九年级数学正弦和余弦的相互关系公式

正弦和余弦的相互关系公式教案

教学目标

1．使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程，理解公式成立的条件，并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题；

2．通过公式的推导过程，培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力；

3．培养学生运用知识结构总结问题的能力.

教学重点和难点

公式的推导和应用是重点；而公式的应用又是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

（投影）问：直角三角形有什么性质？（图6-13） ①c ＞a ，c ＞b

答：（1）边的关系：②a+b ＞c ，…

③a 2+b 2=c 2.

（2）角的关系：∠A+∠B=90°.

（3）边角关系：sinA=a/c ，cosA=b/c ，…

教师归纳指出：由此可见，在一个直角三角形中，由于三边之间，两个锐角之间和边角之间都有一定的关系，而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值，因此自然要问：正弦和余弦之间有什么样的相互关系？这就是我们今天所要学习的问题.（板书课题）

二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程

1．复习特殊角三角函数值.

（边问边按下列格式打出投影片

sin30°= ； cos60°= ； sin60°= ； cos30°= ； sin45°= ； cos45°= . 问：你能发现什么规律？

答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°.

2．从特殊到一般提出猜想.

猜想：设A 和B 互为余角，则：sinA=cosB ，cosA=sinB.

3．证明猜想，形成公式.

（采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余的正、余弦相互关系的三种表达形式.）

互为余角的正、余弦的相互关系：

（1）若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ，或cosA=sinB.

（2）sin α=cos （90°-α），或cos α=sin （90°-α）.

（3）数学语言叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

练习1（口答）

sin37°=cos ； cos62°=sin ；

sin47°-cos43°= ；

72sin 18cos = .

4．应用公式，变式练习.

例1 （1）已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A.求cosB ；

（2）已知sin35°=0.573 6，求cos55°；

（3）已知cos47°6＇=0.680 7,求sin42°54＇.

分析：观察每小题两锐角的关系均为互余两角，都可运用上述关系式.

三、sin 2A+cos 2A=1的教学过程

1．从学生原有的认知结构讲授“sin 2A+cos 2A=1”公式

（投影）如图6-15，△ABC 中，∠C=90°.

复习：a+b ＞c ，a 2+b 2=c 2. 引导：c b a +>1，,1222=+c b a ,1>+c b c a 122

22=+c

b c a . 发现：sinA+cosA>1，sin 2A+cos 2

A=1.

由此得到sinA ，cosA 相互关系的两条性质：（A 为锐角）

（1）sinA+cosA>1，（了解）

（2）sin 2A+cos 2A=1.（重点）

对于（1）要求学生了解；（2）要求学生理解和掌握.所以下面讲公式（2）的变形和应用.

2．理解公式sin 2A+cos 2A=1和几种变形.

sin 2A+cos 2A=1， sin 2A=1-cos 2A=（1+cosA ）（1-cosA ）， sinA=A 2cos 1-， cos 2A=1-sin 2A=（1+sinA ）（1-sinA ）， cosA=A 2sin 1-.

3．解公式成立的条件.

4．应用举例，变式练习.

练习2（口答）下列等式是否成立？

（1）sin 230°+cos 245°=1； （2）sin 237°+sin 253°=1；

（3）cos 256°+sin 256°=1； （4）sin 246°+cos 246°=1；

（5）sin 2α+sin 2（90°-α）=1.

例2 已知∠A 为锐角，且cosA=13

12.求sinA 的值. 解：因为sin 2A+cos 2A=1，且∠A 为锐角，所以 sinA=A 2cos 1-=2)1312(1-=135. 教师指出：解题时，根据sin 2A+cos 2A=1，当∠A 为锐角时，已知cosA 可求sinA ，同

样已知sinA 也可以求cosA ，利用上面的公式，还可以将式子化简.

例3 化简：sin 4A+sin 2A ·cos 2A+cos 2A.（∠A 为锐角）

分析：由于原式中的指数为2和4，且底数为sinA 和cosA ，于是从结构上联想到“sin 2A+cos 2A=1”这个公式.

解：sin 4A+sin 2A ·cos 2A+cos 2A

= sin 2A （sin 2A+cos 2A ）+cos 2A

= sin 2A+cos 2A

=1

例4 已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=25， BC=4，如图6-16.

求sinA ，cosA ，sinB ，cosB.

解：AB=22BC AC +=22

4)52(+=6，所以 sinA=AC BC =32，cosA=AB AC =35，

sinB=sin （90°-A ）=cosA=

35， cosB=cos （90°-A ）=sina=3

2. 这里求cosA ，也可用cosA=A 2sin 1-来求.

四、小结（投影）

1．先提出以下问题：

（1）这节课学习了哪两个公式？它们是根据什么知识推导出来的？

（2）应用这两个公式时应注意什么问题？

2．在学生回答的基础上教师总结指出：

至今为止，我们学习了四条性质：

（1）（投影下述知识结构）

（2）注意：公式成立的条件均为锐角，在第三个公式中，还要注意两个角是互余关系；

在第四个公式中同角的条件，还要善于灵活变形应用.

五、作业（投影）

1．把一列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：

（1）sin32°； （2）cos75°； （3）sin54°19′； （4）sin41°53′.

2．填空：

（1）已知：sin67°18′=0.922 5，则cos22°42′= .

（2）已知：cos4°24′=0.997 1，则sin85°36′= .

3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后说出∠B 的正弦值和余弦值：

（1）a=2，b=1； （2）a=3，c=4； （3）b=2,c=29； （4）a=45，b=8.

4．设∠A 为锐角，且sinA=

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8，求cosA. 选作：已知：∠A 和∠B （∠A>∠B ）是一个直角三角形的两个锐角，并且sinA ，sinB 是方程4x 2-2kx+k-1=0的两个实根.

求：（1）k 的值；（2）∠A 和∠B 的度数.