九年级数学正弦和余弦的相互关系公式
正弦定理和余弦定理的所有公式
正弦定理和余弦定理的所有公式正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有公式，供参考。
数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分的技巧如何判断函数的对称性与周期性1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便。
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
关于正弦函数和余弦函数的计算公式正弦函数和余弦函数是数学中常见的三角函数，它们在物理、工程和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍正弦函数和余弦函数的计算公式。
正弦函数常用的计算公式如下：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...其中，x是弧度值。
在数学中，我们常用弧度制来度量角度，一个圆的周长被定义为2π弧度。
因此，如果要将一个角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度=角度*π/180根据以上公式，我们可以将角度转换为弧度，然后使用正弦函数的计算公式来计算正弦值。
由于每一项都是按照一定的规律递减，所以我们可以根据需要选择适当的项数来进行计算，一般情况下，前几项即可满足计算需求。
余弦函数常用的计算公式如下：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...同样地，x是弧度值。
根据上述计算公式，余弦函数的计算方法与正弦函数类似，只是每一项的正负号交替出现，其余部分和正弦函数的计算公式相同。
需要注意的是，在许多编程语言和计算器上，正弦函数和余弦函数的计算是基于输入角度的计算，而不是基于弧度。
因此在这些情况下，我们可以直接使用内置函数来计算正弦和余弦值，不需要手动转换为弧度。
此外，还有一些特殊角度的正弦和余弦值是常见的，它们在实际计算中经常被使用。
例如，0°对应的正弦和余弦值分别为0和1；90°对应的正弦值为1，余弦值为0。
这些特殊角度的值可以在计算中直接使用，无需通过公式计算。
正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本和最常用的两个函数。
它们具有周期性，即在一个周期内，函数图像重复出现。
正弦函数和余弦函数在物理中可以描述周期振动和波动的现象，如弹簧振子、电磁波等。
在工程中，正弦函数和余弦函数在信号处理、通信系统、控制系统等方面有广泛的应用。
在计算机图形学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述旋转变换和动画效果等。
正弦和余弦公式
正弦和余弦公式篇一：正弦和余弦公式是三角学中的基本公式，它们被广泛运用于各种数学和科学领域。
以下是正弦和余弦公式的正文和拓展:正文:正弦和余弦公式是三角学中的基本公式，它们可以用来计算三角形中的角度和边长。
正弦公式表示为:sinθ = 對數據數 (∫-180°/2πdθ)其中，θ是角度，對數據數是角度的对数。
余弦公式表示为:cosθ = 平氣據數 (∫-180°/2πdθ)其中，θ是角度，平氣據數是角度的对数。
拓展:正弦和余弦公式在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。
以下是一些例子:1. 物理学：正弦和余弦公式可以用来计算弦的振动频率和波长。
2. 天文学：正弦和余弦公式可以用来计算行星的轨道大小和倾角。
3. 工程学：正弦和余弦公式可以用来计算机械振动的周期和振幅。
4. 计算机科学：正弦和余弦公式可以用来计算图形的亮度和颜色。
5. 物理学：余弦定理可以用来计算两个物体之间的引力和距离。
总结起来，正弦和余弦公式是三角学中的基本公式，它们在我们的日常生活中有着广泛的应用。
篇二：正弦和余弦公式是三角学中非常重要的公式，它们可以用来计算三角形中各种角度的正弦和余弦值。
以下是正弦和余弦公式的正文和拓展: 正文:正弦公式:sinθ = 對數× esinθ其中，對數表示半周長，esinθ表示正弦值。
余弦公式:cosθ = 對數× ecsθ其中，對數表示半周長，ecsθ表示余弦值。
拓展:正弦和余弦公式可以用于计算任何角度的正弦和余弦值。
假设角度θ是三角形中的角度，可以用以下公式来计算其正弦和余弦值:正弦值:sinθ = 對數× cos(90° - θ)其中，90° - θ表示角度θ的对角度。
余弦值:cosθ = 對數× sin(90° - θ)其中，90° - θ表示角度θ的对角度。
正弦和余弦公式也可以用于计算弦长和角度之间的关系。
正余弦公式大全
正余弦公式大全正弦和余弦是三角函数中最基本的两个函数，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
正弦和余弦函数的公式是我们学习三角函数的重要内容之一。
在本文中，我们将全面介绍正弦和余弦函数的公式，帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的性质和运用。
首先，我们来看正弦函数的公式。
正弦函数通常用sin表示，其公式可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边。
其中，θ代表角度，对边表示与这个角度相对的直角三角形的对边长度，斜边表示这个直角三角形的斜边长度。
这个公式告诉我们，正弦函数实际上是描述了一个角度与其对边和斜边之间的关系。
通过这个公式，我们可以计算出任意角度的正弦值，从而更好地理解三角形的性质和角度的变化。
接下来，我们再来看余弦函数的公式。
余弦函数通常用cos表示，其公式可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也是描述了一个角度与其邻边和斜边之间的关系。
通过余弦函数的公式，我们可以计算出任意角度的余弦值，从而更好地理解三角形的性质和角度的变化。
在实际应用中，正弦和余弦函数的公式经常被用于解决各种问题。
例如，在物理学中，正弦和余弦函数可以描述波的运动规律；在工程学中，正弦和余弦函数可以描述机械振动的规律。
因此，掌握正弦和余弦函数的公式对于理解和应用这些领域的知识都是非常重要的。
除了基本的正弦和余弦函数的公式外，我们还可以通过一些数学关系推导出一些常见的正弦和余弦函数的恒等式。
例如，我们可以通过正弦和余弦函数的定义，推导出它们之间的关系式：sin²θ + cos²θ = 1。
这个恒等式被称为三角恒等式，它表明了正弦和余弦函数之间的基本关系。
通过这个恒等式，我们可以进一步推导出其他与正弦和余弦函数相关的数学性质，从而更深入地理解这两个函数。
总之，正弦和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数，它们的公式和性质对于数学和物理学领域都有着重要的意义。
通过学习和掌握正弦和余弦函数的公式，我们可以更好地理解和应用三角函数的知识，在实际问题中解决各种复杂的计算和分析。
二角和的正弦余弦公式(一)
二角和的正弦余弦公式(一)二角和的正弦余弦公式一、正弦公式正弦公式是初中数学中常见的公式，用于求解两个角的正弦差或和的sin值。
