1//EF BC 平面；（2
）当3
BE BF ==
时，求EF 的长。

分析：（1）在平面AC 中作AF
BC P =，连结1B P ，则
ADF ∆∽PBF ∆ 11FP BF B E FP FA FD B E BF FA AE
FD AE ⎫
⇒
=
⎪⎪⇒=⎬
⎪=
⎪⎭
11111////EF B P B P BC EF BC EF BC ⇒⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面。

另证：作1EM BB ⊥于,M FN BC ⊥于N ，连结MN ，则
1111//B E EM AB AB FN BF EM FN EFNM AB BD AB BD B E BF ⎫
=
⎪
⎪
⎪
⇒⇒=⎬⎪=⎪
⎪
=⎭
为平行四边形 111////EF MN
MN BC EF BC EF BC ⇒⎫⎪
⊂⇒⎬⎪⊄⎭
平面平面平面 （2
）EF MN ====
线面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和此直线平行。

////a a a b b αββ⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⊂⎭
证明：
////b b a b a a a b b α
βαφαββ=⇒⊂⎫
⎫⇒=⎬⎪⎭⎪
⎪
⊂⇒⎬⎪
⊂⎪⎪⎭。

例5 如图，αβγ、、两两相交，a b c 、、为交线且//a b 。

求证：//a c 。

分析：//////a b a a b a a c c γγγααγ⊄⎫
⎫⎪⎪⊂⇒⎬⎪
⎪⎪⎭
⎪
⊂⇒⎬⎪
=⎪⎪⎪⎭。

练习：已知//a b ，a A α=。

求证：b 与α相交。

分析：（反证法）若b 不与α相交，则b α⊂或//b α。

（1）若b α⊂，则①如果A b ∈，则()A a
b ∈与//a b 矛盾；②如果A b ∉，则由
,a b αα⊄⊂有a b 、异面，与//a b 矛盾；
（2）若//b α，则A b ∉，A b 、确定平面β且,c A c αβ=∈，并有//b c ，
所以//a c ，与()A a
c ∈矛盾。

综上所述，b 与α相交。

例6 如图，空间四边形ABCD 中，一平面分别与AB AC CD DB 、、、交于点E F G H 、、、，
且//EF GH 。

求证：//BC EFGH 平面。

分析：//BC EFGH 平面
GH EFGH BC EFGH ⊂⎛⎫
⇑ ⎪⊄⎝⎭
平面平面 //BC GH
GH BCD BCD ABC BC ⊂⎛⎫⇑ ⎪=⎝⎭
平面平面平面
//GH ABC 平面
⇑
//GH ABC EF ABC GH EF
⊄⊂平面平面
练习：AB 为直径的圆上一点C ，P 为ABC ∆所在平面外一点，E F G H 、、、分别为
PC AC PB AB 、、、上的点且
PE PH AF AG
EC HB FC GB
===
，D 为PA 上一点，,CD
EF M BD
HG N ==，求证：MN AC ⊥。

分析：MN AC ⊥ ()BC AC ⇑⊥ //MN BC ⇑
//BC EFGH 平面 ⇑ //BC EH ⇑
PE PH
EC HB
=
例7 如图，//,//,AB CD AC BD αα、分别交α于M N 、。

求证：
AM BN
MC ND
=。

分析：连结AD 交α于E ，连结ME NE 、，则
//////CD CD ACD CD ME AM AE BN MC ED ND ACD ME AB EN α
α⎫⎫
⎪⎪
⊂⇒⎬⎪⇒==⎬⎪=⎭⎪
⎪⎭
平面平面同理可证。

练习：E F G H 、、、分别为空间四边形ABCD 的四边AB BC CD DA 、、、的中点，P Q 、分别为AC BD 、边上的任意点。

求证：PQ 被平面EFGH 平分。

分析：（如图）设PQ EFGH N =平面，则
QN NP =
()AM MQ ⇑=易证 //MN AP ⇑
//AP EFGH 平面 ⇑
//AP EF （易证）
三、小结：线面平行的判定定理及其应用 四、作业：
五、课后记：。