高中数学青年教师基本功大赛笔试试题1答案

射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛

笔试试题(一)答案

一、基础知识（共10小题，每题3分，计30分）

1.自主学习、合作学习、探究学习.

2.知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观.

3.

4.分类讨论,数形结合,函数与方程,化归与转化.

5.空间想象,抽象概括,推理论证,运算求解,数据处理.

6.广阔性、深刻性、独立性、批判性、逻辑性、灵活性、敏捷性、创造性.

7.不可度量的线段的发现；无穷小量是零还不是零；罗素悖论的产生.

8.数缺形时少直观,形少数时难入微.

9.几何证明选讲,矩阵与变换,数列与差分,坐标系与参数方程,不等式选讲,初等数论初步,优选法与试验设计初步,统筹法与图论初步,风险与决策,开关电路与布尔代数.

10.拟定计划；实现计划；回顾.

二、解题能力测试（共5题，每题18分，计90分）

11.请建立适当的模型来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.

见必修4教材.模型建立………………………9分,公式证明…………………………18分 12. 解:这样的函数有无数个…………………………………………………………………(8分) 如(1) y=x 2, x ∈[0,2] ………(13分) (2) y=x 2, x ∈[－2,2]. ……………(18分)

13. 解: (Ⅰ)OP 旋转的角速度ω=52606

ππ⨯=弧度/秒 ………………………………………5分 (Ⅱ)易知

所以()sin()26z f t t πϕ==++,将(0,0)

代入得sin 2

ϕ=-, 而02πϕ-<<,故4

πϕ=- , 从而函数f(t)的解析式为()sin()264

z f t t ππ==-+………………………………13分 (Ⅲ)

令sin()2264

z t ππ=-+=, 得642

t πππ-=,解之得 4.5t =，即点P 第一次到达最高点需要4.5秒. 又60125

=,即水轮转一圈需要12秒, 从而点P 第二次到达最高点需要4.5+12=16.5秒………………………………………18分 欧几里德 勾股定理 毕达哥拉斯 形式主义数学 希尔伯特 《几何原本》

14. 解：(Ⅰ)设公差为d ，则22222543

a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+， 因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772

a d ⨯+=， 解得15a =-，2d =………………………………………………………………………7分 所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =- ………………………9分 （Ⅱ）12272523m m m a a (m )(m )a (m )

++--=-，令23m t -=， 1242m m m a a (t )(t )a t ++--=86t t

=+-……………………………………………………13分 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±,

当1t =，2m =时，863t t

+-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项； 1t =-，1m =时，8615t t

+-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合. 所以满足条件的正整数2m =……………………………………………………………18分 15. 解:(Ⅰ)设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得

11|24|2=+-k k

，解得815k ±=……4分 ∴切线l

方程为824)15

y x -=- ……………………………………………………6分 （Ⅱ）圆心到直线12-=x y

设圆的半径为r ，则9)5(2222=+=r , ∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x ………………………………………………… 10分 （Ⅲ）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ， 根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1

b y a x y x ,

即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），

又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得： []

)11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ ………………………………14分 若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩

⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ， 解得3

10,51,522,1,2===

===λλb a b a 或…………………………………………16分 ∴可以找到这样的定点R ，使得PR

PQ 为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310……………………………………………………18分