第三章 非稳态导热
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传热学-第三章 非稳态热传导
(0, ) m ( ) 2 sin 1 F e 0 0 1 sin 1 cos 1
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
( x, ) x cos(1 ) m ( )
2 1 0
2 1 0
与时间无关
28
考察热量的传递
Q0 cV (t0 t )
Q0 --非稳态导热所能传递的最大热量
第三章
非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
0
7
x
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
17
3 瞬态热流量：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
第三章 非稳态导热传热学
基本思想： 基本思想：当所研究的问题非常复杂， 当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多， 涉及到的参数很多， 为了减少问题所涉及的参数， 为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合 起来， 起来，使之能表征一类物理现象， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征， 或物理过程的主要特征， 并且没有量纲。 并且没有量纲。因此， 因此，这样的无量纲数又被称为特征数， 这样的无量纲数又被称为特征数，或 者准则数。 者准则数。
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
§3.1 非稳态导热的基本概念
二、非稳态导热的研究内容
1. 研究内容
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t = f ( x, y , z ,τ ) ;
2. 数学模型
Φ = f(τ )
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ɺ ρ c = ( λ ) + ( λ ) + ( λ )+Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 解的唯一性定律 初 始 条 件 边 界 条 件
τ4 τ3
τ2
t
1
τ1
t
0
τ0
第3章 非稳态热传导
§3.1 非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热
6. 导热量的特点
Φ1
Φ2
由于物体各处本身温度的变化 要积聚或消耗热量， 要积聚或消耗热量，非稳态导热过 程中在与热流方向相垂直的不同截 面上热流量处处不等。 面上热流量处处不等。
第3章 非稳态热传导
Φ1－－板左侧导入的热流量 －－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量 －－板右侧导出的热流量
2δ
t
tf，h x
q
rh
rh = 1 h
rλ = δ λ
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
度，最终达到热平衡。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
第三章 非稳态热传导
（3-1a）
13
式中div(grad t)是温度的拉普拉斯（Laplace）算子 2t
非稳态导热的基本概念
引入热扩散率 a c p
，于是有：
t 2 a t cp
初始条件的一般形式是：
t x, y, z, 0 f x, y, z
（3-1b）
几种典型非稳态导热过程的温度变化率
7
非稳态导热的基本概念
二、特点：
物体中各点的温度随时间发生变化； 物体中各点的热流密度随时间发生变化； 不宜用热阻法定量分析非稳态导热；
t t t t c x x 导热过程的特点及类型
一、定义： 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 （unsteady heat conduction） 非周期性：物体温度随时间趋近于恒值
（动力机械启动、停止）
周期性：物体温度随时间做周期性变化 （地球表面温度随四季更替周期变化）
6
非稳态导热的基本概念
23
零维问题的分析法——集中参数法
非稳态、有内热源的导热问题
t t t t c x x y y z z
式中： 是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个 物体的体积热源。
讨论如左图所示的一块厚度为2δ 的金属平板，初始温度为 ，突然 t0
将它置于温度为
系数为λ。
却，表面传热系数为h，平板的导热
t的流体中进行冷
根据平板的导热热阻δ/λ与对流
传热热阻1/h的相对大小的不同，平 板中温度场的变化会出现以下三种情
形。
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
第三章 非稳态导热详解
第一节 非稳态导热的基本概念
3、非稳态导热的基本特点
①. t ， 0这意味着任何非稳态导热过程必然伴随着加热 或冷却过程。
②.在非稳态导热过程中，热量传递方向上的不同位置的导热
量是不同的。
.
