高等数学上册导学案 精品

高等数学上册导学案 目 录

第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集（8套题） 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26

第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39

模拟试题参考解答 46

第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57

第一部分 常考题型与相关知识提要

题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限：

1）0, 1lim 1, 1

, 1,1n n q q q q q →∞

⎧<⎪

==⎨⎪>=-⎩

发散， 2

）1,(0)n a =>

，1n = 3） 000,lim ,.,.

n n n

m x m m

n m a x a a n m b x b b n m →∞⎧<⎪

++⎪==⎨++⎪⎪∞>⎩

(2) 重要极限

1）()0sin ()

lim

1()x x x ααα→= 2）e x x x =∂+∂→∂)(1

)()](1[lim (３) 常见的等价无穷小

()sin ()()arcsin ()().x x tg x x arctg x ααααα 2

()

()1(),ln(1())(),1cos ()2

x x e

x x x x αααααα++-

，

()1()ln x a x a αα- ，

其中(()0x α→ (４)x →+∞时，无穷大量log (1),(0),(1)x a x a x a a μμ>>>的级别依次从小到大排列.

求极限的方法:

方法1、运用四则运算法则

运用四则运算法则求极限时要注意运算条件：

1）所有极限存在.2）分母极限不为０；3）有限成立.

方法2、运用连续函数性质：如0

0l i m ()()x x f x f x →，则0

lim [()][lim ()].x x x x f g x f g x →→=

方法3、运用定理：有界量乘无穷小量仍是无穷小量

方法4、运用两边夹法则

()()(),lim ()lim (),lim ()g x f x h x g x h x A f x A ≤≤===且则 方法5 利用左右极限

方法6、利用通分、约分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素 方法7、利用重要极限

方法8、用等价无穷小替换

要注意使用条件：只能代换极限式的分子或分母中的因子，而不能代换“项”. 方法9、用罗比塔法则 要注意条件：（1）、必须是标准型未定式 （2）、必须极限存在 技巧：使用前先用下列方法化简

（1）、使用变量代换（2）、使用无穷小代换 （3）、先将能定形的极限算出

01-08年相关考题

较基本的极限： 1．0

1

lim sin

x x x

→=（01、一（1）、3） 2．3321

lim 1

x x x x →∞-++= . （05、一（1）、3）

3．若0s 2

lim 23

x inax x →=,则a = . （02、一（1）

、3） 4．sin x 3lim ,x 0sin 5x 4a =→则a = . （04、一（2）

、3） 5．数列6

661,1010,10n

n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩

，则lim n n x →∞=______（03、一（1）、3）

6、在0x 的某去心邻域内无界是0

lim ()x x f x →=∞的_______条件. （03、一（2）、3）

7.计算3

113lim(

)x →-.（07.二.1.6

k =

.（08一 、1、3）

901、二(2)、5） 10求 2lim 1

ln(1)

x x x

→∞+（03、二（1）、5）

03、二（2）、5） 1型的极限

12.21lim(

)x

x x x

→∞

+= （05、一（2）

、3） 13．极限____________3lim 3

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞→x x x x （06、一（2）、3） 14．函数n x n

f (x)=lim ()n n 2

+=→∞- （04、一（3）

、3） 15.22lim(

)kx

x x e x

→∞

-=,则 k = 16. 1

lim(1-sin2)x

x x →= . （08一 、2、3）

含有积分号的极限： 17．0

2

sin lim x x tdt x →⎰

.（02、二（1）、5）

18．求极限2

arctan lim

dt t t x

x ⎰

+∞

→.（06、二（1）、6）

1904、二（1）

、6） 20计算极限2

2

20

lim

x

t x

x t e dt te dt

→⎰⎰

.（05、二（1）

、6）

21.已知()f x 连续，求lim

().x

x a a

x f t dt x a →-⎰（08二、2 、7）

题型二 求导数的题型

相关知识点提要

求导数方法： 1）用定义

2）用四则运算法则求导法则、反函数与复合函数求导法则、隐函数与参数方程求导法则、对数求导法则、幂指函数求导法则及积分上限求导法则.

求导时要注意下列事项:

(1)当未知函数可导或分段函数的分界点当用定义求;

(2)[()]f g x '表示()()t g x f t =';

(3) 幂指函数()()g x f x 要取对数才能求导;

(4)参数方程求二阶导数时要分清求导对象:2

2

()()dy d dy

dx d d y dx dt dx dx dx

dt

==

(5)给定点导数应先求导再代值.

(6)对积分上限的求导公式中,被积函数中不得含有求导对象,否则要作代换使被积函数中不得含有求导对象后再用求导公式. 01-08年相关考题

求显函数的导数: