八年级数学上册三角形(多边形,多边形的内角和)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总结 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
二 多边形的对角线
A
u定义：
连接多边形不相邻的两个顶 B
E
点的线段，叫做多边形的对
角线.
C
D
注意 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边 形的对角线通常用虚线表示.
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
D A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°.
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° =
360°A .
D
这四种方法都运用
了转化思想，把四
边形分割成三角形，
P
转化到已经学了的
三角形内角和求解.
B
C
结论： 四边形的内角和为360°.
典例精析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对
角有什么关系？试说明理由.
A
解： 如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，C
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
一 多边形的内角和 问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想与证明
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么 是多边形的边、顶点、内角、外角．
多边形相邻两边组成的角
n边形有n个顶点， n条边，n个内角， 2n个外角．
多边形的 边与它的邻边的 延长线组成的角.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等 等.其中三角形是最简单的多边形.
问题4 请分别画出下列两个图形各边所在的直线,
在平面内，由一些线段首尾 顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形.
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要 强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面 内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同 一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示. 字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时 针的顺序.
……
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
从同一顶点
引出的对角 0ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
2
3
5
线的条数
n边形
n-3
分割出的三
角形的个数 1
2
3
4
6
n-2
归纳总结
从n 边形的一个顶点可以作出 将多边形分成
n(n 3) 2
条对角线.
例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这 些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21， 求这个多边形的边数．
八年级数学上册三角形
(多边形,多边形的内角和)
情景引入
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的 图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼——五角大楼
视频：水立方外观美景欣赏
一 多边形的定义及相关概念
问题1 什么是三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形. 问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念， 你能说出什么是多边形吗？
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明 为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等. 注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等， 各角都相等，两个条件必须同时具备.
当堂练习
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割 成 六 个三角形.
课堂小结
定义
前提条件是在一个平面内
多边形 对 角 线
正多 边形
它是多边形的一条重要线段，在 今后通常作对角线把多边形的问 题转化为三角形和四边形的问题
定义既是判定也是性质
多边形的内角和
情景引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马 行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
A
B
C
D
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下 的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能 是（ A ） A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
3.九边形的对角线有（ C ） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条
4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条 对角线，则这是 十三 边形.
解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线， 所分得的三角形个数为n-2， ∴n-3+n-2=21， 解得n=13． 答：该多边形的边数有13条．
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
三 正多边形 u定义： 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
你能得到什么结论？
D
E
A
此类多边形被一 条边所在的直线 分成了两部分， 不在这条直线同 侧是凹多边形.
C
G
B （1）
F （2） H
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，
整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就
是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形.
典例精析
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的 边数可能是多少？画出图形说明． 解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不 变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
D A
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
E
B C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
二 多边形的对角线
A
u定义：
连接多边形不相邻的两个顶 B
E
点的线段，叫做多边形的对
角线.
C
D
注意 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边 形的对角线通常用虚线表示.
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
D A 方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3180°=360°.
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° =
360°A .
D
这四种方法都运用
了转化思想，把四
边形分割成三角形，
P
转化到已经学了的
三角形内角和求解.
B
C
结论： 四边形的内角和为360°.
典例精析
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对
角有什么关系？试说明理由.
A
解： 如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，C
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
一 多边形的内角和 问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
都是360°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想与证明
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么 是多边形的边、顶点、内角、外角．
多边形相邻两边组成的角
n边形有n个顶点， n条边，n个内角， 2n个外角．
多边形的 边与它的邻边的 延长线组成的角.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等 等.其中三角形是最简单的多边形.
问题4 请分别画出下列两个图形各边所在的直线,
在平面内，由一些线段首尾 顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形.
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要 强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面 内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同 一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示. 字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时 针的顺序.
……
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
从同一顶点
引出的对角 0ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
2
3
5
线的条数
n边形
n-3
分割出的三
角形的个数 1
2
3
4
6
n-2
归纳总结
从n 边形的一个顶点可以作出 将多边形分成
n(n 3) 2
条对角线.
例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这 些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21， 求这个多边形的边数．
八年级数学上册三角形
(多边形,多边形的内角和)
情景引入
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的 图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼——五角大楼
视频：水立方外观美景欣赏
一 多边形的定义及相关概念
问题1 什么是三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形. 问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念， 你能说出什么是多边形吗？
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明 为什么？
（四条边都相等）
（四个角都相等）
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等. 注意 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等， 各角都相等，两个条件必须同时具备.
当堂练习
1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ B ）
5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割 成 六 个三角形.
课堂小结
定义
前提条件是在一个平面内
多边形 对 角 线
正多 边形
它是多边形的一条重要线段，在 今后通常作对角线把多边形的问 题转化为三角形和四边形的问题
定义既是判定也是性质
多边形的内角和
情景引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马 行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
A
B
C
D
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下 的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能 是（ A ） A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
3.九边形的对角线有（ C ） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条
4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条 对角线，则这是 十三 边形.
解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线， 所分得的三角形个数为n-2， ∴n-3+n-2=21， 解得n=13． 答：该多边形的边数有13条．
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
三 正多边形 u定义： 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
你能得到什么结论？
D
E
A
此类多边形被一 条边所在的直线 分成了两部分， 不在这条直线同 侧是凹多边形.
C
G
B （1）
F （2） H
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，
整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就
是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形.
典例精析
例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的 边数可能是多少？画出图形说明． 解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不 变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
D A
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
E
B C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、