③.非稳态导热过程数学描写：
t
(
2t x 2
2t y2
2t z2
)
c
t(x, y,z,0) t0
第三章 非 稳 态 导 热
第一节 非稳态导热的基本概念 第二节 集中参数法 第三节 典型一维物体非稳态导热 第四节 半无限大物体非稳态导热 第五节 其它形状物体的瞬态导热
第一节 非稳态导热的基本概念
一、分类 物体的温度随时间而变化的导热过程叫非稳态导
热。根据物体的温度随时间而变化的特征可分为两类： 非稳态周非导期周热性期非性稳 非态稳导态热导热（又称为瞬态导热）
1.举例说明其
由tf1/升至tf1//所需时间 tw1
tw1/
ta
ta/
tb
tw1// ta//
tb//
tb/
tc
tc//
tc/ tw2/
tw2
tw2//
0 a b
c 0
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点：
qB
4>.墙内外表面热流密度的变化： a.内墙表面开始时，因温差大，q1
第一节 非稳态导热的基本概念
二、非周期性非稳态导热（瞬态导热）
1.举例说明其过程特点： 3>.墙内各处温度的变化：
t
tf1//
a bc
a.开始，因为tf1的上升→内墙表 面温度直线上升，靠近内墙的 墙体温度上升，而此时，a、b、
传热学第3章非稳态导热
•* - 30 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
第三章-非稳态导热
工程上认为= 4τc时导热
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
( x, ) e a 2 [ A cos( x ) B sin( x )]
( x, ) e a 2 [ A cos( x) B sin( x)] （a）
常数A、B和β可由边界条件确定。
0, t0-t 0
(1)
x 0, x 0
(2)
x , - x h
(3)
BiV FoV
0
BiV 越小表明内部导热热阻越小或外部热阻越
大，从而内部温度就越均匀，集总参数法
的误差就越小。 对热电偶测温情况，一
般使BiV=0.001量级或最小。
BiV 0.1M
为判定系统是否为集总参数系 统 ，M为形状修正系数。
厚度为2的大平板 V A＝ M 1 直径为2r的长圆柱体 V A＝ r 2 M 0.5
当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分 析解。
第三章_非稳态导热问题的分析解
ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
薄壁物体的温度响应在非稳态导热过程中如果物体内的温度始终是均匀一致的如导热系数很高的薄壁物体或者说当一个物体与周围环境进行热交换时若认为物体内部的温度分布并不重要而只是关心物体的总体温度随着时间的变化如用热电偶测量气流的温度我们常常只关心整个热电偶结点的温度随时间的变化而对于结点内部的温度分布并不重要
∞
r
r
∞
0
0
Bi =
αL λ
L
（3—2）
其中，α 是对流换热系数； L 是物体的特性尺寸，对于平板，即是厚度，对于圆柱体和球， 即是半径； λ 是物体的导热系数。实际上，Biot 数是物体的导热热阻（ 换热热阻（
λ
）与表面的对流
1
α
）的比。一般情况下，当 Bi < 0.1 时，导热物体可近似为薄壁。
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
第3章 非稳态导热
解之，得： 2 a 1 2 x, 2sin n x e cos n 0 n 1 n sin n cos n
式中离散值n是下列超越方程的根，称为特征值
tan n
hA d cV 0
hA cV
hA ln 0 cV
e 0
hA exp cV
l=V/A hA h V A hl cV c V A 2 c l 2
将微分方程分离变量并求解得分析解为 ： t t0 1 2 u e u2 du erfc
物体内的温度分布 根据半无限大物体的定义，得出导热微 分方程为： 2 a x2 初始条件为： τ=0 时， ( x,0) t0 t0 0 边界条件为：x=0 时， t t
x0 w 0 w
x= ∞ 时，
x t0 t0 0
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
对热量计算公式的说明
热量计算公式适用于物体被冷却时，温差取
热量计算公式适用于物体被加热时，温差取
t0 t t t0
物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有时又称 为牛顿加热或牛顿冷却。
注意：由于用集总参数法求物体的温度分布时，认为物 体内没有温度梯度，温度只随时间而变化，所以不能 用傅立叶定律求热量。
中心点的温度
12
Fo
x cos 1
0, 2 sin 1 e 0 1 sin 1 cos 1
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
非稳态导热
rVc
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
从0到任意时刻 积分
1 d hA
d
0
rVc 0
t t
hA
e rVc
0 t0 t
上式中右端的指数可作如下变化
hA rVc
h(V /
A)
a
(V / A)2
BiV FoV
式中BiV是特征尺度l用V/A表示的毕渥数。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
梁秀俊
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ;
0
m ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
无限大平板中心无量纲过余温度曲线
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
