管理运筹学灵敏度分析
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韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
管理运筹学_单纯形法的灵敏度分析与对偶..
S3 0 -1 1 1 50 -50
b 50 50 250 27500
2
12
§1
单纯形表的灵敏度分析
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
T 所以松弛变量在最终单 纯形表中的系数列（ 1 ， 2， 0） 就是B-1的第一列。
xBi 因为d'11 1 0, d' 21 2 0, X1 50, X 2 50, 可以Max | d 'i1 0 50 d i1 xBi 而Min | d 'i1 0 25, 故有当 50 b1 25,即250 b b 325第一个 d i1 约束条件的对偶价格不 变。
管
理
运
筹
学
8
§1
约束条件 ≤ ≥
单纯形表的灵敏度分析
影子价格的取值
下表给出了一个由最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
等于这个约束条件对应的松弛变量的 等于这个约束条件对应的剩余变量的
z j 值,即为 j 的相反数
=
z j 值,即为 j 的相反数 等于这个约束条件对应的人工变量的 z j 值,即为 j 的相反数
管
理
运
筹
学
5
§1
迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ
单纯形表的灵敏度分析
CB C’1 0 100 X1 50 1 0 0 C’1 X2 100 0 0 1 100 S1 0 1 -2 0 C’1 S2 0 0 1 0 0 S3 0 -1 1 1 -C’1+100 b 50 50 250
2
CJ -ZJ
二、约束方程中常数项的灵敏度分析
管理运筹学ppt6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶ok
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
解：首先求出x3在最终表上的系数列B−1P'6，zj,σj
迭代 基变
x1
x2
s1
s2
s3
x3
次数 量
cB
50 100
0
0
0
160
x1
50
1
0
1
0
-1
10.5
s2
0
0
0
-2
1
1
20
2
x2
100
0
1
0
0
1
1
zj
50
100
50
0
50 125
σj=cj-zj
0
0
-50
0
-50 35
➢ 基变量系数cB变化 ➢ 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
(cB1, cB2,…, ck+ck ,…,cBm)
§ 1 单纯形表的灵敏度分析
原最优单纯形表可表示如下。
迭代 基变
…
xk
…
xj
…
次数 量
cB
…
ck
…
cj
…
xB1
若要最优解不变
j = j ck akj
当j≠k时， j
0
akj 0
ck
j
akj
akj 0
ck
j
akj
当j=k时， k ck ck zk
xk为基变量 k 0, akk 1
k = 0
=ck ck zk ck akk
max{
j
灵敏度分析(运筹学)
--25-- --第2章 对偶问题--
目标函数中价值系数cj的变化分析
分为cj是对应的非基变量和基变量两种情况。
(1) 若cj是最终单纯形表中，非基变量xj的系数，要 保证最终表中这个检验数仍小于或等于零。
(2) 若cj是最终单纯形表中，基变量xj的系数，要保 证最终表中所以的非基变量的检验数仍小于或等于 零。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。 ⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）;
（3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
0
x5 4 0 0
3
x2 2 0 1
00
0
x3 1 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0
x5 θ 0 1 0 0
B-1 是最终计算表中的最优基的逆
0
B 1 (b
b)
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
br
0
目标函数中价值系数cj的变化分析
分为cj是对应的非基变量和基变量两种情况。
(1) 若cj是最终单纯形表中，非基变量xj的系数，要 保证最终表中这个检验数仍小于或等于零。
(2) 若cj是最终单纯形表中，基变量xj的系数，要保 证最终表中所以的非基变量的检验数仍小于或等于 零。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。 ⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）;
（3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
0
x5 4 0 0
3
x2 2 0 1
00
0
x3 1 -2 1/2 -3/2
0