公式表达式对于两个角A和B，正弦公式可表达如下：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)示例说明以A=30°，B=60°为例，计算sin(A + B)：sin(A) = sin(30°) = cos(B) = cos(60°) = cos(A) =cos(30°) = √3 / 2 sin(B) = sin(60°) = √3 / 2代入正弦公式求解：sin(A + B) = sin(30° + 60°) = sin(90°) = 1因此，sin(A + B) = 1。
二、余弦公式余弦公式也是初中数学中常见的公式，用于求解两个角的余弦差或和的cos值。
公式表达式对于两个角A和B，余弦公式可表达如下：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)示例说明以A=30°，B=60°为例，计算cos(A + B)：cos(A) = cos(30°) = √3 / 2 cos(B) = cos(60°) = sin(A) = sin(30°) = sin(B) = sin(60°) = √3 / 2代入余弦公式求解：cos(A + B) = cos(30° + 60°) = cos(90°) = 0因此，cos(A + B) = 0。
三、应用场景二角和的正弦余弦公式在几何学、物理学等领域有广泛应用。
它们可以帮助我们计算两个角的正弦、余弦和，从而在解决问题时提供准确的数值计算。
例如，在物理学中，当我们需要求解两个角之间的正弦、余弦和时，可以将正弦余弦公式应用于实际问题中，帮助我们计算出准确的结果。
两角和与差的正弦公式与余弦公式
两角和与差的正弦公式与余弦公式角的和与差的正弦公式正弦函数是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
在数学中，角的和与差的正弦公式可以帮助我们计算两个角的正弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的正弦公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之和等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的正弦公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的正弦值之差等于第一个角的正弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的余弦乘以第二个角的正弦。
例如，假设角A的正弦值是0.5，角B的余弦值是0.7，我们可以使用两角和的正弦公式计算两个角的和的正弦值：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB= 0.5 * 0.7 + cosA * sinB= 0.35 + cosA * sinB这样，我们可以使用已知的角A和B的正弦和余弦值，计算出两个角的和的正弦值。
角的和与差的余弦公式除了正弦函数之外，余弦函数也是三角函数中的一种，描述了一个角度与其对应弧的长度之间的关系。
与角的和与差的正弦公式类似，我们也可以使用公式来计算两个角的余弦值之和与差。
具体来说，我们有以下两个公式：1.两角和的余弦公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之和等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再减去第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
2.两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB这个公式告诉我们，两个角A和B的余弦值之差等于第一个角的余弦乘以第二个角的余弦，再加上第一个角的正弦乘以第二个角的正弦。
初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系
初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系正文：三角函数是数学中重要的概念之一，在初中数学学习中也占据着重要的位置。
而三角函数中，正弦函数和余弦函数的关系更是一项基础性的内容。
本文将对初中数学中三角函数的正弦与余弦关系进行归纳总结，帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、正弦与余弦的定义及性质首先，我们需要明确正弦与余弦的定义。
在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，我们可以定义其正弦和余弦。
正弦函数sinθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的对边之比，即sinθ=对边/斜边。
余弦函数cosθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的邻边之比，即cosθ=邻边/斜边。
正弦与余弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。
即在一个周期内，它们的值会重复出现。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像以坐标原点对称；余弦函数是偶函数，其图像以y轴对称。
3. 范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，余弦函数的值域也为[-1, 1]。
二、正弦与余弦的关系正弦与余弦函数之间有着紧密的关联，它们之间的关系可以通过三角恒等式来表示。
三角恒等式即指两个不同的三角函数之间的等式关系。
1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ该定理表明了三角形的三边与对应角的正弦值之间的关系。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγ该定理表明了三角形的三边与对应角的余弦值之间的关系。
正弦定理和余弦定理为我们理解和计算三角形的边长和角度提供了重要的数学工具。
三、应用举例下面我们通过几个具体的例子来应用正弦与余弦关系。
例1：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，BC=5cm，求AC 的长度。
sincos转换公式
sincos转换公式在三角函数中，正弦（sin）和余弦（cos）是非常重要的函数。
我们知道，正弦和余弦是通过角度来定义的，它们之间有很多重要的关系和转换公式。
首先，让我们回顾一下正弦和余弦的定义：对于一个角度θ，其对应的正弦是三角形中对边与斜边的比值，即sin(θ) = a/c，其中a是对边的长度，c是斜边的长度。
而余弦则是三角形中邻边与斜边的比值，即cos(θ) = b/c，其中b 是邻边的长度。
在数学问题中，我们经常需要将正弦和余弦之间进行转换。
下面是一些常见的正弦和余弦转换公式。
1.正弦和余弦的平方和恒等于1：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1这个公式被称为正弦和余弦的平方和公式。
