第九章-导行电磁波汇总
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第九章 导行电磁波
主要内容 几种常用的导波系统、矩形波导传播特性、 圆波导传播特性、谐振腔、同轴线
1. TEM波、TE波及TM波 2. 矩形波导传播特性 3. 矩形波导中TE10波 4. 电磁波的群速
5. 圆波导传播特性 6. 波导传输功率和损耗 7. 谐振腔 8. 同轴线
沿一定的路径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。
常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微 带、金属波导等。
本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形金 属波导的传播特性。
几种常用导波系统的示意图
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微带
介质波导 光纤
1. TEM 波、TE 波及TM 波
TEM波、TE波及TM波的结构。
E
E
E
S
H TEM波
H TE波
S
S
x sin nπ b
y e jkz z
Ez
E0
sin
mπ a
x
sin
nπ b
ye jkz z
Ex
j
kz E0 kc2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey
j kz E0 kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
式中，常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统的 边界条件。
已知
Ez
0
，求出
x0,a; y0,b
kx
mπ , a
m 1,2,3,
ky
nπ , b
n
1,2,3,
那么矩形波导中TM 波的各个分量为
Ez
E0
sin
mπ a
x
sin
nπ b
ye jkz z
Ex
j kz E0 kc2
量可用 z 纵向分量表示为
Er
1 kc2
jkz
Ez r
j
r
H z
E
1 kc2
j kz r
Ez
j
H z r
Hr
1 kc2
j
r
Ez
jkz
H z r
H
1 kc2
j
Ez r
j kz r
H z
2. 矩形波导传播特性 矩形波导如图所示，宽壁的内尺寸为 a ，窄 壁的内尺寸为 b 。
已知金属波导
y
只能传输 TE 波及
H TM波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然 能够传输TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传 输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性
名称
双导线 同轴线 带状线 微带 矩形波导 圆波导
光纤
波型
TEM波 TEM波 TEM波 准TEM波 TE或TM波
电磁屏蔽 使用波段
差
> 3m
好
> 10cm
Ez x
j
H z y
Ey
1 kc2
jkz
Ez y
j
H z x
Hx
1 kc2
j
Ez y
jkz
H z x
Hy
1 kc2
j
Ez x
jkz
H z y
式中
kc2
k2
k
2 z
只要求出 z 分量， 其余分量即可求出。
z 分量为纵向 分量，因此这种方 法又称为纵向场法。
对于圆波导，选择圆柱坐标系，r 和 横向分
且满足下列矢量亥姆霍兹方程
2E
x
2
2E y 2
2E z 2
k2E
0
2
H
x 2
2H y 2
2H z 2
k2H
0
上式包含了 Ex ,及E y , Ez 6H个x , H直y角, H坐z 标分量，分 别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
可以证明， x 和 y 分量与 z 分量的关系为
Ex
1 kc2
jkz
差
厘米波
差
厘米波
好
厘米波、毫米波
TE或TM波
好
厘米波、毫米波
TE或TM波
差
光波
根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或 者圆柱坐标系，且令其沿 z 轴放置，传播方向为正 z 方向。
以直角坐标系为例，则电场与磁场可以分别表
示为
E(x, y, z) E0 (x, y) e jkzz
H (x, y, z) H0 (x, y) e jkzz
Hx
j
E0
kHale Waihona Puke Baidu2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy
j
E0
kc2
mπ cos a
mπ a
x sin nπ b
y e jkz z
上应上mT由在M述为半及于3z124T非个1，5，方，1n表波mM，，零驻当的z向由示及。波大相的波等每上m于为的mn位整的于一为或均非m=仅m数数常种行不1均n及及与。目数,组波为为n匀n变。的n合m=， 零零的为模量平1构为在时，平多的式面成宽z，故面x值场称为有一壁及上矩波，结为波关种上述形y。因构高面，模的方各波此，次。而式半向个导场具模但振，个上分中结有，振幅以驻形量T构这小辐与M波T成均均种M的与波的驻为x具m场称,的数x波n零y有,表结为最y目。，有多示构低有低，因关种。的次关模此。n模波模，例式为因m式称。因如是窄此及。为此壁，n TM11波。
k
2 z
考虑到 Ez Ez0 (x, y)e jkzz，其振幅 Ez0 也应满足 上述方程，即
2Ez0 x 2
2Ez0 y 2
kc2 Ez0
0
2Ez0 x 2
2Ez0 y 2
kc2 Ez0
0
采用分离变量法求解上述方程。
令
Ez0 (x、y) X (x)Y ( y)
得
X X
Y Y
kc2
式中，X 表示 X 对 x 的二阶导数；Y 表示Y 对 y
TE波
Hz
H0
cos
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx
j
k
zH kc2
0
mπ a
sin
mπ a
b ,
x a
TM 波，若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。
z
按照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，然后 即可计算其余各个分量。
已知电场强度的 z 分量可以表示为
Ez Ez0 (x, y)e jkz z
Ez 满足的齐次标量亥姆霍兹方程为
2Ez x 2
2Ez y 2
kc2 Ez
0
kc2
k2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey
j
kz E0 kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx
j
E0
kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy
j
E0
kc2
mπ cos a
mπ a
的二阶导数。
式中的第二项仅为 y 函数，而右端为常数，因 此，若对 x 求导，得知左端第一项应为常数。
若对 y 求导，获知第二项应为常数。
令
X X
k
2 x
Y Y
k
2 y
式中，k x 和 k y 称为分离常数。
显然
kc2
kx2
k
2 y
两个常微分方程的通解分别为
X C1 cos kx x C2 sin kx x Y C3 cos k y y C4 sin k y y
