(3)变额年金

其中
j ir 1 r
an j
23
问题：对于等额年金，期初付年金的现值是期末付 年金的 (1 + i) 倍，对于复递增年金而言，期初付与 期末付存在什么关系？
若 r = i, 期末付的现值为 n/(1+r) = n/(1+i)，期初付 的现值为 n.


若 r≠ i ,
1 PV末 an j 1 r
2
1、递增年金（increasing annuity）

期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一 期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。 按算术级数递增。 用 ( Ia) n | 表示其现值：

( Ia) n | v 2v 2 3v 3 nvn
11
2、递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate)：第一期末 支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
时期 0 1 2 3 … n –1 n
递减年金
n
1 1 1 … 1 1 1
1 2 2 3 3 (1 r ) v (1 r ) v (1 r ) v 1 r

(1 r ) n v n
若 r = i , 则现值为 PV末 = n/(1+i)

1 若r i , 令 (1 r )v 1 j
， 则现值为：
2 n 1 1 1 1 1 PV末 an j ... 1 r 1 j 1 j 1 j 1 r
n

an | nv n i

1 di
( Ia) | lim( Ia) n | lim
n n
an | nv n d

1 d2

在计算上述极限时， lim nv n lim
n
n 0 n (1 i ) n
6

例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加 100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%， 这项年金的现值应该是多少？
1
2
n
n-1
1
( I a)n| v n ( Da)n1|
15
( I a ) n | v ( Da ) n1|
n
an| nv n i
+v
n
(n 1) an1| i
1 (an1| 1 nv n nv n v n v n an1| ) i

解：年金分解如下：
1000 1100 1800 1900
900 100
900 200
900 900
900 1000
900a10| 100( I a)10| = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 (元)
7

Example ：An investment of 700 is to be used to make payments of 10 at the end of the fist year, 20 at the end of second year, 30 at the end of third year, and so on, every year as so long as possible. A smaller final payment is paid one year after the last regular payment. The fund earns an effective annual rate of 5%. Calculate the smaller final payment.
因此有14次正规支付和在第15年末有一次小额支付。设小 额支付为 R，则
700 10( Ia)14| Rv15 10 66.452 Rv15
700 664.52 15 R 35.48 1.05 73.76 15 v
9
Байду номын сангаас

例：写出下述年金的现值公式
P P＋Q P＋2Q …… P＋(n-2)Q P＋(n-1)Q
( Ia)n (1 i)( Ia)n an nv n d
sn n d
5
累积值
( I s )n = (1 + i)( Is)n

递增永续年金(increasing perpetuity)) 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
( Ia) | lim( Ia)n | lim n
an| nv n

所以递增年金的现值为
n | nv n a i
( Ia) n |
4
( Ia)n|

an| nv n i
根据现值求得其累积值为
( Is)n (1 i) n ( Ia) n (1 i) n an nv n i

sn n i
期初付递增年金(increasing annuity-due) 现值
1 v i
v)
=
n an i
13
( Da) n|

n an| i
递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da) n| (1 i) n n an| i n(1 i)n sn| i
( D a)n| = (1 + i)( Da)n|
n –1
1 1 1 … 1 1
n –2
1 1 1 … 1
…
… … …
2
1 1
1
1
等 额 年 金
12

递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，即：
( Da)n an an1 a1
1 v n 1 v n 1 i i
n (v n v n1 = i
解：价值方程为（不考虑最后一次非正常付款）
700 10( Ia)n| 10
700

an| nv n 0.05
（ 1 1.05 n ) /(0.05 /1.05) n(1.05) n 10 0.05
10
20
30
R
8


解上述方程（应用excel求解）即得 n = 14.49。
PV初 an j
ir j 1 r
结论：期初付的现值是期末付的(1+i)倍（参见下页图示）。
24
(1+r)n-1
期末付：
期初付：
25
Exercise

A perpetuity-immediate pays 100 per year. Immediately after the fifth payment, the perpetuity is exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. The annual effective rate of interest is 8%. Calculate Y.
26


第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250
0
1
2
3
……
n-1
n
设A表示此年金的现值，则
A P an Q v ( Ia)n1
10

例：证明下列关系式成立：
an1 | (n 1)v n i
an| nv n i
（1）
( Ia)n |
（2）
( Ia)n | an|
已知： ( Ia) n|
an| nv n i
变额年金
（Varying Annuities）
孟生旺 中国人民大学统计学院
http://blog.sina.com.cn/mengshw
1
主要内容

递增年金（离散支付，离散递增） 递减年金（离散支付，离散递减）


复递增年金：按几何级数递增的年金
每年支付 m 次的递增年金（略去递减年金） 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） 连续支付、连续递增（或递减）的年金 一般形式的连续支付、连续变额现金流
其中
(1 r )v
1 ir j 1 j 1 r
19


例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金 额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这项年金在 时刻零的现值。 解：年金的现金流如下：
20

现值： 1000
1 1 an j 1000 a10 j 1 r 1.05

其中 j i r 0.04 0.05 0.0095
1 r 1 0.05

因此该项年金的现值为：
-10 1 1 1 （ 1 0.0095） 1000 a10 6% 1000 10040.94 1.05 1.05 0.0095
21

期初付复递增年金(compound increasing annuity-due) ： 假设一项年金在第1年初支付1元，此后给付金额按复利增 n 1 (1 r ) 长，直到第 n 年初支付金额为 元。
1 (1+r) (1+r)2 (1+r)n-1
0
1
2
3
n
PV末 v (1 r )v 2 (1 r ) 2 v 3
(1 r ) n 1 v n
18

上述年金的现值：
PV末 v (1 r )v2 (1 r )2 v3 (1 r )n1 v n
=
n an| d
( Ds )n| = (1 i) ( Ds)n|
n
n(1 i ) n sn| d
14

例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直 至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一 年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为 an| an|
until 25 payments in total are made.

Solution ：
( Ia)10| 10v a15|
10
10 25
0 次数：
1
2
金额：
1
2
10
10
17
3、复递增年金 （compound increasing annuity）


含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年末支付(1+r)n-1。

上式两边乘以(1 + i)：
(1 i)( Ia)n| 1 2v 3v 2
nv n1
i ( Ia)n| (1 v v 2 v3
v n1 ) nv n
3

i ( Ia)n| (1 v v 2 v3
v n1 ) nv n
22

此项年金的现值：
PV初 1 (1 r )v (1 r ) 2 v 2

(1 r ) n 1 v n 1
若 r = i, 则现值为 PV初 = n
若r i，则可令

1 (1 r )v 1 j
2
，上式变形为：
n 1
1 1 1 PV初 1 ... 1 j 1 j 1 j
1 (an1| v n an1| 1 v n ) i
1 (1 v n )(an 1| 1) i
an| an|
16

Example：Find the present value of an annuity immediate
such that payments start at 1, each payment thereafter increases by 1 until reach 10, and then remain at that level