它表明在任何给定角度θ下，正弦的平方与余弦的平方之和始终等于1、这是三角函数的基本性质之一2.正弦和余弦的互余性质：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)这个公式表明，一个角度的正弦等于其互补角度的余弦，而一个角度的余弦等于其互补角度的正弦。
例如，sin(30°) = cos(90° - 30°) = cos(60°)。
这个互余性质在求解三角方程时非常有用。
3.正弦和余弦之间的乘积转换：sin(θ)cos(θ) = 1/2sin(2θ)这个公式表明，一个角度的正弦和余弦乘积等于这个角度的二倍角的正弦的一半。
例如，sin(30°)cos(30°) = 1/2sin(60°)。
4.余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)这个公式表明，一个角度的余弦的二倍角等于该角度的余弦的平方减去正弦的平方。
这个公式在求解三角方程和证明恒等式时非常有用。
5.正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个公式表明，一个角度的正弦的二倍角等于两倍角度的正弦与余弦的乘积。
初中数学重点梳理：正弦定理与余弦定理
初中数学重点梳理：正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理知识定位解三⾓形在初中⼏何或者竞赛中占据⾮常⼤的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题⽬或者三⾓形综合的重要基础。
其中解三⾓形⾥⾯的正弦定理与余弦定理和证明及其基本应⽤；向量⽅法证明余弦定理的证明性质以及应⽤，必须熟练掌握。
本节我们通过⼀些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中正弦定理与余弦定理相关问题的常见题型及其求解⽅法本讲将通过例题来说明这些⽅法的运⽤。
知识梳理1、三⾓形常⽤公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝21ca sin B ； 2、三⾓形中的边⾓不等关系:A>B ?a>b,a+b>c,a-bA a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；正弦定理的变式：??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．4、正弦定理应⽤范围：①已知两⾓和任⼀边，求其他两边及⼀⾓．②已知两边和其中⼀边对⾓，求另⼀边的对⾓．③⼏何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三⾓形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中⼀边的对⾓解三⾓形，有如下的情况： (1)A 为锐⾓babaaBACACABa=bsin A bsin A(2)A 为锐⾓或钝⾓当a>b 时有⼀解. 5、余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若⽤三边表⽰⾓，余弦定理可以写为、6、余弦定理应⽤范围：（1）已知三⾓形的三条边长，可求出三个内⾓；（2）已知三⾓形的两边及夹⾓，可求出第三边． 7、三⾓形⾯积公式：8、余弦定理的向量证明：2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.证明：（证法⼀）如图，2c BC =()()AC AB AC AB =-?- 222AC AC AB AB =-?+222cos AC AC AB A AB =-?+222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+-（证法⼆）已知ABC ?中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建⽴直⾓坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-例题精讲【试题来源】【题⽬】在ABC ?中，,,a b c 分别是⾓,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 值．【答案】39sin 8B =【解析】解：由正弦定理及⾓变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三⾓形内⾓和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-，所以231sin sin()cos sin 32222B B BA π=-=+， 31sin sin()cos sin 322222B B BC π=-=-，⼜sin 2sincos 22C B +=中得 3cos4sin cos 222B B B =，由cos 02B>得3sin 24B =，从⽽13cos24B =，所以39sin B =．【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题⽬】已知ABC ?的三个内⾓,,A B C 满⾜：2A C B +=，112cos cos cos A C B+=-，求cos2A C-的值．【答案】2cos22A C -= 【解析】解：由题设知060B =，0120AC +=，设2A Cα-=，则2A C α-=，可得060,60A C αα=+=-代⼊条件中得001122cos(60)cos(60)αα+=-+-221313cos sin cos sin αααα=--+cos sin 44ααα=--即2422cos 320αα+-=，从⽽求出2cos 2α=即2cos 22A C -= 【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题⽬】在ABC ?中，已知466,cos 36AB B ==，AC 边上的中线5BD =，求sin A 值．【答案】70sin 14A =【解析】解：以B 为原点，BC 为x 轴正向建⽴直⾓坐标系，且不妨设点A 在第⼀象限．由30sin 6B =，得4646(cos ,sin )33BA B B =445(,)33=．设(,0)BC x =，则4325(,)6x BD +=，由5BD =求出2x =（另⼀负值舍去）．于是由数量积得314cos 14BA CA A BA CA==，所以70sin A =．【题⽬】ABC ?内接于单位圆，三个内⾓,,A B C 的平分线延长后分别交此圆于点111,,A B C ，CAB1B C 1求1111coscos cos 222C A BAA BB CC ++的值．【答案】2【解析】解：如图连接BA ，则12sin()A AA B =+2cosB C-=，故1cos2cos cos sin sin A B C AAA C -==+，同理1cossin sin B A =+，1cos sin sin CA B =+，代⼊原式得1111coscos cos 222C A BAA BB CC ++ 2(sin sin sin )2sin sin sin A B C A B C++==++．【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题⽬】在ABC ?中，记,,BC a CA b AB c ===，若22299190a b c +-=，求cot C的值．