傅里叶变换的基本性质解析

F[ f t ] F f0 t F f0 t 2τ
F f0 t
F[ ωc π
Sa
ωct
]
1G2
(
c
)
由时移特性得到
F0 ω
1
ωC o ωC
ω
(b)
F f0 t 2τ
e
j2
τ G2
(
c
)
因此f t 的频谱F( )等于
.
F ω F f0 t F f0 t 2τ
(1
e
j2
τ )G2
(
c
)
从中可以得到幅度谱为
第七节 傅里叶变换的基本性质
主要内容：
1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 4.尺度变换性质 5.时移特性
时域卷积定理 频域卷积定理
6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质 9.频域微分性质 10.帕塞瓦尔定理
1.对称性(互易对偶性) (时频对称性)
若 f (t) F ()
则 F (t) 2 f ()
F
(w)
1 2
G(w
w0 )
1 2
G(w
w0 )
E
2
Sa
(w
w0
)
2
E
2
Sa
(w
w0
)
2
f (t)
A
/2 0
/2
t
F ( j)
Eτ
0
f (t) cos0t
A
E
2
F ( j)
/2
/2
t
0
0
0
书例3-5 ： （书P134）
已知f (t) cos( 0t) 利用频移定理求余弦信号的频谱。
解一：
则 a1f1(t) a2f2 (t) a1F1() a2F2 ()
其中，a1,a2为常数
3.奇偶虚实性
若 f (t) F () F() e j() R() jX()
则：
（1）当f (t)为实函数时: F()共轭对称 即：F() 偶对称，()奇对称；
R()偶对称，X()奇对称； （2）当f (t)为实偶函数时， F()为实偶函数； （3）当f (t)为实奇函时， F()为虚奇函数;
例1：
(t) 1
1
2 ()
例2：
f (t)
F(t) ESa( t )
2
f (t)
E
F
()
E
Sa
2
Baidu Nhomakorabea
？ 2 f( )
F
()
E
Sa
2
0
t
2
2
F (t) ESa( t )
2
2
0 2
t
2
0 2
w
2 f( ) 2 f( )
2E
0
2
2
例3
解：
已已知知f f(t()t)
1 t
,1t求, 求F[fF(t[)f](t)]
（4）当f (t)为纯虚函数时， F() 为偶函数，()为奇函数；
R()奇对称，X()偶对称；
4.尺度变换特性 （展缩特性）
若 f (t) F ()
意义
则
f (at)
1 a
F
a
,
a
0
(a) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
(b) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
例：
结论：
时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。 信号的持续时间与信号占有频带成反比
2
由时移特性可得：
F (w)
F0 (w)(1 e jwT
e jwT
)
E
Sa( w
2
)1 2cos(wT )
其频谱如下：
F (w) 3E
2
0 2 4
TT
w
实偶信号的频谱为实偶
（书P133） 已知双Sa信号
f
t
ωc π
Saωct
Saωc
t
2τ
试求其频谱。
解： 令
f0t
ωc π
Saωc t
则 f t f0 t f0 t 2τ
思路 什么样的信号频谱含 1
F[sFg[sng(nt()t])]
22 jj
根根据据对对称称性性质质
FF[[j2jt2t]]= 22 ssggnn(( ))
F[F1t[]1t ]
j sgn( )
j sgn( )
22 ssggnn(( ) )
2.线性性
若 f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
2 sin τ Fω
0
( ω ωc ) ( ω ωc )
在实际中往往取τ π ,此时上式变成 ωc
F
ω
2
sin
πω ωc
0
( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。
f t
ωC π
F ω
2
τ
o
2τ
t
ωC o ωC
ω
(d)
(e)
6.频移特性 （调制定理）
t
例1：(补充) 已知F[ (t)] 1,求F[ (τ)dτ]
解： 设F()=F[ (t)] 1,
cos0t
1 2
(e
j0t
e
j0t
)
[
(
0 )
(
0 )]
解二： F[1] 2 ( )
注意“1”的作 用
F[cos( 0t)] [ (
0) (
0 )]
cos0t
1 2
(e
j0t
e
j0t
)
[
(
0 )
(
0 )]
cos0t
1
F ()
( )
t
0
0
( )
0
余弦信号及其频谱函数
注意：周期信号也存在傅里叶变换
若 f (t) F ()
e 则 f (t) j0t F( 0 ) 0为是实常数
证明： 由傅立叶变换定义有
F[ f (t) e j0t ]
f (t)e j0te- jt dt f (t )e- j( -0 )t dt
F[ j( 0 )]
调制性：f
(t)
cos
0t
1 2
F
(
0
)
5.时移特性
式中t0为任意实数
注意： 信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域
中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
时移加尺度变换：
书例3-2： 求下列所示三脉冲信号的频谱。
解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号
f (t)
E
F0
(w)
E
Sa(
w
2
)
T
0
T
t
2
f (t) f0 (t) f0 (t T ) f0(t T )
7.时域积分特性
若 f (t) F ()
则 t
f
(
)d
F ( ) j
F (0)，
f (t) t f (0)
F ()d
jt
F (0)
f (t)dt
证明方法一：书P.135
正向应用 应用：
证明方法二：利用卷积定理
逆向应用
更常用
时域积分性质应用举例：
正向应用
直接套用性质 即：
用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换
F
(
0
),
f
(t) sin
0t
j 2
F (
0 )
F (
0 )
证明：
F[ f (t) cos0t]
1 F[ f (t)e j0t ] 1 F[ f (t)e-j0t ]
2
2
1 2
F[
j(
0 )]
1 2
F[
j(
0
)]
F[ f (t) sin 0t]
1 F[ f (t)e j0t ] 1 F[ f (t)e-j0t ]
2j
2j
j 2
F[
j(
0 )]
j 2
F[
j(
0 )]
书例3-4 （书P133） 已知矩形调幅信号如图所示 f (t) G(t) cos(w0t)
其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。
解：G(t)矩形脉冲的频谱为： G(w) E Sa( w )
2 根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为