17常见的数列求和及应用学案

2.6.1常见的数列求和及应用

学案作者：薛丹

一、自主探究

1、等差数列的前n 项和公式：

n S = = 。

2、等比数列的前n 项和公式： ①当1q =时，n S = ；

②当1q ≠时，n S = = 。 3、常见求和公式有：

①1+2+3+4+…+n= ②1+3+5+…+（2n-1）= ※③2222

123n ++++ =()()1

1216

n n n ++ ※④()23

3

3

3

2112314

n n n ++++=+ 二、典例剖析

（一）、分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用公式分别求和，从而得出原数列的和。 例1 已知2n n a n =+，求数列｛n a ｝的前n 项和。

变式练习：已知2n a n n =+，求数列｛n a ｝的前n 项和。

（二）、裂项求和法：如果数列的通项公式可转化为()()1f n f n +-形式，常采用裂项求和

的方法。特别地，当数列形如11n n a a +⎧

⎫

⎨

⎬⎩⎭

，其中{}n a 是等差数列，可采用此法

例2 求和：

222111

21311

n +++--- （2n ≥）

变式练习：已知数列的通项公式()

1

1n a n n =+，求数列｛n a ｝的前n 项和。

（三）、奇偶并项法：当数列通项中出现()()1

11n n +--或时，常常需要对n 取值的奇偶性进行

分类讨论。

例3 求和：()

()1357121n

n S n =-+-+-+--

（四）、倒序相加法：此法主要适用数列前后具有“对称性”，即“首末两项之和相等”的形式。

例4 求在区间[],a b 内分母是3的所有不可约分数之和。

变式练习：已知lg lg x y a +=且()()

122lg lg lg lg n n n n

n S x x y x y y --=++++ .求n S

（五）错位相减法：一般地，如果数列{}n a 时等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用此法，在等式的两边乘以q 或

1

q

，再错一位相减。

例5 求和：21123n n S x x nx -=++++ ()10x x ≠≠且

变式练习：求和：135212482

n n n S -=

++++

三、提炼总结：数列的求和是数列的一个重要内容,它往往是数列知识的综合体现，求和题在试题中更是常见，它常用来考察我们的基础知识，分析问题和解决问题的能力。任何一个数列的前n 项和都是从第1项一直加到第n 项。数列的求和主要有以下几种方法。⑴公式法；⑵分组求和法；⑶裂项求和法；拆项成差求和经常用到下列拆项公式，请补充完整：①

()

1

1n n += ；

②

()()

1

2121n n -+= ；

③

()()

1

12n n n ++= ；

= ；

⑷奇偶并项法；⑸倒序相加法；⑹错位相减法。 四、课堂检测：

1、已知数列{}n a 的通项21n a n =+，由123n

n a a a a b n

++++=

所确定的数列{}n b 的前n

项之和是 （ ） A.()2n n + B.

()142n n + C.()152n n + D.()1

72

n n + 2、已知数列{}n a 为等比数列，前三项为1111,,,2233

a a a ++则222

12n n T a a a =+++ 等于

（ ）

A.2913n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

B.28113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

C.48119n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

D.814159n

⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

3、设数列()1,12+，（1+2+4），…，（2

1

1222

n -++++ ）的前m 项和为2036，则m 的值为

（ ）

A.8

B.9

C.10

D.11

4、在50和350之间所有末位数是1的整数之和是 （ ） A.5880 B.5539 C.5280 D.4872

5、()()()

222222

10099989721-+-++-=

6、若

()

()

()*1352113211111223341n n N n n ++++-=∈++++⨯⨯⨯+ ,则n=

7、设正项等比数列{}n a 的首项112

a =，前n 项和为n S ，且()1010

3020102210S S S -++= ①求{}n a 的通项； ②求{}n nS 的前n 项和n T

8、数列{}n a 中，148,2,a a ==且满足()

*

2120n n n a a a n N ++-+=∈,

①求数列{}n a 的通项公式； ②设()

()*12,1

,,12n n n n b n N S b b b n a =∈=+++- 是否存在最大的整数m ，使得任意的n

均有n S ＞

32

m

总成立。