【答案】5/9，⼜由余弦定理，得 222cos a b c C +-=，所以2255sin c CC ==，所以5sin 5sin()C A B C +==5sin cos cos sin 5(cot cot A B A B A B +==+，故cot 5C =【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题⽬】设⾮直⾓ABC ?的重⼼为G ，内⼼为I ，垂⼼为H ，内⾓,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．求证：（１）sin sin sin 0A IA B IB C IC ?+?+?=；（２）tan tan tan 0A HA B HB C HC ?+?+?=；（３）cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =-+-．【答案】如下解析【解析】证明：（1）由定⽐分点的向量形式得11BD ABIB IC IB ICb IBc IC DC AC ID BD AB b c DC AC++?+?===+++，由,IA ID 共线得AIIA ID ID=-?，即AB IA ID BD=-?，⼜acBD b c ==- 即0a IA b IB c IC ?+?+?=，由正弦定理可得sin sin sin 0A IA B IB C IC ?+?+?=．（2）由tan ,tan AD AD B C BD DC ==，得tan tan BD CDC B=，由定⽐分点公式的向量形式有tan tan tan tan tan tan tan 1tan C HB HCB HBC HC B HD C B C B+?+?==++．⼜HAHA HD HD=-．下⾯求HAHD，tan tan BD HD BD HBD C =?∠=，tan AD BD B =?，IFDEBHEF所以HA AD HDHD HD-=tan tan tan tan 1tan BDBD B C B C BD C ?-A B C B C +=-+=-得tan tan tan tan 1tan B CB C A+-=．所以tan tan tan HA B C HD A+=代⼊即得证．（3）由（2）知tan tan tan 0A HA B HB C HC ?+?+?=，所以tan ()tan ()tan ()0A HG GA B HG GB C HG GC ?++?++?+=，由G 是三⾓形的重⼼有0GA GB GC ++=得()GA GB GC =-+代⼊并利⽤：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=整理即得【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题⽬】在⾮直⾓ABC ?中，边长,,a b c 满⾜a c b λ+=(1)λ>．（1）证明：1tantan 221A C λλ-=+；（2）是否存在函数()f λ，使得对于⼀切满⾜条件的λ，代数式cos cos ()()cos cos A C f f A Cλλ++恒为定值？若存在，请给出⼀个满⾜条件的()f λ，并证明之；若不存在，请给出⼀个理由【答案】如下解析【解析】证明：（1）由a c b λ+=得sin sin sin A C B λ+=，和差化积得2sincos 2sin cos 2222A C A CB Bλ+-=因为222A C Bπ+=-，所以有cos cosλ-+=，展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cλλ+=-，故1tan tan 221A C λλ-=+．（2）从要为定值的三⾓式的结构特征分析，寻求cos cos A C +与cos cos A C 之间的关系．由1tan tan 221A C λλ-=+及半⾓公式得221cos 1cos (1)1cos 1cos (1)A C A C λλ---?=+++，对其展开整理得242(1)(cos cos )4cos cos A C A C λλλ-++=-即242(1)(cos cos )4cos cos A C A Cλλλ-++=-，即222cos cos 21cos cos 1A C A C λλλλ+-+=+，即222cos cos 112cos cos 1A C A C λλλλ+-+=--+ 与原三⾓式作⽐较可知()f λ存在且22()1f λλλ=-+ 【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂例题【难度系数】4 【试题来源】【题⽬】在⾮钝⾓ABC ?中，0,45AB AC B >=，,O I 分别是ABC ?的外⼼和内⼼，且2OI AB AC =-，求sin A【答案】2sin A =1sin 22222OI R Rr ==-，其中,R r 分别为外接圆和内切圆的半径，再由三⾓形中的⼏何关系得21tan tan ()22282c a b B c a b r c a b π+-+-===+- 结合正弦定理消去边和,R r 得212(sin sin )2(sin sin sin 21)C B A C B --=+-，⼜232sin sin()cos )4B C A A A π==-=+，代⼊并分解因式得 21)(221)0A A -=即2sin A =2cos 1A =，即2sin A =1sin 22A =-经验证这两个值都满⾜条件．【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】当堂练习题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题⽬】在△ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最⼤值为 . 【答案】27.【解析】解：令AB c =，BC a =，则由正弦定理得32,sin sin sin 32a c ACA C B==== 2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=?，222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+?-＝2sin C +314(cos sin )4sin 23cos 22C C C C +=+27sin(+)C ?=(其中3tan )2= ∴当90C ?+=?时，2AB BC +取最⼤值为27.【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题⽬】在ABC ?中，a ，b ，c 分别为内⾓A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求cosB.【答案】【解析】解：由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理得，.22sin sin ==a Ab B由bπ2sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的⾼为h,则有.213sin +==C b h 【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题⽬】在ABC ?中，已知3331tan tan tan 6181tan tan tan 216A B C A B C ?++=-++=-，求ABC ?的三个内⾓的⼤⼩．