中考数学专题 多边形与平行四边形

学科教师辅导讲义
年级：辅导科目：数学课时数：3
课题多边形与平行四边形
教学目的
教学内容
一、【中考要求】
了解正多边形的概念，探索并了解多边形的内角和与外交和公式，掌握平行四边形的概念和性质，了解四边形的不稳定性，探索平行四边形的有关性质，探索四边形是平行四边形的条件，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并运用这种图形进行简单的镶嵌设计。

二、【三年中考】
1．(2009·宁波)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED 的度数是()
A．110°B．108°C．105°D．100°
解析：根据多边形的外角和是360°得：∠AED的补角＝360°－(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)＝80°，∴∠AED＝180°－80°＝100°.
答案：D
2．(2009·丽水)下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为()
解析：观察选项易得D满足条件．
答案：D
3．(2010·湖州)如图，已知在▱ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则▱ABCD的周长等于()
A．10cmB．6cmC．5cmD．4cm
解析：▱ABCD的周长为：2(AD＋AB)＝2×(3＋2)＝10 (cm)．
答案：A
4．(2009·嘉兴)在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
解：设∠A ＝x(度)，则∠B ＝x ＋20，∠C ＝2x.
根据四边形内角和定理得x ＋(x ＋20)＋2x ＋60＝360. 解得x ＝70. ∴∠A ＝70°，∠B ＝90°，∠C ＝140°.
5．(2010·舟山)已知：如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 的中点． 求证：AF ＝CE.
证明：方法一：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝CF.
又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，即AE ∥CF.
∴四边形AFCE 是平行四边形． ∴AF ＝CE. 方法二：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴∠B ＝∠D ，AB ＝CD. ∴△ABF ≌△CDE. ∴AF ＝CE.
三、【考点知识梳理】
（一）多边形的概念与性质
1．定义：多边形的对角线是连结多边形不相邻的两个顶点的线段．
注意：从n 边形的一个顶点出发可以引出(n －3)条对角线，一个n 边形共有n (n －3)
2条对角线．
2．n 边形的内角和是(n －2)·180°，外角和是360°.
温馨提示：
解决n 边形的有关问题时，往往连结其对角线转化成三角形的相关知识，研究n 边形的外角问题时，也往往转化为n 边形的内角问题。

（二）平面图形的密铺
1．密铺的定义
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．
2．平面图形的密铺
(1)一个多边形密铺的图形有：三角形、四边形和正六边形；
(2)两个多边形密铺的图形有：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形和正三角形和正十二边形；
(3)三个图形密铺的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形、正方形、正六边形和正十二边形、正三角形、正方形和正十二边形．
（三）平行四边形的定义、性质与判定
1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．性质：(1)平行四边形的对边平行，平行四边形的对边相等； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)平行四边形是中心对称图形．
3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
四、【中考典例精析】
类型一 多边形和平面图形的密铺
(1)若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是( ) A ．9B ．8C ．6D ．4
(2)下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形
【点拨】(1)n 边形的内角和是(n －2)·180°，∴(n －2)·180°
n
＝120°，∴n ＝6.也可以求出这个正多边形的每一个外角
是60°，∴360°
60°＝6，即选C.
(2)用一种图形进行平面镶嵌的有三角形、四边形、正六边形，∴选C. 【答案】(1)C (2)C
类型二 平行四边形的性质与判定
(1)如图，在▱ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE ＝CF.
求证：∠EBF ＝∠FDE.
(2)如图，在▱ABCD 中，已知点E 在AB 上，点F 在CD 上且AE ＝CF.
①求证：DE ＝BF ；②连结BD ，并写出图中所有的全等三角形．(不要求证明)
【点拨】用平行四边形的判定方法和性质可解决有关角的相等或互补、线段相等或倍数关系、两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题． 【解答】(1)证明：连结BD 交AC 于O 点．∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD.
又∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，
∴四边形BEDF 是平行四边形，∴∠EBF ＝∠FDE. (2)①在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD.
∵AE ＝CF ，∴BE ＝DF ，且BE ∥DF.
∴四边形BFDE 是平行四边形．∴DE ＝BF. ②连结BD ，如图，图中有三对全等三角形：
△ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，△ABD≌△CDB.
方法总结：
1.准确理解平四边形的性质和判定之间的区别和联系是学习本节的关键。