主要内容 几种常用的导波系统、矩形波导传播特性、 圆波导传播特性、谐振腔、同轴线
1. TEM波、TE波及TM波 2. 矩形波导传播特性 3. 矩形波导中TE10波 4. 电磁波的群速
5. 圆波导传播特性 6. 波导传输功率和损耗 7. 谐振腔 8. 同轴线
沿一定的路径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。
常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微 带、金属波导等。
本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形金 属波导的传播特性。
几种常用导波系统的示意图
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微带
介质波导 光纤
1. TEM 波、TE 波及TM 波
TEM波、TE波及TM波的结构。
E
E
E
S
H TEM波
H TE波
S
S
x sin nπ b
y e jkz z
Ez
E0
sin
mπ a
x
sin
nπ b
ye jkz z
Ex
j
kz E0 kc2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey
j kz E0 kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
式中，常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统的 边界条件。
已知
Ez
0
，求出
x0,a; y0,b
kx
mπ , a
m 1,2,3,
ky
nπ , b
n
1,2,3,
那么矩形波导中TM 波的各个分量为
Ez
E0
sin
mπ a
x
sin
nπ b
ye jkz z
Ex
j kz E0 kc2
量可用 z 纵向分量表示为
Er
1 kc2
jkz
Ez r
j
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H z
E
1 kc2
j kz r
Ez
j
H z r
Hr
1 kc2
j
r
Ez
jkz
H z r
H
1 kc2
j
Ez r
j kz r
H z
2. 矩形波导传播特性 矩形波导如图所示，宽壁的内尺寸为 a ，窄 壁的内尺寸为 b 。
已知金属波导
y
只能传输 TE 波及
H TM波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然 能够传输TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传 输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性
名称
双导线 同轴线 带状线 微带 矩形波导 圆波导
光纤
波型
TEM波 TEM波 TEM波 准TEM波 TE或TM波
电磁屏蔽 使用波段
差
> 3m
好
> 10cm
Ez x
j
H z y
Ey
1 kc2
jkz
Ez y
j
H z x
Hx
1 kc2
j
Ez y
jkz
H z x
Hy
1 kc2
j
Ez x
jkz
H z y
式中
kc2
k2
k
2 z
只要求出 z 分量， 其余分量即可求出。
z 分量为纵向 分量，因此这种方 法又称为纵向场法。
对于圆波导，选择圆柱坐标系，r 和 横向分
且满足下列矢量亥姆霍兹方程
2E
x
2
2E y 2
2E z 2
k2E
0
2
H
x 2
2H y 2
2H z 2
k2H
0
上式包含了 Ex ,及E y , Ez 6H个x , H直y角, H坐z 标分量，分 别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
可以证明， x 和 y 分量与 z 分量的关系为
Ex
1 kc2
jkz
差
厘米波
差
厘米波
好
厘米波、毫米波
TE或TM波
好
厘米波、毫米波
TE或TM波
差
光波
根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或 者圆柱坐标系，且令其沿 z 轴放置，传播方向为正 z 方向。
以直角坐标系为例，则电场与磁场可以分别表
示为
E(x, y, z) E0 (x, y) e jkzz
H (x, y, z) H0 (x, y) e jkzz
Hx
j
E0
kHale Waihona Puke Baidu2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy
j
E0
kc2
mπ cos a
mπ a
x sin nπ b
y e jkz z
上应上mT由在M述为半及于3z124T非个1，5，方，1n表波mM，，零驻当的z向由示及。波大相的波等每上m于为的mn位整的于一为或均非m=仅m数数常种行不1均n及及与。目数,组波为为n匀n变。的n合m=， 零零的为模量平1构为在时，平多的式面成宽z，故面x值场称为有一壁及上矩波，结为波关种上述形y。因构高面，模的方各波此，次。而式半向个导场具模但振，个上分中结有，振幅以驻形量T构这小辐与M波T成均均种M的与波的驻为x具m场称,的数x波n零y有,表结为最y目。，有多示构低有低，因关种。的次关模此。n模波模，例式为因m式称。因如是窄此及。为此壁，n TM11波。
k
2 z
考虑到 Ez Ez0 (x, y)e jkzz，其振幅 Ez0 也应满足 上述方程，即
2Ez0 x 2
2Ez0 y 2
kc2 Ez0
0
2Ez0 x 2
2Ez0 y 2
kc2 Ez0
0
采用分离变量法求解上述方程。
令
Ez0 (x、y) X (x)Y ( y)
得
X X
Y Y
kc2
式中，X 表示 X 对 x 的二阶导数；Y 表示Y 对 y
TE波
Hz
H0
cos
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx
j
k
zH kc2
0
mπ a
sin
mπ a
b ,
x a
TM 波，若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。
z
按照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，然后 即可计算其余各个分量。
已知电场强度的 z 分量可以表示为
Ez Ez0 (x, y)e jkz z
Ez 满足的齐次标量亥姆霍兹方程为
2Ez x 2
2Ez y 2
kc2 Ez
0
kc2
k2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey
j
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mπ a
x cos
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E0
kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy
j
E0
kc2
mπ cos a
mπ a
的二阶导数。
式中的第二项仅为 y 函数，而右端为常数，因 此，若对 x 求导，得知左端第一项应为常数。
若对 y 求导，获知第二项应为常数。
令
X X
k
2 x
Y Y
k
2 y
式中，k x 和 k y 称为分离常数。
显然
kc2
kx2
k
2 y
两个常微分方程的通解分别为
X C1 cos kx x C2 sin kx x Y C3 cos k y y C4 sin k y y