15第4章剪切流动的分散 环境水力学 教学课件

图4-1 一维纵向分散
第一节 一维纵向剪切流动的分散
图4-1 一维纵向分散
如果所考虑的污染物质是示踪物质，在dt时段内上述的质 量差值应与微分流段内示踪物质的增量相等，即：
xAud cAd x t(C daA t )d dx t
式中：Ca为断面平均浓度。
上式可简化为：
(CatA)xAudc A
( 4-1-1 )
一维纵向分散方程 CaVCa K2Ca
t
x
x2
一维随流扩散方程 c uc D2c t x x2
一维纵向分散方程与一维随流扩散方程在数学形式上是相 同的，所以一维随流扩散方程的解析解可用于一维纵向分
散方程，关键是如何确定纵向分散系数K值 。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
由于纵向分散作用，在单位时间内通过过水断面积 A 的示踪 物质质量可表示为：
c t r c r r c x x c D [ 1 r r ( r c r ) r 1 2 2 2 c x 2 2 c ]
( 4-1-11 )
一维纵向分散方程
将Ex和Kl 合并为一个系数K ，因为Ex值远小于Kl，便有： KExKl Kl
式中：K称为综合扩散系数，但更多的仍然称为纵向分散系数。
式(4-1-11)可写为：
第一节 一维纵向剪切流动的分散
C a V C a1(A K C a)
t
x A x x
( 4-1-12 )
uuuVubu cccCacbc
第一节 一维纵向剪切流动的分散
u ( V c u b u ) C a ( c b c ) ( V u b ) C a ( c b ) u c
( 4-1-4 )
再将ucc 对断面A平均，并以符号＜…＞表示取断面平均值，即：
A1A()dA
便有＜u＞= ＜c＞ =＜ub＞=＜cb＞=0 ，以及：
( 4-1-9 ) ( 4-1-10 )
式中： Kl 为纵向剪切分散系数。
＜＞ u＜＞ C ta V C x a A 1 x [A ( b c b u c )]
第一节 一维纵向剪切流动的分散
将式(4-1-9)和式(4-1-10)代入式(4-1-8)，得：
C ta V C x aA 1 x A E xK l C x a
第一节 一维纵向剪切流动的分散
在单位时间内通过过水断面x的单位面积的污染物质质 量的时均值为：uc
在单位时间内通过过水断面（x +dx）的单位面积的污 染物质质量的时均值为： uc (uc)dx
x
在dt 时段内流入与流出该微分流段的污染物质质量之差为：
A udcA (A d ud tc A xA udcA )d d t x xA udcAdxd
由于时均流速和时均 浓度在断面上分布不 均匀而导致的分散
由于紊流的脉动 而导致的扩散
为了使方程中只包含一个未知函数Ca，需要对这两项采用经 验模式进行处理。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
参照紊动扩散的模式，可令：
uc Ex Cxa
式中：Ex为纵向紊动扩散系数。 参照上式，也可令：
ubcb
Kl
Ca x
A 1AudcA(Vub)(Cacb)u'c' VC aubcb u'c'
代入 (CatA)xAudcA
( 4-1-5 )
第一节 一维纵向剪切流动的分散
得：
＜＞ u ＜＞ (C a tA ) xAa V A (C b c b u c )
将上式展开有：
＜ ＞ ＜ u＞ A C t a C a A t C a ( A x ) A V C x a V x [ A (b c b u c )]
第四章 剪切流动的分散
在第三章中，当求随流扩散方程和随流紊动扩散方程的解析 解时，为了能容易得解答，都假定时均流速是均匀分布的。
然而，在实际的水流中，由于固体边界的滞水作用，导致时 均流速不均匀，从而有流速梯度的剪切力。
❖ 剪切流动：具有流速梯度的流动。
❖ 分散：由于剪切流动中时均流速分布不均匀而导致的 随流扩散，也称为离散或弥散（Dispersion）。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
对于紊流：
任一点的瞬时流速 u 可表达为：
uuuVubu ( 4-1-2 )
瞬时浓度c 可表达为： cccC acbc ( 4-1-3 )
b
图4-2 紊流流速分布
式中: V为断面平均流速，u为脉动流速；
ub为某点时均流速与断面平均流速的差值（简称偏离流 速），即 ub uV ； Ca为断面平均浓度，c 为脉动浓度； cb为某点时均浓度与断面平均浓度的差值（简称偏离浓 度），即 cb cCa。
当过水断面为常数（均匀流），上式简化为：
Ca VBaidu Nhomakorabeaa K2Ca
t
x
x2
( 4-1-13)
一维纵向分散方程的常用形式
对于层流： 除没有脉动值之外，其他分析方法均与上述相同；
Ex 应改换为分子扩散系数D，有：K=D+Kl≈Kl；
式(4-1-12)和式(4-1-13)仍然适用。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
M AubcbdA
( 4-1-14)
也可采用费克定律的形式，将 M表示为
MAKCa x
( 4-1-15)
联立上两式，得K值的基本计算式：
1 KACa/xAubcbdA
( 4-1-16)
以下将进一步研究上式中的cb分别在圆管均匀流、二度明渠均 匀流和天然河流中的计算式，从而得到各自的 K 值计算式。
第二节 圆管均匀流的纵向分散
0 根据一维非恒定流连续方程：
( 4-1-6 )
A (AV)
t
x
( 4-1-7 )
＜＞ u＜＞ C ta V C x a A 1 x [A ( b c bu c )]
第一节 一维纵向剪切流动的分散
＜＞ u＜＞ C ta V C x a A 1 x [A ( b c b u c )]( 4-1-8 )
图4-3 圆坐标示意图
设M(x, y, z)为空间的一点，该点 在XOY面上的投影为P，P点的 极坐标为(r,θ)，则r、θ、z三个 数称作M点的柱面坐标。
点M的直角坐标与柱面坐标之间 有关系式为：
x r cos y r sin z z
第二节 圆管均匀流的纵向分散
用圆柱坐标表示的随流扩散方程: