§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解

§15-4 电磁振荡
电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡， 产生电磁振荡的的电路称为振荡电路，最简单的振 荡电路由一个电容和一个自感线圈组成，称为 LC 振 荡电路。 1. LC电路的振荡 使电源给电容器充电，然后 将开关接通电感器，在此瞬间电 容器上的电荷最多，两极板间的 场强最大，电场的能量全部集中 在两极板之间。
阻尼=0
这表明，当强迫力的频率等 于系统固有频率 ω0 时，速 度幅值达到最大值。在给定 幅值的周期性外力作用下， 振动时的阻尼愈小，速度幅 值的极大值也越大，共振曲 O 线越为尖锐。
阻尼较小 阻尼较大
0

共振的危害与利用
危害：军队过桥的情况、火车速度的限制，……
利用：超声清洗、音箱设计、振荡电路、核磁共 振……
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0

F0
2 2

4 2 2
2 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
A
阻尼=0 阻尼较小
当强迫力的角频率为某个特 定值时，位移振幅达到最大 O 值，把这种位移振幅达到最 大值的现象叫做位移共振。
0

当 与 0 相差较大时，B 较小； 当 与 0 接近时，B 较大；当 为某定值时，振幅 B 达到极大 值，即处于共振状态。 F0 由 A 2 2 2 m 0 4 2 2 O
A
阻尼=0 阻尼较小


0

令
dA 0 求得共振圆频率为 d
共振 2
2 0
2
共振时的位移振幅为
A共振
F0
2 2 m 0 2
不同的 值， A共振 不同，当 0, A共振 。
速度共振 受迫振动的速度在一定条件下也会发生共振，其共 振圆频率为 共振 0 m
m 0
速度振幅
F v m 4
0 m 2 2 2 2 0
2
受迫振动时，振动物体因强迫力作功获得能量，而 因阻尼作用而消耗能量。在稳态振动情况下，一周 期内外力所作功恰好补偿阻尼消耗的能量，因而系 统维持等幅振动。
位移共振 对一定的振动系统，如果 强迫力的幅值一定，稳态 时位移振幅随强迫力的频 率改变。
受迫振动与无阻尼简谐振动的区别 尽管受迫振动与无阻尼简谐振动的表达式相似，受 迫振动的受力与无阻尼简谐振动的受力不同，运动 情况也不同。受迫振动以强迫力的频率振动，阻力 消耗的能量由强迫力作功补偿；无阻尼简谐振动以 系统固有频率振动，不消耗能量。 无阻尼简谐振动的振幅和初位相由初始条件决定； 稳定的受迫振动的振幅和初位相由系统性质及强迫 力性质共同决定，与初始条件无关。
dx F f dt
称为阻力系数，由物体的形状、大小和介质的性
质决定。
质量为m的物体在回复力和阻力作用下的运动方程为 d2x dx m 2 kx dt dt 令
ห้องสมุดไป่ตู้
k 2 0 , 2 m m
称为阻尼因子或 0 是无阻尼时振子的固有角频率，
严格说，阻尼振动不是周期性振动。称为准周期 性振动。 将振动物体两次通过极大（极小）位置经历的时 间叫做阻尼振动的周期。
2 2 T 2 2 0
显然，其周期比无阻尼时长。 2. 阻尼因数对振动的影响
2 2 0 ，
x(t )
t
欠阻尼
2 阻尼较小时， 2 0 ，
称为欠阻尼。物体的运动接近简谐振动。
2 2 0 ，
2 2 阻尼较大时， 0 ，称为过阻尼，物体无法振动
回到平衡位置。
2 , 0 ， 2 0
2 2 0 的情况称为临界阻尼。它是振动系统刚刚不
能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况。
1、2为阻尼振动状态，3为临界阻尼状态，4、5为过阻 尼状态。用灵敏电流计测微电流时，往往将电流设计 在临界阻尼状态以减小表针达到平衡状态的时间。
§ 15-3
阻尼与受迫振动
一. 阻尼振动
振动物体不受阻力作用，只在回复力作用下的 振动称为无阻尼自由振动。但振动时的阻尼是不可 避免的，例如空气的阻力、弹簧伸缩时的内摩擦、 能量的辐射等，均可将它们等效为摩擦阻尼。在回 复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
1.运动方程及其解 物体在速度不太大时，其阻力与速度大小成正比而反向
d2x dx 2 2 0 x f 0 cos t 2 dt dt 该微分方程的解为
x A0e
t
A cos t 0 cos t 0
2 0 2


该解的第一项随时间迅速衰减，称为暂态解，第二 项不随时间衰减，称为稳态解。
达到稳定状态时，受迫振动的角频率不是振子的固 有频率而是强迫力的角频率；受迫振动的振幅和初 相位不是决定于振子的初始状态，而是依赖于振子 的性质、阻尼的大小和强迫力的特征。
衰减常数。方程变为
d2x dx 2 2 0x 0 2 dt dt
在阻尼较小的情况下， 0 ， 方程的解为
x A0e
2 其中 0 2
t
cos t 0
0 是积分常数，由初始条 A0、 件决定。
式中A0e
t
是谐振项。 是振幅项， cos t 0
二. 受迫振动
为能获得稳定的振动，对振动系统作用一周期 性外力。物体在周期性外力作用下的振动称为受迫 振动。这种周期性外力称为强迫力。喇叭纸盆的振 动、机器运转时机座的振动等均为受迫振动。 1.运动方程及其解
设简谐强迫力为 F0 cos t ，弹簧振子的运动方程为
d2x dx m 2 kx F0 cos t dt dt k F0 2 F0 为强迫力的力幅。令 2 ， 0 ， f 0 ， m m m 运动方程变为