(x, ) (x, ) m ( ) ; (x, ) f (Bi, x )
0
m ( ) 0
m ( )
四、无限长圆柱 过程类似 图线类似
无限大平板无量纲过 华北电力大学 余温度曲线
梁秀俊
四、乘积解
高等传热学
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂 直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无 限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六面 体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
z
d d
C1 exp( 2 )
再 积 分 得 ：
C1
exp( 2 )d
0
C2
代 入 定 解 C1 2w / 条 件 可 得 ：C2 w
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
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7
非稳态导热的基本概 念
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
8
无限大平壁的瞬态导 热
第三章
非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时间而变化 的导热过程。非稳态导热根据温度场随时 间变化规律的特点分类：
1.周期性非稳态导热：物体的温度随 时间而作周期性的变化（夏季或冬季房屋 外温度以24h的周期变化） 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值
1
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
28
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
35
绝 热 面
tf=60 ℃
h=500 W/(m2· K)
δ=40mm
x
500 0.04 0.313 （1） Bi 63.9
h
63.9 5 m2 /s a 1.882 10 c 7823 434
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
*
12
n n为下面超越方程的根 ctg n h
h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
书上P59表3-1给出了部分Bi数下的1 值
13
( x, ) e 0 sin( ) cos( ) n 1 n n n
2 sin( n ) cos( n
方程式改写为：
dHale Waihona Puke hA d Vc27
d
hA d Vc
积分
hA 0 Vc 0 d
d
hA ln 0 Vc
t t e 0 t0 t
hA Vc
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
0.000457 0.05
故可用集总参数法。
0 ln hA cV
8954 383.1 0.0088235 150 50 1n 1049s 20 100 50
32
【例3-2】一根直径为1m，壁厚40mm 的钢管,初温为-20℃，后将温度为60℃的 热油泵入管中，油与管壁的换热系数为 500 W/(m2· K),管子外表面可近似认为是绝 热的。管壁的物性参数ρ=7823kg/m3, c=434J/(kg·K),λ=63.9 W/(m· K)。
t h( t t ) x
(对称性 )
x
10
引入变量－－过余温度 令
上式化为：
( x, ) t( x, ) t
2 a 2 x 0 0 x h x 0 x , 0
0
x 0 x
33
试求开始流过油8min时
(1)所对应的Bi数和Fo数 。
(2) 管子外表面的温度。 (3) 管子内表面的温度。
(4) 热油已传给管壁的热量。
34
解: 如图，由于管壁 厚度相对于管径小得多， 故可近似看作厚为 δ=40mm的大平壁。管 子外表面绝热，相当于 平壁中心表面，管子内 表面对流换热相当于平 壁x/δ=1的位置。
t
0
x
r h Bi rh 1 h
0
tf h
24
x
(3) Bi数对温度分布的影响
r h Bi rh 1 h
无量纲数
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻
当 Bi 0时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
§3-2 无限大平壁的瞬态导热
1. 无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
9
因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写：
导热微分方程
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
边界条件
4
非稳态导热的基本概 念
（2） 热量变化
在平壁右侧表面 温度开始升高以前， 平壁右侧与周围环境 并无换热从平壁左 侧得到的热量Φ1完全 储蓄于平壁之中，用 以提高自身的温度。
Φ1－板左侧导入的热流量 Φ2－板右侧导出的热流量
5
非稳态导热的基本概 念
从某一时刻开始平壁右侧才向外散热。 随着平壁内的温度逐渐升高 左侧表面吸热量 Φ1↓，右侧表面散热量Φ 2↑ 当Φ1=Φ2时，进入新的稳态导热阶段。 两条曲线间的面积（阴影部分）则为平
(3) 求解方法：
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法
2
非稳态导热的基本概 念
一、典型非稳态导热过程的分析 1. 大平壁一侧突然受热升温时的导热 （1） 温度分布
1 2
图中直线AD:初始时刻,大平壁内部各处 温度均匀为t0
