2.1 有理数知识点总结与例题讲解

新华师大版七年级上册数学第2章有理数
2.1有理数知识点、题型总结与习题讲练
一．本节知识点
（1）相反意义的量.
（2）正数和负数.
（3）有理数的概念及其分类.
二、本节题型
（1）判断具有相反意义的量.
（2）正数和负数的识别.
（3）用正数和负数表示具有相反意义的量.
（4）有理数的概念及分类.
三、知识点讲解
知识点一相反意义的量
相反意义的量必须满足以下两个条件:
（1）是同类量;
（2）成对出现,意义相反,数量不一定相等.
注意:具有相反意义的量必须是成对出现的,且一定不要漏掉单位和数量.
知识点二正数和负数
用正数和负数表示具有相反意义的量.做法是:先规定其中一种意义为正,那么与它相反的意义为负.
用正数、负数表示具有相反意义的量的三个特性:
（1）任意性哪种意义的量为正,可以任意选择.
（2）成对性具有相反意义的量是成对出现的.
（3）不等性具有相反意义的两个量,其数据可以不相等.
注意:
（1）正数的前面加正号,负数的前面加负号.正号可以省略不写,负号不可以省略. （2）正数和负数可以用来表示具有相反意义的量,哪种意义的量为正可以任意选择,但习惯上把上升、提高、增加、盈利、收入等量为正.
零既不是正数,也不是负数.
知识点三 有理数的概念及其分类
整数和分数统称为有理数.
整数分为正整数、零和负整数.分数分为正分数和负分数.
正整数和零统称为自然数,又叫非负整数.
有限小数和无限循环小数都属于分数.
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数,或按正、负分类为:⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 有理数可以细分为五类,即正整数、正分数、零、负整数和负分数.
零既不是正数,也不是负数,但零是整数.
补充概念 非负数:0和正数统称为非负数;非正数:0和负数统称为非正数.
四、题型讲解
题型一 判断具有相反意义的量
相反意义的量必须满足以下两个条件:
（1）是同类量;
（2）成对出现,意义相反,数量不一定相等.
注意: 具有相反意义的量必须是成对出现的,且一定不要漏掉单位和数量. 例1. 下列选项中,具有相反意义的量的是【 】
（A ）收入25元与支出30元 （B ）上升7米和后退9米
（C ）卖出12千克与盈利50元 （D ）向东走14米和向北走20米
分析:（A ）中,收入与支出是具有相反意义的量,符合题意;（B ）中,上升的相反意义是下降,后退的相反意义是前进,不符合题意;（C ）中,卖出的相反意义是买进,盈利的相反意义是亏损,不符合题意;（D ）中,向东走的相反意义是向西走,向北走的相反意义是向南走,不符合题意.
解: 由分析可知,选择【 A 】.
例2. 仔细思考以下各组量:
①胜二局与负三局;②气温上升3℃与气温下降3℃;③盈利5万元与支出6万元;④增加10%与减少20%.其中具有相反意义的量有【 】
（A ）1组 （B ）2组 （C ）3组 （D ）4组 解: 选择【 C 】.
题型二 正数和负数的识别
（1）0即不是正数,也不是负数.
（2）单符号的数据,正数的前面有“+”号或“+”号省略不写;负数的前面有“—”号.
例 3. 在3,7
1,0,6.8%,20,1+-+-中,正数一共有_________个,负数一共有_________个.
分析:0即不是正数,也不是负数.
解:正数为+20% , 7
1 , +3 ,共有3个;负数为6.8,1--,共有2个. 例4. 下列各数中,哪些数是正数?哪些数是负数?
100,75.0,2
1,5.0,5,3,41,0,2+--+-. 分析: 正数与负数的识别看数据前面的符号,正数的前面加正号,负数的前面加负号.正号可以省略不写,负号不可以省略.
特别地,0既不是正数,也不是负数.也就是说,0不能归为正数和负数.
解:正数有:100,75.0,5,3,41++;负数有:2
1,5.0,2---. 题型三 用正数和负数表示具有相反意义的量
例5. 如果向东走8千米记作+8千米,向西走5千米记作5-千米,那么下列各数分别表示什么?
（1）+4千米; （2）5.3-千米; （3）0千米.
分析: 正数和负数可以用来表示具有相反意义的量,哪种意义的量为正可以任意选择,但习惯上把上升、提高、增加、盈利、收入等量为正.
解:（1）+4千米表示向东走4千米;
（2）5.3-千米表示向西走3.5千米;
（3）0千米表示原地不动.
例6. 如果芳芳同学向东走20米,记作+20米,那么30-米表示芳芳【 】
（A ）向东走30米 （B ）向东走50米
（C ）向西走30米 （D ）向西走30-米
分析:向东走与向西走具有相反意义,若规定其中一个为正,则另一个为负.上题
中,规定向东走的距离为正数,则向西走的距离为负数.即30-米表示芳芳向西走30米.注意,不能说成是向西走30-米.
解: 选择【 C 】.