【答案】311,arctan ,arctan 432π【解析】解：构造⽅程求解．在ABC ?中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，因为333tan tan tan 3tan tan tan A B C A B C ++-2(tan tan tan )[(tan tan tan )A B C A B C =++++3(tan tan tan tan tan tan )]A B B C C A -++从⽽求得2tan tan tan tan tan tan 3A B B C C A ++=-，所以tan ,tan ,tan A B C 是⽅程321210636x x x +-+=即326410x x x +-+=的三个根．由32641(1)(21)(31)x x x x x x +-+=+--得tan ,tan ,tan A B C 的值分别是111,,32-，从⽽三个内⾓为311,arctan ,arctan 432π．【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题⽬】已知向量→a =（2，2），向量与向量→a 的夹⾓为43π，且→a ·→b =－2，（1）求向量→b ；（2）若)2cos 2,(cos ,)0,1(2CA c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内⾓，若三⾓形的三内⾓A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围【答案】如下解析【解析】解：（1）设=（x ,y ），则222,x y +=-且22||13||cos4a b b x y a π===+∴解得)1,0()0,1(,101-=-=-==??=-=y x y x 或或（2）)1,0(),0,1(,,3-=∴=⊥=B 且π.∴),cos ,(cos )12cos 2,(cos 2C A C A =-=+∴)2cos 2(cos 211cos cos ||222C A C A ++=+=+=1+1cos()cos()1cos(),2A C A C A C +-=-- 22,33A C ππ-<-< ∴,1)cos(21≤-<-C A∴.25||22<+≤c b 【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题⽬】ABC ?中2,A B C =是钝⾓，三边长均为整数，求ABC ?周长的最⼩值【答案】77【解析】解：利⽤正余弦定理及整数的性质求解．32C A B B πππ=--=->3,cos 62B B π∴<>且cos B 是有理数，令cos ,,,,(,)1nB m n m n N m n m=>∈=，由637728<<，故8m ≥．⼜22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B =?=-=-224(1)n b m =-，故224bn m 是整数，⼜(,)1m n =，故24bm为整数，由8m ≥知16b ≥，再由3cos 2B >，得2316[4()1]32,2c >-= 故32c ≥．sin 232cos 21616327sin b B a b B B ==≥??=>，故28a ≥，即28163377a b c ++≥++=．即周长的最⼩值为77．此时28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B ==，故cos cos2A B =，即满⾜2A B =，⼜171cos 322A =>73,cos 8B =>,63B A ππ<<，从⽽⾓C 是钝⾓，满⾜条件．故ABC ?周长的最⼩值是77，此时28,16,33a b c ===【知识点】正弦定理与余弦定理【适⽤场合】随堂课后练习【难度系数】3。
三角形正弦余弦公式大全
三角形正弦余弦公式大全三角形是几何学中的重要概念。
在三角形中，正弦和余弦公式是用来计算三角形的边长和角度的关系的重要公式。
下面是关于三角形正弦和余弦公式的详细解释，包括证明和应用。
①正弦公式：在一个三角形ABC中，假设三个角分别为A、B和C，三条边分别为a、b和c。
那么，正弦公式用于计算三角形的边长和角度之间的关系。
a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式通过正弦比来表示三角形的边长与角度之间的关系。
正弦比是通过三角形的一个角的正弦值与它对应的边长之间的比值来定义的。
证明：根据三角函数的定义，sinA = opposite/hypotenuse，其中opposite是指与角度A相对的边长，hypotenuse是三角形的最长边。
根据这个定义，我们可以写出：a/sinA = b/sinB = c/sinC对于给定的一个角，这个公式说明了角度与它对边的比例是相等的。
这就是为什么叫做正弦公式。
应用：正弦公式可以用于解决各种三角形相关的问题。
例如，如果已知两条边和一个角，可以使用正弦公式来计算缺失的边和角。
此外，正弦公式还可以用于解决三角形的面积问题。
②余弦公式：与正弦公式类似，余弦公式也用于计算三角形的边长和角度之间的关系。
在一个三角形ABC中，假设三个角分别为A、B和C，三条边分别为a、b和c。
那么，余弦公式用于计算三角形的边长和角度之间的关系。
c² = a² + b² - 2abcosC这个公式通过余弦定理来表示三角形的边长与角度之间的关系。
余弦定理是通过三角形的一个角和它对边的长度来定义的。
证明：根据余弦定理，c² = a² + b² - 2abcosC这个定理可以通过将三角形分为两个直角三角形，并使用勾股定理来证明。
应用：余弦公式可以用于解决各种三角形相关的问题。
例如，如果已知三边的长度，可以使用余弦公式来计算三个角的大小。
初数数学公式如何计算正弦值和余弦值
初数数学公式如何计算正弦值和余弦值在数学中，正弦和余弦是最基本的三角函数之一。
它们可以通过数学公式进行计算，这在初数数学中是非常重要的。
本文将介绍如何计算正弦值和余弦值的数学公式，并为您提供详细的计算步骤，帮助您理解和掌握这些基本概念。
一、正弦值的计算公式正弦是一个周期性函数，其取值范围在-1到1之间。
它的计算公式如下：sin(x) = (e^ix - e^(-ix)) / (2i)其中，x表示给定角的弧度值，e表示自然对数的底数（约等于2.71828），i表示虚数单位（i^2 = -1）。
sin(x)的计算步骤如下：1. 将x转换为弧度制：x（弧度）= x（角度）* π / 180。
2. 计算指数部分：e^ix = cos(x) + i * sin(x)。
3. 计算其共轭数：e^(-ix) = cos(x) - i * sin(x)。
4. 对指数部分和共轭数进行相减：e^ix - e^(-ix)。
5. 将相减的结果除以2i。
通过以上步骤，您可以计算出给定角度的正弦值。
二、余弦值的计算公式余弦也是一个周期性函数，其取值范围同样在-1到1之间。
它的计算公式如下：cos(x) = (e^ix + e^(-ix)) / 2余弦值的计算步骤如下：1. 将x转换为弧度制：x（弧度）= x（角度）* π / 180。
2. 计算指数部分：e^ix = cos(x) + i * sin(x)。
3. 计算其共轭数：e^(-ix) = cos(x) - i * sin(x)。
4. 将指数部分和共轭数进行相加：e^ix + e^(-ix)。
5. 将相加的结果除以2。