30
解： 先求出BiV准则，判别是否可采用
集总参数法。
D 2
V A 4 D 2 2 Dl 4 l
2
4
0.05 2 0.06
4 0.0088235m
0.05 2 0.05 0.06
31
Bi v
h(V / A)
20 0.0088235 386
Q 1 f（Bi ，Fo） Q0 0
22
无限大平壁的 Q 线算图
Q0
23
二、Bi数对导热体温度分布的影响
(1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf h
t
tf
h
r
3
非稳态导热的基本概 念
曲线 HBD: 突然使大平壁左侧表面温度 升高到 t1 并保持不变，右侧仍与温度为 t0 的 空气接触紧挨高温表面那部分的温度很快 上 升 ， 其 余 部 分 仍 保 持 初 始 温 度 t0 。 随着时间的推移，平壁从左到右各部分 的温度依次升高从某一时刻开始平壁右侧 表面温度逐渐升高，图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 示 意 性 地 表 示 了 这 种 变 化 过 程 。 直线 HG: 经过相当长的时间 τ∞ 后达到新 的稳态，温度分布保持恒定。
非稳态导热的基本概 念
§3-1 非稳态导热的基本概念
学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
三个变量，因此，需要分开来画 (1)先画 (0, ) m ( )
2 2 sin 1 1 F0 e 1 sin 1 cos 1
0
m f ( Fo, Bi ) 0
0
15
无限大平壁无量纲中心温度
m f Bi，Fo 0
16
(2) 再绘制其线算图
( x, ) x x cos(1 ) f ( Bi, ) m ( )
(3) 于是，平板中任一点的温度为
m 0 m 0
17
无限大平壁任意位置无量纲温度
x f Bi， m
18
上述线算图的适用范围: 适用于Fo≥0.2的下述情况。 1. 厚为 2δ 的大平壁处于恒温介质第三 类边界条件下的瞬态导热，不论物体是被加 热还是冷却。 2.对于厚为δ 的大平壁一侧绝热、另一 侧为对流换热边界条件下的加热或冷却问题 也适用，这是由于这两种问题的数学描述完 全一致。
36
a
5
（2） 由于Bi>0.1, 故不能采用集总参数
法，需用线算图求解。 管子外表面， 查图3-5得
1 3.195 Bi
11
用分离变量法可得其分析解为：
2 sin( n ) cos( n x) ( x, ) e 0 n ) n 1 n sin( n ) cos(
、
2 n a
n n 若令 则上式可改写为： x ( x, ) 2 sin( n ) cos( n ) n2 a2 e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
19
3.还可应用于第一类边界条件的情况，
因为当h→∞时Bi→∞ 意味着在过程开始的
瞬间物体表面就达到了周围介质温度恒温
介质第三类边界条件转化为恒壁温第一类边
界条件图中
1 0 的曲线就代表恒壁温 Bi
第一类边界条件的情况。
20
对于温度只沿半径方向变化的圆柱体（如无 限长圆柱体或两端面绝热的圆柱体）和球体在第三 类边界条件下的一维非稳态导热问题，同理分别在 圆柱坐标系和球坐标系中进行与上述类似的分析， 可得类似的结果： a hR r Fo 2 f Bi，Fo， Bi R 0 R
非稳态导热的基本概 念
非稳态导热过程可分为三个阶段:
1.初始阶段: 温度分布为初始温度区与部
分非稳态导热规律区的混合分布 2.正规状况阶段:温度分布不受 to 的影 响，主要取决于边界条件及物性,且具有一定 规律 3.新稳态阶段: 温度分布一定（Φ1=Φ2 或Φ =0 ）
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无限大平壁的瞬态导 热
第三章
非稳态导热
非稳态导热: 物体的温度场随时间而变化 的导热过程。非稳态导热根据温度场随时 间变化规律的特点分类：
1.周期性非稳态导热：物体的温度随 时间而作周期性的变化（夏季或冬季房屋 外温度以24h的周期变化） 2.非周期性非稳态导热(瞬态导热)： 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定 的值
1
过余温度比
a Biv Fov 2 (V A)
28
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 m 2 hA w 1 m K Vc J s kg Jkg 3 3 K [m ] m
35
绝 热 面
tf=60 ℃
h=500 W/(m2· K)
δ=40mm
x
500 0.04 0.313 （1） Bi 63.9
h
63.9 5 m2 /s a 1.882 10 c 7823 434
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
*
12
n n为下面超越方程的根 ctg n h
h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
书上P59表3-1给出了部分Bi数下的1 值
13
( x, ) e 0 sin( ) cos( ) n 1 n n n
2 sin( n ) cos( n
方程式改写为：
dHale Waihona Puke hA d Vc27
d
hA d Vc
积分
hA 0 Vc 0 d
d
hA ln 0 Vc
t t e 0 t0 t
hA Vc
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
0.000457 0.05
故可用集总参数法。
0 ln hA cV
8954 383.1 0.0088235 150 50 1n 1049s 20 100 50
32