x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
0
x5 θ 0 1 0 0
B-1 是最终计算表中的最优基的逆
0
B 1 (b
b)
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
br
0
运筹学灵敏度分析
单击此处添加小标题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
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资源价格（元/吨）
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资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
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资源价格（元/吨）
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资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
管理运筹学 第五章灵敏度分析
3
c8 z8 c8 qi ai 8 9 (5 0 4 0.25 3 1)
i 1
50
结论：生产x8有利。
8
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
§5.2 对cj 值的灵敏度分析
概述
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的 变动 •cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变 的情况下，分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 –非基变量对应的价值系数变化，不影响其 它检验数 –基变量对应的价值系数变化，影响所有非 基变量检验数
概 述
• b的灵敏度分析就是研究最优解基变量保 持不变但基变量的取值可以变化的条件 下b的取值范围 • 设 XB=B1b 是最优解，则有XB=B1b0 • b 的变化不会影响检验数 • b 的变化量 b 可能导致原最优解变为非 可行解（不满足非负约束）
16
右端项 bi 的灵敏度分析
• 在将“≤”形式的约束条件变为“=”形式时，对第i行 的约束条件方程左端要加一个松弛变量Xn+i，因此， 最优解表中B-1可表示为
25
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完
xn i < aij xj
26
3、对应非基变量的 aij
设 x j为非基变量, 则有 : z 0 a kj qk j
k 1 m
设a ij变动a ij , 则有 : z z a ij qi
二、边际值的求解
以(max,)型为例：
z o 最大利润的增量 前面讨论过 qi =(CBb-1)i bi 第i种资源的增量
Zn+i=CBb-1Pn+i =(CBb-1)i
c8 z8 c8 qi ai 8 9 (5 0 4 0.25 3 1)
i 1
50
结论：生产x8有利。
8
第五章 线性规划问题的灵敏度分析
§5.2 对cj 值的灵敏度分析
概述
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的 变动 •cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变 的情况下，分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况 –非基变量对应的价值系数变化，不影响其 它检验数 –基变量对应的价值系数变化，影响所有非 基变量检验数
概 述
• b的灵敏度分析就是研究最优解基变量保 持不变但基变量的取值可以变化的条件 下b的取值范围 • 设 XB=B1b 是最优解，则有XB=B1b0 • b 的变化不会影响检验数 • b 的变化量 b 可能导致原最优解变为非 可行解（不满足非负约束）
16
右端项 bi 的灵敏度分析
• 在将“≤”形式的约束条件变为“=”形式时，对第i行 的约束条件方程左端要加一个松弛变量Xn+i，因此， 最优解表中B-1可表示为
25
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完
xn i < aij xj
26
3、对应非基变量的 aij
设 x j为非基变量, 则有 : z 0 a kj qk j
k 1 m
设a ij变动a ij , 则有 : z z a ij qi
二、边际值的求解
以(max,)型为例：
z o 最大利润的增量 前面讨论过 qi =(CBb-1)i bi 第i种资源的增量
Zn+i=CBb-1Pn+i =(CBb-1)i
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
运筹学课程04-灵敏度分析资料
XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
A ( B, N )
XB X X N
C (CB , CN )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2019/4/12 4
NEUQ
B-1b
0
≤0
但B 1b 0不变
Z： CBB-1b
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
若C N C B B N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2019/4/12 9
1
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
设 ck 变化为
X B 检验数
CB CB I 0 CB CB B B 0
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2019/4/12
7
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
' k
运筹学讲义-灵敏度分析
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
bi
bk ak ,ni
bi
bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k
ak
bk
,n
i
ak ,ni
0
bi
min k
bk ak ,ni
ak ,n i
0
此时 , 基变量的解值和目标函 数会发生变化
2.4.6 新增约束条件的分析
16
2.4.7 灵敏度分析举例
例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少110 个，求收 益最大的生产方案。
产量 组别
品种
I II III IV V
单位售价 (元 )
A 产品数量
32440
10
B 产品数量
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01 .205,02100b2min 01.7050 200b213.33, 1000b2133.33
管理运筹学灵敏度分析
4 x3 0 0 0 1
0 x4 1 1/3 0 1/3
0 x5 0 0 1 0
0 x6 2 -2/3 1 1/3
RHS
17+ 1/3+1/3 6 13/3+1/3
由此可以看出，当第一个约束的右边常数b1变化时， 新的单纯形表的RHS列就是原来最优单纯形表的 RHS列加上第一个松弛变量x4在原来单纯形表中对 应的列与的乘积。
≤15 ≤24
6x1 +2x2
X1
x1,
+x2
x2,
≤5
≥0
首先得到以上问题的最优单纯形表： C z 2 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 RHS
z
x3 x1 x2
1
0 2 1
0
0 1 0
C Z x1 0 0 1 0
0
0 0 1
2+ 1 x2 0 0 0 1
0
1 0 0
0 x3 0 1 0 0
C -2 z CB -2 0 z x1 x5 1 0 0 x1 c2 x2 -1 x3 -1 1 1 0 x4 -2 1 1 0 x5 0 0 1
RHS
0 -2-c2 1 0 1 3
-12 6 10
当c2=-3时，已经超出保持最优基不变的范围，因此单纯形 表不再是最优单纯形表。将c2=-3代入单纯形表，得到以下 单纯形表： x2进基
1.目标函数系数C的变化范围
目标函数系数变化，只会影响最优 解中检验数行，不会影响基变量的 取值。即C中元素的变化只会影响 最优解的对偶可行性而不会影响原 始可行性。
（1）非基变量在目标函数中系数的灵敏度分析
m个基变量xBr（r=1,2,…,m）在目标函数中的系数为：
运筹学实验二灵敏度分析
实验概述：实验二、灵敏度分析（操作型）【实验目的及要求】1、进一步掌握管理运筹学、LINDO和LINGO软件的基本入门知识，学习使用管理运筹学、LINDO和LINGO软件对线性规划问题进行灵敏度分析。
2、熟练掌握用单纯形法求解线性规划问题。
【实验原理】单纯形法迭代原理及其基本步骤【实验环境】（使用的软件）管理运筹学软件、LINDO软件，信息中心6机房计算机实验内容：【实验方案设计】1、分别打开管理运筹学、LIND软件；2、在打开的软件中输入课本例题和习题数据，对线性规划问题进行灵敏度分析；3、运行实验并保存实验结果。
【实验过程】使用管理运筹学、LINDO软件分别对线性规划问题进行灵敏度分析。
1、使用管理运筹学软件对线性规划问题进行灵敏度分析：（1）打开管理运筹学软件，选择“线性规划”，单击“新建”菜单，输入P59-例题2.6.1的变量个数、约束条件个数并选择目标函数，点击“确定”。
在目标函数中输入价值系数，再输入变量的约束条件数据，然后选择变量的正、负、无。
选择“解决”得到线性规划结果，保存文件于指定文件夹。
（2）将例2.6.1中的右端向量b=(2 1)T变为b1=(-2 1)T，其他数据不变。
（3）在“线性规划”界面中，单击“新建”菜单，输入P77-习题20的变量个数、约束条件个数并选择目标函数，点击“确定”。
在目标函数中输入价值系数，再输入变量的约束条件数据，然后选择变量的正、负、无。
选择“解决”得到线性规划结果，保存文件于指定文件夹。
（4）将P77-习题20中的价值系数C1由1变为（-5/4）；C1由1变为（-5/4），C3由1变为2；b由(5 3)T变为b1=(-2 1)T；b=(5 3)T变为b1=(2 3)T。
2、使用LINDU软件对线性规划问题进行灵敏度分析：（1）打开LINDU软件，在空白框中输入P79-习题B（1）的目标函数和约束条件，点击靶形工具，是否进行灵敏度分析选择“是”，得到线性规划及灵敏度分析结果，保存文件到LINDO文件夹。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
再如：甲、乙产品单位利润发生变化时，将影响到哪些因素？ c1=2 c1=4 或c2=3 c2=2
结论
在单纯形法中，cj的变化→cj-zj变化→基变量的调出、入。 分两种情况： 非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj； 如上例中x3为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影响除甲、乙外其他变量的检验数。
∴原问题最优解不变，仍是x1=1，x2=2，x3=x6=0 即不安排丁产品生产。 注意区别 和的 不同
1
2
分析检验数符号
其他条件不变，
若将以上丁产品利润改为
情况会有什么变化？
C6=7，
∵C6-Z6不满足符号条件
01
∴原问题最优解将变动，将C6代入单纯形表最后一段重新计算。
02
注意：
01
例中第二个资源——材料的最高限制变化时对原问题的影响。
02
即讨论：b2变动的范围。
分析
B2变动的范围
B2的变动范围是[1 4]
“影子价格”是经济领域的概念。
“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时，第k种原料由bk增加一个单位时，由此而产生的目标函数值的增加，它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数（取正值）。
0
0
2
-5
-1
2
2 6
x1 x3
2 1
1 0
1/2 1/2
0 1
7/2 -1/2
-1/2 1/2
Cj-Zj
→
-10
0
-1
结论
在单纯形法中，cj的变化→cj-zj变化→基变量的调出、入。 分两种情况： 非基变量的cj发生变化只影响其本身对应的检验数cj-zj； 如上例中x3为非基变量，则丙产品单位利润发生变化只影响本身的检验数。 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影响除甲、乙外其他变量的检验数。
∴原问题最优解不变，仍是x1=1，x2=2，x3=x6=0 即不安排丁产品生产。 注意区别 和的 不同
1
2
分析检验数符号
其他条件不变，
若将以上丁产品利润改为
情况会有什么变化？
C6=7，
∵C6-Z6不满足符号条件
01
∴原问题最优解将变动，将C6代入单纯形表最后一段重新计算。
02
注意：
01
例中第二个资源——材料的最高限制变化时对原问题的影响。
02
即讨论：b2变动的范围。
分析
B2变动的范围
B2的变动范围是[1 4]
“影子价格”是经济领域的概念。
“影子价格”是指当其他原料数量都保持不变时，第k种原料由bk增加一个单位时，由此而产生的目标函数值的增加，它对应于单纯形表最后一段松弛变量所对应的检验数（取正值）。
0
0
2
-5
-1
2
2 6
x1 x3
2 1
1 0
1/2 1/2
0 1
7/2 -1/2
-1/2 1/2
Cj-Zj
→
-10
0
-1
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
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C -2 z CB -2 0 z x1 x5 1 0 0 x1 c2 x2 -1 x3 -1 1 1 0 x4 -2 1 1 0 x5 0 0 1
RHS
0 -2-c2 1 0 1 3
-12 6 10
当c2=-3时，已经超出保持最优基不变的范围，因此单纯形 表不再是最优单纯形表。将c2=-3代入单纯形表，得到以下 单纯形表： x2进基
-1/3
-1/3 1/3
-46/3
8/3 10/3
得到新的最优解：x1=8/3，x2=10/3，x3=0， x4=0，x5=0，min z=-46/3
（2）基变量在目标函数中系数的灵敏度分析 例2： 在下面线性规划问题中，分析c1在什么范围内
变化时，原问题的最优基不变。 max s.t. z= 2x1 +x2 5x2
z z x1 x5 1 -2 0 x1 0 1 0 x2 1 1 [3] x3 -1 1
X5 离1 基
x4 -2 1 1
x5 0 0 1
RHS -12 6 10
得到最终单纯形表： z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
z
x1 x2
1
-2 -3
0
1 0
0
0 1
-4/3
2/3 1/3
-7/3
2/3 1/3
灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几方面 的问题： （1）线性规划问题中的各系数在什么范围内变化， 不会影响已获得的最优基。 （2）如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最 优解的基础上求得新的最优解。 （3）当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
≤15 ≤24
6x1 +2x2
X1
x1,
+x2
x2,
≤5
≥0
首先得到以上问题的最优单纯形表： C z 2 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 RHS
z
x3 x1 x2
1
0 2 1
0
0 1 0
C Z x1 0 0 1 0
0
0 0 1
2+ 1 x2 0 0 0 1
0
1 0 0
0 x3 0 1 0 0
Sensitivity Analysis 第三节 对偶与灵敏度 分析
第3节 对偶与灵敏度分析 一、 线性规划的对偶关系 二、 线性规划的对偶性质 三、灵敏度分析
四、对偶关系的经济解释
2
第3节
对偶与灵敏度分析
灵敏度分析
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条 件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的改变而 改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策 选择。显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发 生变化后，原来已得结果一般会发生变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
由于x2在最优单纯形表中是非基变量，因此只影响它本身的检验数
z2 c2 (c1 y12 c5 y22 ) c2 (2 1 0 3) c2 2 c2 0
得到
c2 2
由于最优解XB=B-1b以及最优解的目标函数值 z=CBB-1b与非基变量在目标函数中的系数CN无 关，其他变量在目标函数中的系数都不变。x2在 目标函数中的系数从原来的值1减少到 -2时，最 优基保持不变。相应的单纯形表如下：
。
2、常数项的灵敏度分析
当右边常数向量b发生变化，成为b’时，对变量的检 验数 z c CT B1 p c
1.目标函数系数C的变化范围
目标函数系数变化，只会影响最优 解中检验数行，不会影响基变量的 取值。即C中元素的变化只会影响 最优解的对偶可行性而不会影响原 始可行性。
（1）非基变量在目标函数中系数的灵敏度分析
m个基变量xBr（r=1,2,…,m）在目标函数中的系数为：
0 1 1 z Br c Br C B B p Br c Br c B1 c Br c Bm X c Br 0 在最优解中只会影响这个非基变量 K 的检 验数，其他非基变量的检验数不会变化。 0 n-m个非基变量xj在目标函数中的系数为：
C Z
2+ x1
1 x2
0 x3
0 x4
0 x5 RHS
z
x3
1
0
0
0
0
0
0
1
1/4+/4
5/4
1/2-/2
-15/2
17/2+7/2
15/2
x1
x2
2+
1
1
0
0
1
0
0
1/4
-1/4
-1/2
3/2
7/2
3/2
为了表中解为最优，应有， 1/4+/4≥0 ，1/2-/2≥0 因此 -1≤≤1，即当1c13时，最优基保持不变。 当c1的变化超出以上范围时，至少会使一个检验数zj-cj<0， 用单纯形法继续运行，就可以得到新的最优基和最优解。
z j c j CBB1 p j c j
因此，当非基变量xk的系数ck 变化成为
ck’=ck+ 时，基变量的检验数仍为0。
针对目标函数极大化的线性规划问题：
★如果变化后的xk的检验数仍然为非负，则原来 的最优基仍保持为最优基。 ★如果变化后的xk的检验数为负数，则原来的最 优基不再是最优基，新的最优基可以通过将xk进 基，并进行后续的单纯形迭代，得到新的最优基 和最优解。
线性规划问题例题
例1
目标函数
约束条件：
min s.t.
z= -2x1 x1 x1 ,
+x2 -x3 +x2 +x3 x2, x3 ≤6
什么范围内变化，原来的最优基保持不变；
当c2=-3时，最优基是否变化，如果变化，求新的 最优基和最优解。
首先用单纯形法得到原问题的最优单纯形表， C z z x1 x5 1 -2 0 -2 x1 0 1 0 1 x2 -3 1 3 -1 x3 -1 1 1 0 x4 -2 1 1 0 x5 0 0 1 RHS -12 6 10
1/4
1/2
17/2
15/2 7/2 3/2
0 x5 RHS
5/4 -15/2 1/4 -1/2 -1/4 3/2
0 x4 1/4+/4 5/4 1/4 -1/4
当c1’=c1+时，相 应的单纯形表为：
z x3 x1 x2
1 0 2+ 1
1/2-/2 17/2+7/2 -15/2 -1/2 3/2 15/2 7/2 3/2
RHS
0 -2-c2 1 0 1 3
-12 6 10
当c2=-3时，已经超出保持最优基不变的范围，因此单纯形 表不再是最优单纯形表。将c2=-3代入单纯形表，得到以下 单纯形表： x2进基
-1/3
-1/3 1/3
-46/3
8/3 10/3
得到新的最优解：x1=8/3，x2=10/3，x3=0， x4=0，x5=0，min z=-46/3
（2）基变量在目标函数中系数的灵敏度分析 例2： 在下面线性规划问题中，分析c1在什么范围内
变化时，原问题的最优基不变。 max s.t. z= 2x1 +x2 5x2
z z x1 x5 1 -2 0 x1 0 1 0 x2 1 1 [3] x3 -1 1
X5 离1 基
x4 -2 1 1
x5 0 0 1
RHS -12 6 10
