有限元分析第4章 平面问题有限单元法3

T
二、边界条件（约束条件）的处理
1、处理意义：因为总刚[K]为奇异阵，要排除刚体位移。
2、边界条件类型： a、已知某节点（物体某部分、某点）的位移； ui=const vi=const b、节点固定（常用） ui=0 vi=0
3、处理方法（两种） ⑴改变对应列行元素法
例： Q101 K 1010 101
①
i
(3 ) V i
U(i1)
(4 ) V i
(e ) V i
①
i
Pxi ③ ④
U
(3 ) i
i
U
(4 ) i
i
U(ie )
③
②
m
(a)
③ ④ ④
(b)
(c)
节点位移协调条件
组装原理：
节点平衡条件 位移协调条件：各单元共享节点的位移相等
节点平衡条件：各单元内力与节点外力构成平衡力系
回顾

⑧
6, 3, 2
11, 12; 5, 6; 3, 4
计算实例
二、生成各单元矩阵
以1号单元为例 单元节点位移向量：
u8 , v8 , u4 , v4 , u7 , v7 16
1T
单元节点位移提取矩阵：
61 T 181
1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
对于非已知位移的行： 将已知位移的元素右移
k22v1 k23u2
y1 k21c1 k24c4
结论：把对应于已知位移的主对角线上的元素改为1，其
余行列改为0；与已知位移对应的载荷列阵元素用已知
位移代替；载荷列阵中其余各元素等于该元素减去已 知位移分量乘于[K]中的相应元素。[K]中的其他元素
, ui , vi ,
e
引入总体节点位移向量： u1 , v1 ,
, un , vn
e
T
对各单元，引入单元节点位移提取矩阵[T]e，则有 T 内力虚功＝
T eT e B D B d e
e




T
T B D B d T e
eT T
e


e
e
K 单刚：
e


B D B d
T
e
e e p
总刚：K T K T
eT e e
外力虚功＝ bT u d S pT u dS bT N d S pT N dS T
T
1
0 3 0 4 0 5 0 6 0
2
1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
k110v5 x1 k 210v5 y1
展开
k11u1 k12v1 k13u2 k21u1 k22 v1 k23u2
k101u1 k102v1 k103u 2
k1010v5 y5
对于已知位移的行 令 k11=1 k44=1 k12=0 …… k110=0 k41=0 …… k410=0 x1=c1 y2=c4
课后作业 完成边界条件的引入和刚度方程的求解
回顾
连续体结构
整体 离散
连续体有限元分析的基本流程
人工节点
逼近离散
单元分析
单元 组装
e K F e e
单元刚度方程
K P
总体刚度方程
引入边界条件 整体解算
回顾
Pyi ①
j i
总体刚度矩阵的组装
(1) V i
b bx
微元体上的合力
by
T
b t dx dy
N b tdxdy
T
积分
Q
e
关于总体外载荷向量的注解
3、面力等效
如均布、线性分布，作用平面内的力 单位面力（面力度） P X 微元体上 面积分求和 注意： 1 ．同时作用面力、体力、集中力移置可单独移置， 最后相加（小变形、弹性体）； 2 ．特例：线性分布的力可按静力学平行力系的分 解原理直接求出。
有限元分析
Finite Element Analysis
李建宇
天津科技大学
有限元分析——4－6,7,8,9
内容 Chp.4 平面问题的有限元法 3
1 计算实例 2 位移边界条件的处理 3 平面矩形单元分析
要求 理解：有限元分析的基本步骤
引入位移边界条件的原理 平面矩形单元分析的原理 掌握： 引入位移边界条件的置“1”法和乘大数法 平面问题三角单元有限元分析整体流程
T eT T e e e e e
外力虚功＝ bT u d S p T u dS bT u d S p T u dS Q e e

p e e p
eT

e

回顾
总体刚度矩阵组装的另一种解释
不变。
修正后的矩阵形式如下：
1 2 3 4 0 k23 k33 0 k53 k63 0 0 0 1 0 0 0 0 0 k103 0 k105 k106 5 0 k25 k35 0 k55 k65 6 0 k26 k36 0 k56 k66 0 0 0 7 8 0 0 9 0 10 0 u1 c1 v y k c k c k210 1 1 21 1 24 4 k310 u2 x2 k31c1 k34 c4 0 v2 c4 k510 u3 x3 k51c1 k54 c4 k610 v3 y3 k61c1 k64 c4 k1010 v5 y5 k101c1 k104 c4
1/3*qtL/2
j
2/3* qtL/2
回顾
常用节点等效外载荷向量
计算实例
如图为一边长为a、厚度为t的正方形 薄板。其中AB边固定，BC、CD边自 由，AD边作用均布压力q。求系统总 体刚度矩阵和总体载荷向量。
总体节点位移向量：
百度文库
u1 , v1 , u2 , v2 ,
T
, u9 , v9 118
1
T
Q
2
0, 0, 0, qlt , 0, qlt
T
计算实例
三、组装总刚度矩阵和总体节点外载荷向量
e K T k T eT e 1 8
总体刚度矩阵：
e
总体外载荷向量：
Q
T
8 eT e T Q 0,-qlt ,0,0,0,0,0,-2qlt,0,0,0,0,0,0,0,-qlt,0,0 e1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 618
计算实例
二、生成各单元矩阵
弹性矩阵：
1 E D (1 2 ) 0 0 1 0 1 0 2

Y
T
P ds t
Q
e T
N P tds

①均质等厚的等边三角形重力（体力）w ：1/3 w 移置到各节点上； ②如图，i ，j 边L 上有分布力q ，假设单元厚 度为t，则合力为qtL，可将qtL/2 移置到各节点上； ③ i ，j 边L上有线性分布力，i 点大小为0，j 点大小为q ，假设单元厚度为t，则合力为qtL/2，将 1/3*qtL/2移到i 点，2/3* qtL/2 移到j 点。 q q i qtL/2 j qtL/2 i
e
e
u e e u 位移： N 应变： { } [ B]{ } v
应力： D B
e
代入虚功方程，得 内力虚功＝
T
d d B D B d
1 1 0 2 0 k22 3 0 k32 4 0 0 5 0 k52 6 0 k62 7 0 8 0 9 0 10 0 k102
⑵主元素充大法 在矩阵中，将对应已知位移的主元素乘于一个大数。 令
总体节点等效外力向量：Q F1x , F1 y , F2 x , F2 y ,
T

, F9 x , F9 y
118
计算实例
一、单元节点信息
单元编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 节点编号 8, 4, 7 5, 1, 4 8, 5, 4 5, 2, 1 9, 5, 8 6, 2, 5 9, 6, 5 节点位移位置 15, 16; 7, 8; 13, 14 9,10; 1,2; 7,8 15, 16; 9, 10; 7, 8 9, 10; 3, 4; 1, 2 17, 18; 9, 10; 15, 16 11, 12; 1, 2; 9, 10 17, 18; 11, 12; 9, 10
x
总体刚度矩阵组装的另一种解释
y y xy xy dxdy bx u by v dxdy

回顾平面连续体的虚功原理： 内力总虚功＝外力总虚功
x
Sp
p u p v dS
x y
将连续体区域离散化为单元的集合，即 对各单元，引入位移形函数[N]，则有
总体外载荷向量： Q
T
单元外载荷向量： Q
eT

e
b N d p N dS
T T Se p
1× 6
(1×2) (2×6)
eT e
(1×2) (2×6)
Q T Q
e

上式也是计算单元等效节点载荷的普遍公式。
关于总体外载荷向量的注解
e e


e
e p

e

e
T T 总体外载荷向量： Q b N d S p N dS T
T e



e
e p

回顾
关于总体外载荷向量的注解
e bT N d e p T N dS T e Sp e
应变矩阵： B [Bi B j Bm ]
br 1 Br 0 2A cr 0 cr ( r i , j , m) br
单元刚度矩阵：
k1 B T DBAt
上述过程，对1～8号单元循环，得各单元刚度矩阵：
k
1
k
8
单元节点载荷： 单元节点载荷：
Q 0, 0, 0, qlt , 0, qlt
k11 k 21 k31 k101 k12 k22 k32 k102 k13 k23 k33 k103
位移u1=c1,v2=c4
k110 u1 x1 v y k 210 1 1 k310 u2 x2 k1010 v5 y5
1、集中力的等效
P Px
Py
T
Q
Q
e
xi
Ni Px
yi
xj
Ni Py
yj
N j Px
xm
ym
N j Py
T
e
N m Px
N m Py
T
关于总体外载荷向量的注解
2、体力的等效
如重力、惯性力、磁力。将体积力的微元即可以看作集中力。设 体力集度