不变子群的判别条件
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不变子群的判别条件
高海燕
(西北师范大学数学系2003届)
摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.
关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系
一、准备知识
设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈∀,都有Ha aH =,那么，就说H 是
G
的一个不变子群. 记为：G H .
设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元
素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭.
3．正规化子：N G (H)={g ↔G ︱H g =H}={g ↔G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规
化子。
4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系
R 满足：aRb, cRd ⇒ acRbd ∀a,b,c ↔A 则称R 为A 的一个同余关系。
一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程. ㈠．与定义等价的判别条件
1.H G ，即∀a ↔G, 有aH=Ha
2.∀a ↔G,有aHa 1-=H
3.∀a↔G,有aHa1-⊆H
4.∀a↔G,∀h↔H,有aha1-↔H
5.∀a↔G,有aH⊆Ha
6.∀a↔G,有H⊆a1-Ha
7.aHbH=abH, ∀a,b↔G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集
8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集
9.∀a↔G,有a1-Ha=H
10.∀a↔G,有a1-Ha⊆H
11.∀a↔G,∀h↔H,有a1-ha↔H
12.∀a↔G,有Ha⊆aH
13.∀a↔G,有H⊆aHa1-
14.HaHb=Hab, ∀a,b↔G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集
15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集
16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之
积运算构成群.（即商群存在）
17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b↔H，所定义的关系R为同余
关系
(H)=G
18.N
G
19.若n↔N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。即H由G的若干整个的
共轭类组成。
证明上述条件的等价性，在此采用两种证法.
证法1：
证明思路：2←→9，3←→10，4←→11，5←→12，6←→13，7←→14，8←→15
8 17
↓↑↓↑
18 ←→ 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 1 ←→ 19
↓↑↑↓
7 →→→→→←←←←16
证明过程：
2 ⇒ 9:∀a↔G,有aHa1-=H, 故a1-(aHa1-)a=a1-Ha ⇒ a1-Ha=H
9 ⇒ 2:∀a↔G,有a1-Ha=H, 故a(a1-Ha)a1-=aHa1-⇒ aHa1-=H
3 ⇒10:∀a↔G,有aHa1-⊆H ⇒ aha1-↔H ⇒ aha1-=h
1∀h,h
1
↔H ⇒
h=a1-h
1a ⇒ a1-h
1
a↔H ⇒ a1-Ha⊆H
10⇒ 3:∀a↔G,有a1-Ha⊆H ⇒ a1-ha=h
1∀h,h
1
↔H ⇒ h=ah1a1-⇒
ah
1
a1-↔H ⇒aHa1-⊆H ∀a↔G
4 ⇒11:∀a↔G, ∀h
1
↔H, 有ah1a1-↔H ⇒ ah1a1-=h ∀h↔H ⇒
a1-ha=h
1
⇒ a1-ha↔H ∀h↔H
11⇒ 4:∀a↔G,∀h
1
↔H, 有a1-h1a↔H ⇒ a1-h1a=h ∀h↔H ⇒
aha1-=h
1
⇒aha1-↔H ∀h↔H
5 ⇒12:∀a↔G，有aH⊆Ha ⇒ ah=h
1a ∀h,h
1
↔H ⇒ h1a↔aH ⇒
Ha⊆aH
12⇒ 5:∀a↔G，有Ha⊆aH ⇒ ha=ah
1∀h,h
1
↔H ⇒ ah1↔Ha ⇒ aH
⊆Ha
6 ⇒13:∀a↔G,有H⊆a1-Ha⇒ h↔a1-Ha ⇒h=a1-h
1a ∀h,h
1
↔H ⇒
h
1=aha1-⇒h
1
↔aHa1-⇒ H⊆aHa1-∀a↔G
13⇒ 6:∀a↔G，有H⊆aHa1-⇒ a1-Ha⊆a1-(aHa1-)a 即a1-Ha⊆H ⇒
a1-h
1a=h ∀h,h
1
↔H ⇒ h↔a1-Ha ⇒ H⊆a1-Ha ∀a↔G
7 ⇒14:∵aHbH=abH,∀a,b↔G⇒ H(aHbH)H1-=H(abH)H1-⇒HaHb=Hab,∀a,b↔G
14⇒ 7:∵HaHb=Hab,∀a,b↔G⇒ H1-(aHbH)H=H1-(abH)H⇒aHbH=abH,∀a,b↔G
8 ⇒15:H在G 中的每个左陪集都是一个右陪集，即∀a↔G, 有aH=Ha
故Ha=aH ∀a↔G 即H在G中的每个右陪集都是一个左陪集
1 ⇒ 2:由H是G的不变子群，即∀a↔G,有aH=Ha,于是aHa1-=Haa1-=He=H
2 ⇒ 3:∀a↔G,有aHa1-=H, 显然aHa1-⊆H
3 ⇒ 4:∀a↔G,有aHa1-⊆H 故∀a↔G, ∀h↔H有aha1-↔H
4 ⇒ 5:∀a↔G, aha1-↔H ⇒ ah↔Ha ∀h↔H ⇒ aH⊆Ha
5 ⇒ 6:∀a↔G, aH⊆Ha ⇒ a1-(aH )⊆a1-Ha ⇒ H⊆a1-Ha ∀a↔G
6 ⇒ 1:∀a↔G, 有H⊆a1-Ha ⇒ h↔a1-Ha ⇒ h=a1-h
1a ⇒ ah=h
1
a
∀h,h1↔H ⇒aH⊆Ha 且Ha⊆aH ⇒ Ha=aH ∀a↔G 1 ⇒ 7:先证aHbH⊆abH ：
∀a↔G,有aH=Ha,设∀a,b↔G,存在h
1,h
2
,h
3
,h
4
↔H,有h1a=ah3