得到最终单纯形表： z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
z
x1 x2
1
-2 -3
0
1 0
0
0 1
-4/3
2/3 1/3
-7/3
2/3 1/3
灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几方面 的问题： （1）线性规划问题中的各系数在什么范围内变化， 不会影响已获得的最优基。 （2）如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最 优解的基础上求得新的最优解。 （3）当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
≤15 ≤24
6x1 +2x2
X1
x1,
+x2
x2,
≤5
≥0
首先得到以上问题的最优单纯形表： C z 2 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 RHS
z
x3 x1 x2
1
0 2 1
0
0 1 0
C Z x1 0 0 1 0
0
0 0 1
2+ 1 x2 0 0 0 1
0
1 0 0
0 x3 0 1 0 0
Sensitivity Analysis 第三节 对偶与灵敏度 分析
第3节 对偶与灵敏度分析 一、 线性规划的对偶关系 二、 线性规划的对偶性质 三、灵敏度分析
四、对偶关系的经济解释
2
第3节
对偶与灵敏度分析
灵敏度分析
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条 件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的改变而 改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策 选择。显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发 生变化后，原来已得结果一般会发生变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
由于x2在最优单纯形表中是非基变量，因此只影响它本身的检验数
z2 c2 (c1 y12 c5 y22 ) c2 (2 1 0 3) c2 2 c2 0
得到
c2 2
由于最优解XB=B-1b以及最优解的目标函数值 z=CBB-1b与非基变量在目标函数中的系数CN无 关，其他变量在目标函数中的系数都不变。x2在 目标函数中的系数从原来的值1减少到 -2时，最 优基保持不变。相应的单纯形表如下：
。
2、常数项的灵敏度分析
当右边常数向量b发生变化，成为b’时，对变量的检 验数 z c CT B1 p c
1.目标函数系数C的变化范围
目标函数系数变化，只会影响最优 解中检验数行，不会影响基变量的 取值。即C中元素的变化只会影响 最优解的对偶可行性而不会影响原 始可行性。
（1）非基变量在目标函数中系数的灵敏度分析
m个基变量xBr（r=1,2,…,m）在目标函数中的系数为：
0 1 1 z Br c Br C B B p Br c Br c B1 c Br c Bm X c Br 0 在最优解中只会影响这个非基变量 K 的检 验数，其他非基变量的检验数不会变化。 0 n-m个非基变量xj在目标函数中的系数为：
C Z
2+ x1
1 x2
0 x3
0 x4
0 x5 RHS
z
x3
1
0
0
0
0
0
0
1
1/4+/4
5/4
1/2-/2
-15/2
17/2+7/2
15/2
x1
x2
2+
1
1
0
0
1
0
0
1/4
-1/4
-1/2
3/2
7/2
3/2
为了表中解为最优，应有， 1/4+/4≥0 ，1/2-/2≥0 因此 -1≤≤1，即当1c13时，最优基保持不变。 当c1的变化超出以上范围时，至少会使一个检验数zj-cj<0， 用单纯形法继续运行，就可以得到新的最优基和最优解。
z j c j CBB1 p j c j
因此，当非基变量xk的系数ck 变化成为
ck’=ck+ 时，基变量的检验数仍为0。
针对目标函数极大化的线性规划问题：
★如果变化后的xk的检验数仍然为非负，则原来 的最优基仍保持为最优基。 ★如果变化后的xk的检验数为负数，则原来的最 优基不再是最优基，新的最优基可以通过将xk进 基，并进行后续的单纯形迭代，得到新的最优基 和最优解。
线性规划问题例题
例1
目标函数
约束条件：
min s.t.
z= -2x1 x1 x1 ,
+x2 -x3 +x2 +x3 x2, x3 ≤6
什么范围内变化，原来的最优基保持不变；
当c2=-3时，最优基是否变化，如果变化，求新的 最优基和最优解。
首先用单纯形法得到原问题的最优单纯形表， C z z x1 x5 1 -2 0 -2 x1 0 1 0 1 x2 -3 1 3 -1 x3 -1 1 1 0 x4 -2 1 1 0 x5 0 0 1 RHS -12 6 10
1/4
1/2
17/2
15/2 7/2 3/2
0 x5 RHS
5/4 -15/2 1/4 -1/2 -1/4 3/2
0 x4 1/4+/4 5/4 1/4 -1/4
当c1’=c1+时，相 应的单纯形表为：
z x3 x1 x2
1 0 2+ 1
1/2-/2 17/2+7/2 -15/2 -1/2 3/2 15/2 7/2 3/2