通过以上步骤，您可以计算出给定角度的余弦值。
三、示例计算为了更好地理解上述公式，我们来进行一些具体的计算示例。
示例1: 计算30度的正弦值和余弦值。
首先将30度转换为弧度：30° * π / 180 = π / 6 弧度。
计算正弦值：sin(π / 6) = (e^(i * π / 6) - e^(-i * π / 6)) / (2i)。
同一锐角的正弦余弦正切关系
同一锐角的正弦余弦正切关系
对于同一锐角，其正弦、余弦和正切之间存在以下关系：
1.正弦与余弦的关系：
正弦和余弦之间的关系可以通过勾股定理推导出来。
假设我们有一个直角三角形，其中一个锐角为θ，那么正弦θ（sinθ）等于对边长度除以斜边长度，余弦θ（cosθ）等于邻边长度除以斜边长度。
由于斜边长度相
同，正弦和余弦之间的关系可以表示为：
sin2θ+cos2θ=1
这是因为在直角三角形中，对边、邻边和斜边满足勾股定理，即：
对边2+邻边2=斜边2
将斜边长度设为1（单位圆的情况），则：
sin2θ+cos2θ=1
2.正弦与正切的关系：
正切θ（tanθ）定义为正弦θ除以余弦θ，即：
tanθ=cosθsinθ
这个关系表明，正切是正弦和余弦的比值。
3.余弦与正切的关系：
类似地，余切θ（cotθ）定义为余弦θ除以正弦θ，即：
cotθ=sinθcosθ
这个关系表明，余切是余弦和正弦的比值。
这些关系在三角函数中非常重要，它们不仅用于解决与角度和边长相关的问题，还用于推导其他三角恒等式和公式。
正弦余弦公式
正弦余弦公式引言正弦余弦公式是初等数学中一个重要的三角函数公式，主要用于求解三角形的边长和角度。
应用广泛，尤其在几何学和物理学中。
正弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
正弦公式给出了角和边的关系：a b c───── = ───── = ───── = 2R，其中R为三角形外接圆半径sinA sinB sinC该公式表明了三角形的边长与角度之间的关系，当其中一个角的正弦值增大时，对应的边的长度也会增大。
余弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
余弦公式给出了边和角的关系：c² = a² + b² - 2abcosC该公式表明了三角形的边长与角度之间的关系，当两个边的长度增大时，对应的夹角的余弦值会减小。
逆正弦余弦公式逆正弦余弦公式是正弦余弦公式的逆运算，主要用于求解角度。
对于一个已知的三角形ABC，已知边长和角度，可以通过逆正弦余弦公式求解另外一个角度。
逆正弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
逆正弦公式给出了角度和边的关系： sinA sinB sinC───── = ───── = ─────a b c逆余弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
逆余弦公式给出了边长和角的关系： cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)该公式主要用于求解一个已知三角形的两个边长和夹角，通过逆余弦公式可以求解缺失的一边长度。
应用示例下面通过一个具体的应用示例来展示正弦余弦公式的使用。
假设在一个三角形ABC中，已知边长a为5，b为7，而夹角C为30°。
我们可以通过正弦公式和余弦公式来求解剩余的两个角度和边长。
首先，通过逆余弦公式可以求解角C的余弦值：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab) = (5² + 7² - c²)/ (2 * 5 * 7)将已知的数值代入公式计算，得到cosC的值。
湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)
知1－练
sin 67°38′24′′； 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确 按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
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例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
(完整版)初中三角函数公式表
(完整版)初中三角函数公式表一、三角函数的基本定义在初中数学中，三角函数主要涉及正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数与直角三角形的三边长度有着密切的关系。
1. 正弦函数（sin）：正弦函数表示直角三角形中，对应于一个锐角的斜边与斜边与邻边之比。
公式为：sin(θ) = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数表示直角三角形中，对应于一个锐角的邻边与斜边之比。
公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tan）：正切函数表示直角三角形中，对应于一个锐角的斜边与邻边之比。
公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边。
二、三角函数的相互关系1. 正弦函数和余弦函数的关系：sin(θ) = cos(90° θ)，cos(θ) = sin(90° θ)。
2. 正切函数和余弦函数的关系：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)。
3. 正切函数和正弦函数的关系：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)。
三、三角函数的特殊值1. 0°：sin(0°) = 0，cos(0°) = 1，tan(0°) = 0。
2. 30°：sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2，tan(30°) =1/√3。
3. 45°：sin(45°) = √2/2，cos(45°) = √2/2，tan(45°)= 1。
4. 60°：sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2，tan(60°) = √3。
5. 90°：sin(90°) = 1，cos(90°) = 0，tan(90°) 无定义。
四、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即函数值在一定的周期内会重复出现。
苏教版初三数学知识点：正弦余弦知识点
苏教版初三数学知识点：正弦余弦知识点初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
为大家提供了正弦余弦知识点，希望对大家有所帮助。
正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：(1)已知三角形的两角与一边，解三角形(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。
灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a正弦、余弦典型例题1.在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为2.已知α为锐角，且，则α 的度数是( ) A.30° B.45°C.60°D.90°3.在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是() A.75°B.90°C.105°D.120°4.若∠A为锐角，且，则A=() A.15° B.30° C.45° D.60°5.在△ABC中，AB=AC=2，AD⊥BC，垂足为D，且AD= ，E是AC中点，EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。
三角函数正弦余弦公式
三角函数正弦余弦公式
三角函数正弦余弦公式可以表示为：
正弦公式：sinθ=y/r。
余弦公式：cosθ=x/r。
其中，θ是圆心角，r是圆的半径，x为圆上点的横坐标，正方向为x轴正方向；y为圆上点的纵坐标，正方向为y轴正方向。
利用图象可以得到：
正弦公式：sinθ=y/r。
余弦公式：cosθ=x/r。
三角公式还可以用另一种方式表达：
正弦公式：sinθ=y/a。
余弦公式：cosθ=b/a。
其中，a为圆上点离圆心的距离，b为圆上点离x轴的距离，θ为圆心角。
以上就是三角函数正弦余弦公式的基本介绍。
该公式在学习数学、物理时是非常重要的一环，学会运用其计算实际问题，考试中也是一道重要的考题，希望大家能够掌握。
关于正余弦的所有公式
关于正余弦的所有公式标题：关于正余弦的所有公式引言概述：正余弦是数学中重要的三角函数，广泛应用于各个领域。
掌握正余弦的所有公式对于解决各种数学问题至关重要。
本文将详细阐述正余弦的公式，包括其定义、基本关系、和差角公式、倍角公式以及半角公式等。
正文内容：1. 定义和基本关系1.1 正弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其对边与斜边的比值称为正弦函数，记作sin(θ)。
1.2 余弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其邻边与斜边的比值称为余弦函数，记作cos(θ)。
1.3 正弦和余弦的基本关系：根据勾股定理，sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，这是正弦和余弦函数之间的基本关系。
2. 和差角公式2.1 正弦的和差角公式：sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)。
2.2 余弦的和差角公式：cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)。
2.3 和差角公式的应用：和差角公式可以用于简化三角函数的计算，尤其在解决三角方程和三角恒等式时非常有用。
3. 倍角公式3.1 正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
3.2 余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)。
3.3 倍角公式的应用：倍角公式可以将一个三角函数的角度加倍，从而简化计算，常用于解决三角方程和求解三角函数的特殊值。
4. 半角公式4.1 正弦的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/2]，其中±取决于θ/2所在的象限。
4.2 余弦的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]，其中±取决于θ/2所在的象限。
4.3 半角公式的应用：半角公式可以将一个角度减半，从而简化计算，常用于求解三角函数的特殊值和简化三角恒等式的证明。
sin与cos转化公式
sin与cos转化公式一、引言在数学中，三角函数是研究角度和旋转的重要工具。
其中，正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是最基本且常见的三角函数之一。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍sin与cos的转化公式，帮助读者理解它们之间的关系和相互转化的方法。
二、正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的定义正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是周期函数，它们的值在[-1, 1]之间变化。
在单位圆上，正弦函数对应的是角度对应的纵坐标，而余弦函数对应的是角度对应的横坐标。
三、sin与cos的基本关系sin和cos是互为相反函数的关系，即sin(x) = cos(x - π/2)，其中π/2是90度对应的弧度值。
这个关系可以通过单位圆的几何性质来理解。
单位圆上，一个角度为x的点的坐标为(cosx, sinx)，而角度为x - π/2的点的坐标为(cos(x - π/2), sin(x - π/2))，由于单位圆上的坐标与角度之间的关系是一一对应的，所以可以得到sin(x) = cos(x - π/2)。
四、sin与cos的转化公式1. sin(x) = cos(π/2 - x)这个公式表明了sin和cos之间的转化关系。
通过这个公式，我们可以将sin函数的问题转化为cos函数的问题，或者将cos函数的问题转化为sin函数的问题。
这在解题过程中非常有用。
2. sin(x) = cos(π - x)这个公式说明了sin和cos函数在π对称的性质。
当x为[0, π/2]之间的角度时，sin和cos函数的值相同，但符号相反。
而当x为[π/2, π]之间的角度时，sin和cos函数的值的绝对值相同，但符号相反。
3. sin(x) = -sin(π - x)这个公式表明了sin函数的奇函数性质。
也就是说，sin函数关于π/2对称。
4. cos(x) = cos(-x)这个公式说明了cos函数的偶函数性质。
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正弦和余弦的相互关系公式教案
教学目标
1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；
2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；
3．培养学生运用知识结构总结问题的能力.
教学重点和难点
公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c ＞a ，c ＞b
答：（1）边的关系：②a+b ＞c ，…
③a 2+b 2=c 2.
（2）角的关系：∠A+∠B=90°.
（3）边角关系：sinA=a/c ，cosA=b/c ，…
教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题）
二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程
1．复习特殊角三角函数值.
（边问边按下列格式打出投影片
sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？
答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°.
2．从特殊到一般提出猜想.
