刚体的定轴转动5章习题(1)

解：
设大盘（末挖洞前）质量为m0 ， 洞对应面积的圆盘质量为m1 ， 则大盘原面积为 s0 R2 洞对应面积为
R o R/2
s1
( R)2 2
1 R2
4
挖洞后剩余部分面积
s R2 1 R2 3 R2
4
4
习 5.9 (P286)
解：故盘的密度
m/
3 R2
4
4 3
m
R 2
m0
s0
4 3
m
R 2
射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子
L
弹开始一起运动时的角速度。
解：
因子弹射入杆并和杆一起运动所经历 的时间极短，故杆的位置基本不变。
v0 A
选子弹和杆为系统，则碰撞过程中
（系统在水平方向动量是否守恒？为什么？）
——系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。
因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度v = ω l，故有
(T1
T2
)r
1 2
mr 2
(3)
联立以上4个方程解得
a r (4)
a m1 μ m2 g
T1 m1
m1g
m1 m2 m / 2
T1
(1 m1
k )m2 m2
m
m/2 /2
m1g
T2
(1
m1
k )m1 m2
m
km /2
/
2
m2 g
习 5.16 (P287)
已知物体的质量m1 = 80g , 定滑轮（可视作圆盘）质量 m=100g ,半径 r =0.05m ,弹簧的劲度系数 k=2.0N/m 。开
mlv0
ml 2
1 3
Ml2
解得 3m v0
3m M l
例 5.14 (P276) 一长为 l 、质量为m 的均匀细杆，静止在光滑的水
平面上，其中点有一竖直光滑的固定轴与杆连接。
F
ma
P mv
L r mv
冲量
I Fdt
动量定理
Fdt d (mv )
刚体的定轴转动
转动定律 角动量
M J
L J
M = Jα L=Jω
动量
P
=
mivi
角冲量
Mdt
Mdt
角动量定理 Mdt d ( J )
t
t0 Fdt mv mv0
t
t0 Mdt J J0
Ft mv mv0
几种刚体的转动惯量 （P261 表5—1）
名称 刚体形状 轴的位置 转动惯量
圆盘或 圆柱体
R
m
通过盘中心 垂直于盘面
（中心轴）
mR 2
圆筒
R2
R1
通过筒中心 垂直于端面 （中心轴）
1 2
m( R12
R22 )
一、几种刚体的转动惯量
几种刚体的转动惯量 （P261 表5—1）
名称 刚体形状
轴的位置 转动惯量
Mt J J0
动量守恒 ຫໍສະໝຸດ Baidu若mvF外恒 0矢量 角动量守恒 则若JM外恒矢0 量
第五章 转动与平动公式对照表（功和能）
质点的直线运动
力 力作功
F
A F dr
刚体的定轴转动
力矩
M rF
力矩作功 A Md
功率 P = F v
功率
平动动能
Ek
1 mv2 2
转动动能
动能定理
A
1 2
mv2
速直 线运 动
x
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2as
刚体
转动惯量
J miri2
位置角
角位移 d ( 2 1)
角速度
d
ω dθ
角加速度
ddt
dt α dω
dt
dt
匀变速 转动
00t12tt 2
2 02 2
第五章 转动与平动公式对照表（动力学）
质点的直线运动
运动定律
动量 角动量
刚体的定轴转动
习题课
主讲：左武魁
内容一
刚体力学内容小结 及其与质点力学的对比
内 容二
课堂练习
内容一
刚体力学与质 点力学的对比
第五章 转动与平动公式对照表(运动学)
质点的直线运动
刚体的定轴转动
质点 r＞＞ d
质量 位矢 位移
速度
m
r
dr
v
(r
dr
r2
r1)
加速度
a
dt dv
dt
匀变 v v0 at
始时先用手托住物体，使弹簧处于自然伸长。求松手后
物体下落 h = 0.5m 时的速率。 附：试分析物体下落h =0.5m 时的
f T2 m
加速度和两段绳中的张力。
T1
解：
T1
m1
m1g
例 5.11 (P273)
长为L 、质量为M 的均匀杆，一端挂
O
在一个水平光滑轴上而静止在竖直位
置。一质量为m 的子弹以水平速度v0 ，
习 5.11 (P286)
已知两物体的质量分别为m1和m2 ，定滑轮（可视作
圆盘）的质量为 m 半径为 r ， m2与桌面间磨擦系数
为μk ，求m1下落的加速度a 和两段绳子中的张力。
解： 对m1 、m2 和 m 作示力图，设两
T2
f m2
T2 m T1
段绳中的张力分别为T1、T2 ，则
m1g T1 m1a (1) T2 k m2 g m2a (2)
R 2
4 3
m
m1
s1
4 3
m
R 2
1 R2
4
1m 3
R o R/2
大盘对O 轴
J0
1 2
m0 R 2
1 4 mR2 2 mR2
23
3
小盘对O 轴
J1
1 2
m1
(
R 2
)2
m1(
R)2 2
3 8
m1R2
3 24
mR2
故挖洞后薄板对O轴的转动惯量
J
J0
J1
2 3
mR2
3 24
mR2
13 24
mR2
薄球壳
m
R
直径
2 m R2 3
球体
m
R
直径
mR 2
一、刚体的转动惯量 1. 定义
2. 一般刚体 3. 绕定轴转动的质点
J miri2
J r2dm
J mr2
4. 绕定轴转动的质点系 J miri2
二、平行轴定理
如果J 是刚体对任一轴 oz的 转动惯量，
Jc 为刚体对通过其质心且与O´Z´ z 平行的另一轴 OZ 的转动惯量，
r
2
a r 4 2
ω
s
θ
v
0r
刚体的 转动惯量
一、几种刚体的转动惯量
几种刚体的转动惯量 （P261 表5—1）
名称
刚体形状
轴的位置 转动惯量
细杆
细杆
薄圆环 薄圆筒
m
L
m
L
m
R
通过一端 垂直于杆
通过中心 垂直于杆
mL2 mL2
通过筒中心 垂直于端面 （中心轴）
mR 2
一、几种刚体的转动惯量
1 2
mv02
动能定理
重力势能 Ep mgh
重力势能
P = Mω
Ek
1 2
J 2
A
1 2
J 2
1 2
J02
E p mghc
机械能 守恒
只有保守内力作功时 机械能
Ek E p 恒量 守恒
只有保守内力作功时
Ek E p 恒量
角量与线量的关系
S=rθ
v=rω
at
dv dt
r
d
dt
r
an
v2 r
z m
m 为刚体质量，d 为两轴间距离， 则 J = Jc + m d 2
d o C o
——平行轴定理
内容二
课堂练习
习 5.9 (P286)
从一个半径为 R 的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心的R/2 处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄板对于通过 原中心而与板面垂直的轴的转动惯量J 。