根据平行四边形得到它的边、角、对角线
之间的关系用性质定理；根据四边形边、角、对角线之间的关系得出四边形是平行四边形时用判定定理。

2.判断平行四边形的方法很多，应明确分别从边、角、对角线这三个不同角度判断各需要什么条件。

当平行四边形
的判定方法不只一种时，应选择比较简单的判定方法，涉及对角线上的有关线段时，通过对角线互相平分来判定平行四边形比较简单。

五、【易错题探究】
已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有()
A．6种B．5种C．4种D．3种
【解析】本题考查平行四边形的判定方法，从边、角、对角线三方面准确记忆判定方法是做题的关键．利用判定方法可
得①②、①③、②④、③④.这四种情况能判定平行四边形ABCD是平行四边形．
【易错警示】一是对识别条件不理解，不能准确地利用平行四边形的判定方法，在解题过程中，有时误用条件而导致判断出错，凭主观印象就判定一个四边形是平行四边形；二是把平行四边形的判定方法与性质混淆．
六、【课堂基础检测】
1．如图是一个五边形木架，它的内角和是()
A．720°B．540°C．360°D．180°
答案：B
2．现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有()
A．2种B．3种C．4种D．5种
答案：B
3．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E、交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝42，则△CEF的周长为()
A．8B．9.5C．10D．11.5
答案：A
4．如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G.
求证：AE＝DG.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD.
∴∠GBC ＝∠BGA ，∠BCE ＝∠CED. 又∵BG 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ABG ＝∠GBC ，∠BCE ＝∠ECD. ∴∠ABG ＝∠BGA ，∠ECD ＝∠CED. ∴AB ＝AG ，CE ＝DE.∴AG ＝DE. ∴AG －EG ＝DE －EG ，即AE ＝DG .
5．如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点． 证明：四边形DECF 是平行四边形．
证明：∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点， ∴DF ∥BC ，DE ∥AC 即DF ∥EC ，DE ∥CF. ∴四边形DECF 是平行四边形．
七、【课后达标练习】
一、选择题
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7
解析：由题意得(n －2)·180°＝2×360°，∴n ＝6. 答案：C
2．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是( ) A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形
解析：用同一种多边形铺满地面和只有三角形、四边形、正六边形． 答案：C
3．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的根，则▱ABCD 的周长为( )
A ．4＋22
B ．12＋6 2
C ．2＋2
D ．2＋2或12＋6 2
解析：解x 2＋2x －3＝0得x 1＝1，x 2＝－3(舍去)．∴AE ＝BE ＝EC ＝1.在Rt △ABE 中，AB ＝
AE 2＋BE 2＝2，
∴▱ABCD 的周长为：2(AB ＋BC)＝2(2＋2)＝4＋2 2.
答案：A
4．小陈从O 点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°；……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O 时一共走了( )
A ．60米
B ．100米
C ．90米
D ．120米
解析：小陈回到出发点时，走了一周360°，∴360°
20°
×5＝90(米)．
答案：C
5．如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB ＝3，则▱ABCD 的周长为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ，所以∠BAC ＝∠DCA ，因为AC 平分∠DAB ，所以∠BAC ＝∠DAC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，所以AD ＝CD ，所以四边形ABCD 为菱形，故四边形ABCD 的周长为12.故选C. 答案：C
6．如图为一个平行四边形ABCD ，其中H 、G 两点分别在BC 、CD 上，AH ⊥BC ，AG ⊥CD ，且AH 、AC 、AG 将∠BAD 分成∠1、∠2、∠3、∠4四个角．若AH ＝5，AG ＝6，则下列关系何者正确？( )
A ．∠1＝∠2
B ．∠3＝∠4
C ．BH ＝GD
D ．HC ＝CG
解析：由平行四边形的对角可得∠B ＝∠D ，又AH ⊥BC ，AG ⊥CD ，利用等角的余角相等可得∠1＝∠2. 答案：A
7．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边长BC 的中点，AB ＝4，则OE 的长是( )
A ．2B.2C ．1D.1
2
解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC.∵点E 是边BC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12AB ＝1
2
×4＝2，故选A. 答案：A 8．如图，已知▱ABCD 的对角线BD ＝4cm ，将▱ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为( )
A ．4πcm
B ．3πcm
C ．2πcm
D ．πcm
解析：点D 所转过的路径长即是以O 为圆心，OD 长为半径的半圆的弧长，即1
2
×4π＝2π (cm)．
答案：C 二、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝130°，在AD 上截取DE ＝DC ，则∠ECB 的度数是________．
解析：由题意知，∠D ＝180°－130°＝50°，∵DC ＝DE ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠ECB ＝
∠CED ＝65°.
答案：65°
10．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，AB ＝12cm ，F 是AC 边上一点，过点F 作EF ∥BC 交AB 于点E ，过点F 作FD ∥AB 交BC 于点D.则四边形BDEF 的周长是________．
解析：∵BA ＝BC ，∴∠A ＝∠C.又DF ∥AB ，∴∠A ＝∠DFC ，∴∠DFC ＝∠C ，∴DF ＝DC ，∴▱BDEF 的周长为：2(BD ＋DF)＝2(BD ＋DC)＝2BC ＝24 cm.
答案：24 cm 11．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝14，BD ＝8，AB ＝10，则△OAB 的周长为________．
解析：由平行四边形的对角线互相平分得OA ＝12AC ＝7，OB ＝1
2BD ＝4，∴△OAB 的周长为：OA ＋OB ＋AB ＝7
＋4＋10＝21.
答案：21
12．如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE ∥BD.EF ⊥BC ，DF ＝2，则EF 的长为________．
解析：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠DCF ＝∠ABC ＝60°，AB ＝DE ＝CD.∴CE ＝2DF ＝4.∴EF ＝CEsin ∠DCF ＝4×
3
2
＝2 3. 答案：2 3
13．如图，已知平行四边形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，连结DE 交BC 于点F ，在不添加任何辅助线的情
况下，请补充一个条件，使△CDF ≌△BEF ，这个条件是__________________．(只要填一个)
解析：答案不唯一，选其中一个即可． 答案：DC ＝EB 或CF ＝BF 或DF ＝EF.
三、解答题
14．如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)
关系：①AD ∥BC ，②AB ＝CD ，③∠A ＝∠C ，④∠B ＋∠C ＝180°. 已知：在四边形ABCD 中，____________，____________； 求证：四边形ABCD 是平行四边形．
解：已知①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以． (解法一)
已知：在四边形ABCD 中，①AD ∥BC ，③∠A ＝∠C. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵AD ∥BC ， ∴∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180°.
∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D.
∴四边形ABCD 是平行四边形． (解法二)
已知：在四边形ABCD 中．①AD ∥BC ，④∠B ＋∠C ＝180°. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵∠B ＋∠C ＝180°，∴AB ∥CD.
又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． (解法三)
已知：在四边形ABCD 中，②AB ＝CD ，④∠B ＋∠C ＝180°. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵∠B ＋∠C ＝180°，∴AB ∥CD.
又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形 (解法四)
已知：在四边形ABCD 中，③∠A ＝∠C ，④∠B ＋∠C ＝180°. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：∵∠B ＋∠C ＝180°，∴AB ∥CD ∴∠A ＋∠D ＝180°.
又∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D ∴四边形ABCD 是平行四边形．
15．已知：在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点．
求证：(1)BE ⊥AC ；(2)EG ＝EF.
证明：(1)在▱ABCD 中，AD ＝BC.BD ＝2AD ＝2BO ，∴AD ＝BO ，∴BC ＝BO.∵E 为OC 的中点，∴BE ⊥AC.(2)在▱ABCD 中，AB ＝CD.∵BE ⊥AC ，G 为AB 的中点，∴EG ＝12AB ，∵E 、F 分别为OC 、OD 的中点，∴EF ＝1
2CD ，∴EG
＝EF.。