猜想：设A 和B 互为余角，则：sinA=cosB ，cosA=sinB.
3．证明猜想，形成公式.
（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.）
互为余角的正、余弦的相互关系：
（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，或cosA=sinB.
（2）sin α=cos （90°-α），或cos α=sin （90°-α）.
（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
练习1（口答）
sin37°=cos ； cos62°=sin ；
sin47°-cos43°= ；
72sin 18cos = .
4．应用公式，变式练习.
例1 （1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A.求cosB ；
（2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°；
（3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇.
分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式.
三、sin 2A+cos 2A=1的教学过程
1．从学生原有的认知结构讲授“sin 2A+cos 2A=1”公式
（投影）如图6-15，△ABC 中，∠C=90°.
复习：a+b ＞c ，a 2+b 2=c 2. 引导：c b a +>1，,1222=+c b a ,1>+c b c a 122
22=+c
b c a . 发现：sinA+cosA>1，sin 2A+cos 2
A=1.
由此得到sinA ，cosA 相互关系的两条性质：（A 为锐角）
（1）sinA+cosA>1，（了解）
（2）sin 2A+cos 2A=1.（重点）
对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握.所以下面讲公式（2）的变形和应用.
2．理解公式sin 2A+cos 2A=1和几种变形.
sin 2A+cos 2A=1， sin 2A=1-cos 2A=（1+cosA ）（1-cosA ）， sinA=A 2cos 1-， cos 2A=1-sin 2A=（1+sinA ）（1-sinA ）， cosA=A 2sin 1-.
3．解公式成立的条件.
4．应用举例，变式练习.
练习2（口答）下列等式是否成立？
（1）sin 230°+cos 245°=1； （2）sin 237°+sin 253°=1；
（3）cos 256°+sin 256°=1； （4）sin 246°+cos 246°=1；
（5）sin 2α+sin 2（90°-α）=1.
例2 已知∠A 为锐角，且cosA=13
12.求sinA 的值. 解：因为sin 2A+cos 2A=1，且∠A 为锐角，所以 sinA=A 2cos 1-=2)1312(1-=135. 教师指出：解题时，根据sin 2A+cos 2A=1，当∠A 为锐角时，已知cosA 可求sinA ，同
样已知sinA 也可以求cosA ，利用上面的公式，还可以将式子化简.
例3 化简：sin 4A+sin 2A ·cos 2A+cos 2A.（∠A 为锐角）
分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA 和cosA ，于是从结构上联想到“sin 2A+cos 2A=1”这个公式.
解：sin 4A+sin 2A ·cos 2A+cos 2A
= sin 2A （sin 2A+cos 2A ）+cos 2A
= sin 2A+cos 2A
=1
例4 已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=25， BC=4，如图6-16.
求sinA ，cosA ，sinB ，cosB.
解：AB=22BC AC +=22
4)52(+=6，所以 sinA=AC BC =32，cosA=AB AC =35，
sinB=sin （90°-A ）=cosA=
35， cosB=cos （90°-A ）=sina=3
2. 这里求cosA ，也可用cosA=A 2sin 1-来求.
四、小结（投影）
1．先提出以下问题：
（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？
（2）应用这两个公式时应注意什么问题？
2．在学生回答的基础上教师总结指出：
至今为止，我们学习了四条性质：
（1）（投影下述知识结构）
（2）注意：公式成立的条件均为锐角，在第三个公式中，还要注意两个角是互余关系；
在第四个公式中同角的条件，还要善于灵活变形应用.
五、作业（投影）
1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：
（1）sin32°； （2）cos75°； （3）sin54°19′； （4）sin41°53′.
2．填空：
（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′= .
（2）已知：cos4°24′=0.997 1，则sin85°36′= .
3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后说出∠B 的正弦值和余弦值：
（1）a=2，b=1； （2）a=3，c=4； （3）b=2,c=29； （4）a=45，b=8.
4．设∠A 为锐角，且sinA=
17
8，求cosA. 选作：已知：∠A 和∠B （∠A>∠B ）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA ，sinB 是方程4x 2-2kx+k-1=0的两个实根.
求：（1）k 的值；（2）∠A 和∠B 的度数.
略解：因为∠A 与∠B 互余，所以sinB=cosA ，由根与系数关系：sinA+cosA=2k ， sinA ·cosA=4
1 k .由sin 2A+cos 2A=（sinA+cosA ）2-2sinA ·cosA=1得：k 2-2k-2=0，即k=1-3（舍），k=1+3，由∠A>∠B ，所以∠A=60°，∠B=30°.
板书设计（略）
课堂教学设计说明
这份教案为1课时，讲授两个公式.互为余角的正弦、余弦的相互关系，是运用“归纳发现法”讲授的，而“sin 2A+cos 2A=1”则是运用“演绎发现法”讲授的.因为数学的发现不都是归纳发现，而演绎发现是大量存在的，特别是高年级更是如此.这样讲授，对培养学生从不同角度发现问题是有好处的.
显然“sin 2A+cos 2A=1”也可用“归纳发现法”讲授，例如：
sin 230°+cos 230°=?
sin 245°+cos 245°=?
sin 260°+cos 260°=?
……
猜想：sin 2A+cos 2A=1.
证明：……
运用何种方法讲授，要根据学生实际水平.一般地说，学生基础好，理解能力强，可采用“演绎发现法”.反之，则采用“归纳发现法”.。