【例3-2】一根直径为1m，壁厚40mm 的钢管,初温为-20℃，后将温度为60℃的 热油泵入管中，油与管壁的换热系数为 500 W/(m2· K),管子外表面可近似认为是绝 热的。管壁的物性参数ρ=7823kg/m3, c=434J/(kg·K),λ=63.9 W/(m· K)。
t h( t t ) x
(对称性 )
x
10
引入变量－－过余温度 令
上式化为：
( x, ) t( x, ) t
2 a 2 x 0 0 x h x 0 x , 0
0
x 0 x
33
试求开始流过油8min时
(1)所对应的Bi数和Fo数 。
(2) 管子外表面的温度。 (3) 管子内表面的温度。
(4) 热油已传给管壁的热量。
34
解: 如图，由于管壁 厚度相对于管径小得多， 故可近似看作厚为 δ=40mm的大平壁。管 子外表面绝热，相当于 平壁中心表面，管子内 表面对流换热相当于平 壁x/δ=1的位置。
t
0
x
r h Bi rh 1 h
0
tf h
24
x
(3) Bi数对温度分布的影响
r h Bi rh 1 h
无量纲数
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻
当 Bi 0时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
§3-2 无限大平壁的瞬态导热
1. 无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
9
因两边对称，只研究半块平壁
此半块平板的数学描写：
导热微分方程
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
边界条件
4
非稳态导热的基本概 念
（2） 热量变化
在平壁右侧表面 温度开始升高以前， 平壁右侧与周围环境 并无换热从平壁左 侧得到的热量Φ1完全 储蓄于平壁之中，用 以提高自身的温度。
Φ1－板左侧导入的热流量 Φ2－板右侧导出的热流量
5
非稳态导热的基本概 念
从某一时刻开始平壁右侧才向外散热。 随着平壁内的温度逐渐升高 左侧表面吸热量 Φ1↓，右侧表面散热量Φ 2↑ 当Φ1=Φ2时，进入新的稳态导热阶段。 两条曲线间的面积（阴影部分）则为平
(3) 求解方法：
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法
2
非稳态导热的基本概 念
一、典型非稳态导热过程的分析 1. 大平壁一侧突然受热升温时的导热 （1） 温度分布
1 2
图中直线AD:初始时刻,大平壁内部各处 温度均匀为t0
30
解： 先求出BiV准则，判别是否可采用
集总参数法。
D 2
V A 4 D 2 2 Dl 4 l
2
4
0.05 2 0.06
4 0.0088235m
0.05 2 0.05 0.06
31
Bi v
h(V / A)
20 0.0088235 386
Q 1 f（Bi ，Fo） Q0 0
22
无限大平壁的 Q 线算图
Q0
23
二、Bi数对导热体温度分布的影响
(1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
tf h
t
tf
h
r
3
非稳态导热的基本概 念
曲线 HBD: 突然使大平壁左侧表面温度 升高到 t1 并保持不变，右侧仍与温度为 t0 的 空气接触紧挨高温表面那部分的温度很快 上 升 ， 其 余 部 分 仍 保 持 初 始 温 度 t0 。 随着时间的推移，平壁从左到右各部分 的温度依次升高从某一时刻开始平壁右侧 表面温度逐渐升高，图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 示 意 性 地 表 示 了 这 种 变 化 过 程 。 直线 HG: 经过相当长的时间 τ∞ 后达到新 的稳态，温度分布保持恒定。
非稳态导热的基本概 念
§3-1 非稳态导热的基本概念
学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
三个变量，因此，需要分开来画 (1)先画 (0, ) m ( )
2 2 sin 1 1 F0 e 1 sin 1 cos 1
0
m f ( Fo, Bi ) 0
0
15
无限大平壁无量纲中心温度
m f Bi，Fo 0
16
(2) 再绘制其线算图
( x, ) x x cos(1 ) f ( Bi, ) m ( )
(3) 于是，平板中任一点的温度为
m 0 m 0
17
无限大平壁任意位置无量纲温度
x f Bi， m
18
上述线算图的适用范围: 适用于Fo≥0.2的下述情况。 1. 厚为 2δ 的大平壁处于恒温介质第三 类边界条件下的瞬态导热，不论物体是被加 热还是冷却。 2.对于厚为δ 的大平壁一侧绝热、另一 侧为对流换热边界条件下的加热或冷却问题 也适用，这是由于这两种问题的数学描述完 全一致。
36
a
5
（2） 由于Bi>0.1, 故不能采用集总参数
法，需用线算图求解。 管子外表面， 查图3-5得
1 3.195 Bi
11
用分离变量法可得其分析解为：
2 sin( n ) cos( n x) ( x, ) e 0 n ) n 1 n sin( n ) cos(
、
2 n a
n n 若令 则上式可改写为： x ( x, ) 2 sin( n ) cos( n ) n2 a2 e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
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3.还可应用于第一类边界条件的情况，
因为当h→∞时Bi→∞ 意味着在过程开始的
瞬间物体表面就达到了周围介质温度恒温
介质第三类边界条件转化为恒壁温第一类边
界条件图中
1 0 的曲线就代表恒壁温 Bi
第一类边界条件的情况。
20
对于温度只沿半径方向变化的圆柱体（如无 限长圆柱体或两端面绝热的圆柱体）和球体在第三 类边界条件下的一维非稳态导热问题，同理分别在 圆柱坐标系和球坐标系中进行与上述类似的分析， 可得类似的结果： a hR r Fo 2 f Bi，Fo， Bi R 0 R