大学物理作业汇总

第4章 真空中的静电场

4－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。

解：建立如图所示的直角坐标系o-xy ，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为

dq=λRd θ，dq 在O 点产生的电场强度为

x y dE dE i dE j =+r r r

, 由对称分析得 E y =0。

其中22

0044dq Rd dE R R λθ

πεπε=

=，则

2

0sin sin 4x x Rd E E dE dE R λθ

θθπε====⎰⎰⎰

0sin 4d R πλθθπε=⎰R 02πελ

=2022R q επ=

如图，方向沿x 轴正向。

4－8 求半径为R ，带电量为q 的空心球面的电场强度分布。

解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性。则可应用高斯定理求解。在带电球内部与外部区域分别作半径为r 的同心球面S 1与S 2为高斯面，则

（1）r R <

1

2

d 40S E r ψπ=⋅==⎰

E S r r Ñ 得 0=内E (2) r R >

2

2

d 4S q E r ψπε=⋅==⎰

E S r r Ñ 2r

e r

πε=

r r 外E 0q 4 4－9 如图所示，厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外

的电场分布。

解:带电平板均匀带电，产生的电场具有面对称性，因而可以应用高斯定理求解。作一柱形高斯面，其侧面与板面垂直；两底面s 和板面平行,且到板中心平面的距离相等，用x 表示。

x

r

习题7－18图

(1) 平板内（2

d x <

） 1

1

10

2d 2S S x E S ρψε⋅=⋅==⎰E S r r Ñ

得 10

E x ρ

ε=

，方向垂直板面向外。 （2）平板外 （2

d x >

） 2

220

d 2S Sd

E S ρψε=⋅==

⎰E S r

r Ñ 20

2E d ρ

ε=

，方向垂直板面向外。 4－16 两个同心球面的半径分别为R 1和R 2,各自带有电荷Q 1和Q 2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？

解 1、(1) 先应用高斯定理求各区域的电场强度 (a) 1r R <

1

2

1140S E dS E r π⋅==⎰r r Ñ 10E =

(b) 12R r R ≤≤

2

2

1220

4S Q E dS E r πε⋅==⎰r r Ñ 12204r

Q E e r

πε=

r r

(c) 2r R >

3

2

123304S Q Q E dS E r πε+⋅==⎰r r Ñ 12304r Q Q E e πε+=r r （2）求各区域的电势 (a) 1r R <

1

221

2

1

2112

11232

00

44R R R r

R R R R Q Q Q V E dr E dr E dr dr dr r

πεπε∞∞

+=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⎰

⎰⎰⎰

⎰r r r r r r

得 12

10

12

1(

) 4Q Q V R R πε=

+ (b) 12R r R ≤≤

222

2112

1232

00

44R R r

R r

R Q Q Q V E dr E dr dr dr r

πεπε∞∞

+=⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰

⎰r r r r

得 12

20

2

1(

) 4Q Q V r R πε=

+ (c) 2r R >

12

130

4r r Q Q V E dr dr πε∞∞+=⋅=⋅⎰⎰r r

得 12

30 4Q Q V r

πε+=

2、两球面间的电势差为

221

1

111222

0012

11

()44R R R R Q Q V E dr dr r

R R πεπε=⋅==-⎰⎰

r r 4－17 一半径为R 的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。 解： 据高斯定理有

R r ≤时：

21102S

r l

E dS E rl ρππε⋅==⎰r r Ñ102n r E e ρε→=r r R r =时，V=0，则 R r ≤时：10

2R

R

r

r

V E dr rdr ρ

ε=⋅=

⎰⎰

r r )(4220

r R -=

ερ

R r >时：

习题7－

16图

习题7－10图

r