例7. 若身高以163 cm 为基准,甲的身高为168 cm,记为+5 cm,则:
（1）乙的身高为157 cm,记为_________;
（2）丙的身高为_________cm,记为+9 cm;
（3）丁的身高为163 cm,记为_________.
解:（1）6-cm; （2）172 ; （3）0 cm.
例8. 如果一个乒乓球的质量比标准质量重0. 02克,记作+0. 02克,那么03.0-克表示____________________.
解: 03.0-克表示比标准质量轻0. 03克.
题型四 有理数的概念及分类
例8. 在4 , 132, 0. 16666… , 3.4-,4
11-中,分数有【 】 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 分析:本题考查分数的定义和分类.有限小数和无限循环小数都属于分数.分数按数的正负可分为正分数和负分数.
解: 分数有:132, 0. 16666… , 3.4-,4
11-,共有4个,选择答案【 D 】. 例9. 下列说法正确的有【 】
①一个有理数不是正数就是负数;②0是整数,但不是自然数;③0不是正数,也不是负数;④0表示没有.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 分析:本题主要考查对有理数0的认识,容易出错:
（1）0即不是正数,也不是负数,但0是整数.
（2）0和正整数统称为自然数,又叫非负整数.
显然,①、②说法错误.在实际中,0不再仅仅表示“没有”,故④说法错误,只有③说法正确.
解: 选择【 A 】.
例10. 在数11-、5%、3.2-、61、3.1415926、0、4
3-、π-、2018中,负有理数
有_________个,负分数有_________个,整数有_________个.
分析:（1）有理数按正负可分为正有理数、0和负有理数.
（2）有限小数和无限循环小数都属于分数.
（3）分数按正负可分为正分数和负分数.
（3）整数分为正整数、0和负整数.
（4）要特别注意,ππ-,都不是有理数.
解: 负有理数有:11-、3.2-、43-
,共有3个; 负分数有:3.2-、4
3-,共有2个; 整数有:11-、0、2018,共有3个.
五、习题
1. 若规定收入5元记作+5元,则50-元表示【 】
（A ）收入50元 （B ）支出50元
（C ）减去50元 （D ）等于50元
2. 设置一种记分的方法:85分如88分记为+3分.某个学生在记分表上的分数记为6-分,则这个学生的实际分数应该是【 】
（A ）91分 （B ）91-分 （C ）79分 （D ）79-分
3. 某校办印刷厂今年四月份盈利6万元,记作+6万元,五月份亏损了2. 5万元,应记作_________万元.
4. 如果水库的水位高于正常水位5 m 时,记作+5 m,那么低于正常水位3 m 时,应记作【 】
（A ）+3 m （B ）3-m （C ）31+m （D ）3
1-m 5. 如果把收入100元记作+100元,那么支出80元记作【 】
（A ）+20元 （B ）+100元 （C ）+80元 （D ）80-元
6. 给出下面各数:0,33.2,136,5,2,125,618.0,35,11,56.0,3,2--+----,其中负数的个数为【 】
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
7. 下面关于0的叙述,正确的有【 】
①0是正数和负数的分界;②0比任何负数都大;③0只表示没有;④0常用来表示某
种量的分界.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
8. 在有理数%25.1,22
7,0,15,7.6,1,65--+-中,属于分数的有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
9. 下列说法中,正确的个数有【 】
①14.3-既是负数,又是小数,也是有理数;
②25-既是负数,又是整数,但不是自然数;
③0既不是正数,也不是负数,但是整数;
④0是非负数.
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
10. 在数100,3,0,7,2
1,25.0--中,非负数的个数是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11. 在11,7.0,3
2,0,5.3,2--+-中,负分数有【 】 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
12. 下面四个数中,是正整数的是【 】
（A ）1- （B ）0 （C ）
21 （D ）1 13. 在有理数108,0,45.0,7
15--中,整数是__________,非负数是__________. 14. 在智力竞赛中,如果加30分记作+30分,那么扣10分应记作_________分.
15. 某种零件,标明要求是2.025±ϕ（ϕ表示直径,单位: mm ）,经检查,一个零件的直径是24. 9 mm,则该零件_________（填“合格”或“不合格”）.
16. 给出下列各数:22
7,
1000,1159.3,0,443.4-,其中有理数的个数是m ,非负数的个数是n ,则=+n m _________.
17. 下列各数中,哪些是正数?哪些是负数? π----,14.3,0,8.1,2
13,3%,20,74,05.0,12.
18. 把下列各数填入相应的大括号内.
14.3,10,7
22,54,27,0,5.13--+-. （1）正数集:｛ …｝;
（2）负数集:｛ …｝;
（3）整数集:｛ …｝;
（4）分数集:｛ …｝;
（5）非负整数集:｛ …｝.
19. 把下列各数填入相应的大括号里:
2018,3%,95,0,7.8,3
1,5.0,55.3,1-----. 负整数集:｛ …｝; 非负整数集:｛ …｝; 正分数集:｛ …｝; 负分数集:｛ …｝.。