微分中值定理有关证明

☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .
试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=
证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是
M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([3
1. 由
连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([3
1
)(=++=
f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在
)3,0()3,(⊂∈c ξ使得()0f ξ'=。

☆例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且⎰=1
3
2)0()(3f dx x f
求证：存在)1,0(∈ξ使0)('
=ξf
证：由积分中值定理可知，存在2
[,1]3
c ∈，使得
⎰
-=13
2)3
2
1)(()(c f dx x f
得到 ⎰
==13
2)0()(3
)(f dx x f c f
对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在)1,0(),0(⊂∈c ξ，使()0f ξ'=
☆例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有⎰-=k x dx x f xe k f 1
1)()1(，
求证存在)1,0(∈ξ使1
()(1)()f f ξξξ-'=-
证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k
∈使得)01)(()(11
01-=--⎰k c f ce dx x f xe c
k x
令)()(1x f xe
x F x
-=，可知)1()1(f F =
这样1110
(1)(1)()()()x c k F f k
xe f x dx ce f c F c --====⎰
，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理
（三个条件都满足）存在)1,0()1,(⊂∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()x
x x F x e
f x xe f x xe f x ---''=-+
∴ 11
()[()(1)()]0F e
f f ξ
ξξξξξ
-''=--=
又01≠-ξ
ξe
，则1
()(1)()f f ξξξ
'=-
在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。

因此如何构造一个函数)(x F ，它与)(x f 有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F ξ'=就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设)(x f 在],[b a 上连续，（b a ,）内可导，0)()(==b f a f 则下列各结论皆成立。

（1）存在),(1b a ∈ξ使11()()0f lf ξξ'+=（为实常数）
（2）存在),(2b a ∈ξ使1
222()()0k f k f ξξξ-'+=（为非零常数）
（3）存在),(3b a ∈ξ使333()()()0f g f ξξξ'+=（)(x g 为连续函数） 证：（1）令)()(x f e x F lx
=，在],[b a 上用罗尔定理 ∵ ()()()lx lx
F x le f x e f x ''=+ ∴ 存在),(1b a ∈ξ使()()()011111
='+='ξξξξξf e f le F l l
消去因子，即证.
（2）令()()k
x F x e f x =，在],[b a 上用罗尔定理 1()()()k
k
k x x F x kx e f x e f x -''=+
存在),(2b a ∈ξ使2212222()()()0k
k
k F k e f e f ξ
ξξξξξ-''=+=
消去因子，即证。

（3）令)()()
(x f e
x F x G =，其中()()G x g x '=
()
()()()()()G x G x F x g x e f x e f x ''=+ 由3()0F ξ'=
清去因子)
(3ξG e
，即证。

例4 设)(x f 在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==f f ，1)2
1(=f ，试证：
（1）存在)1,2
1(∈η，使ηη=)(f 。

（2）对任意实数，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1f f ξλξξ'--=
证明：（1）令x x f x -=Φ)()(，显然它在[0, 1]上连续，又
02
1
)21(,01)1(>=Φ<-=Φ，根据介值定理，存在)1,21(∈η使0)(=Φη即ηη=)(f
（2）令])([)()(x x f e x e
x F x x
-=Φ=--λλ，它在],0[η上满足罗尔定理的条件，故存
在),0(ηξ∈，使()0F ξ'=，即
(){()[]}01=---'-ξξλξλξf f e
从而 ()[()]1f f ξλξξ'--=
（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，)(x f 取为
x x f x -=Φ)()(）
模型Ⅱ：设)(x f ，)(x g 在],[b a 上皆连续，（b a ,）内皆可导，且0)(=a f ，0)(=b g ，则存在),(b a ∈ξ，使
()()()()0f g f g ξξξξ''+=
证：令)()()(x g x f x F =，则0)()(==b F a F ，显然)(x F 在[b a ,]上满足罗尔定理的条
件，则存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'=，即证.
例5 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，0)0(=f ，为正整数。

求证：存在)1,0(∈ξ使得()()()f kf f ξξξξ''+=
证：令k
x x g )1()(-=，1,0==b a ，则0)0(=f ，0)1(=g ，用模型Ⅱ，存在
)1,0(∈ξ使得
1()(1)(1)()0k k f k f ξξξξ-'-+-=
故()(1)()0f kf ξξξ'-+= 则()()()f kf f ξξξξ''+=
例6 设)(),(x g x f 在),(b a 内可导，且()()()()f x g x f x g x ''≠，求证)(x f 在),(b a 内任
意两个零点之间至少有一个)(x g 的零点
证：反证法：设b x x a <<<21，0)(1=x f ，0)(2=x f 而在)(2,1x x 内0)(≠x g ，
则令)
()
()(x g x f x F =
在],[21x x 上用罗尔定理 [
12121212()()
()()0,()0,()0()()
f x f x f x f x F x F x
g x g x ==∴=
===] （不妨假设0)(,0)(21≠≠x g x g 否则结论已经成立）
则存在),(21x x ∈ξ使()0F ξ'=，得出()()()()0f g f g ξξξξ''-=与假设条件矛盾。

所以在),(21x x 内)(x g 至少有一个零点
例7 设)(),(x g x f 在[b a ,]二阶可导，且()0g x ''≠，又0)()()()(====b g a g b f a f 求证：（1）在（b a ,）内0)(≠x g ； （2）存在),(b a ∈ξ，使
()()()()
f f
g g ξξξξ''='' 证：（1）用反证法，如果存在),(b a c ∈使0)(=c g ，则对)(x g 分别在[c a ,]和[b c ,]
上用罗尔定理，存在),(1c a x ∈使1()0g x '=，存在),(2b c x ∈使2()0g x '=，再对()g x '在[21,x x ]上用罗尔定理存在),(213x x x ∈使3()0g x ''=与假设条件()0g x ''≠矛盾。

所以在),(b a 内0)(≠x g （2）由结论可知即()()()()0f g f g ξξξξ''''-=，因此
令)()(')(')()(x f x g x f x g x F -=，可以验证)(x F 在[b a ,]上连续，在),(b a 内可导，0)()(==b F a F 满足罗尔定理的三个条件 故存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'= 于是()()()()0f g f g ξξξξ''''-=成立
例8 设()f x 在[]0,3上连续，（0，3）内二阶可导，且
2
2(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰
（I ）
证明 存在[]0,2η∈ 使()()0f f η=
（II ） 证明 存在()0,3ξ∈ 使()''0f ξ= 证：（I ）由积分中值定理，存在[]0,2η∈， 使
()()()2
20f x dx f η=-⎰
故存在[]0,2η∈使()()202f f η=
即()()0f
f η=
（Ⅱ）由()()()2023f f f =+，可知
()()
()2302
f f f +=，
∵()f x 在[]2,3上连续由价值定理可知存在[]2,3c ∈，使()()0f c f =， 由于()f x 在[]0,η上连续，()0,η内可导，且()()0f f η=
根据罗尔定理存在()10,ξη∈，使()1'0f ξ= 又()f x 在[],c η上连续，(),c η内可导，且()()f
f c η=根据罗尔定理存在
()2,c ξη∈（可知21ξξ>）使()2'0f ξ=，最后对()'f x 在1,2ξξ⎡⎤⎣⎦上用罗尔
定理可知存在()
()1,20,3,ξξξ∈⊂使()"0f ξ
=。