浙江专版2020年【高考】数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点4等差数列等比数列教学案

浙江专版2020年【高考】数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点4等差数列等比数

列教学案

2020-12-12

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建知识网络明内在联系

[高考点拨]数列专题是浙江新高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结合浙江新高考的命题研究，本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和及综合应用”两条主线展开分析和预测．

突破点4 等差数列、等比数列

(对应学生用书第16页)

[核心知识提炼]

提炼1等差数列、等比数列的运算

(1)通项公式

等差数列：a n＝a1＋(n－1)d；

等比数列：a n＝a1·q n－1.

(2)求和公式

等差数列：S n ＝

n a 1＋a n

2

＝na 1＋

n n －1

2

d ；

等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q

1－q

(q ≠1)．

(3)性质 若m ＋n ＝p ＋q ，

在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 提炼2等差数列、等比数列的判定与证明 数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *

)为同一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明

a n ＋1a n

(n ∈N *

)为同一常数； ②利用等比中项，即证明a 2

n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2). 提炼3数列中项的最值的求法

(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制． (2)利用数列的单调性求解，利用不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．

(3)转化为关于n 的不等式组求解，若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组

⎩

⎪⎨

⎪⎧

a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组⎩

⎪⎨

⎪⎧

a n ≤a n －1，

a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围

之后，再确定取得最值的项．

[高考真题回访]

回访1 等差数列及其运算

1．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋

S 6>2S 5”的( )

【导学号：68334059】

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

C [法一：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6>2S 5.

若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ， ∴d >0.∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． 故选C.

法二：∵S 4＋S 6>2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5)⇔a 6>a 5⇔a 5＋d >a 5⇔d >0，∴“d >0”是“S 4

＋S 6>2S 5”的充分必要条件． 故选C.]

2．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8

成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0

B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 2

4＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2

＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2

，即a 1d ＝－53

d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，

dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23

d 2<0.]

3．(2014·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3

＝36. (1)求d 及S n ；

(2)求m ，k (m ，k ∈N *

)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.

【导学号：68334060】

[解] (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 2分

将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2

(n ∈N *

). 5分

(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 11分

由m ，k ∈N *

知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，故⎩

⎪⎨

⎪⎧

2m ＋k －1＝13，

k ＋1＝5，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

m ＝5，

k ＝4.