中山大学线性代数期末总复习.ppt
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线性代数总复习讲义
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线性代数总复习
r(A) r(A,b)无解
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
克拉默法则， xj
Dj D
Ax=b
b=0 b≠0
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
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0 1 1
1 1 0 0 0 0
r3 r2 r4 3r1
0 1 1 2 r4 r3 0 0 0 0 2 4 2 2
0 1 1
1 ( 1) ( 2) ( 2) 4
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线性代数总复习
(2) 利用行列式展开计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
r2 5r3
32 2 1 0 10 1 3 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
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线性代数总复习
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
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线性代数总复习
2、n阶行列式的计算 (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
线性代数总复习
r(A) r(A,b)无解
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
克拉默法则， xj
Dj D
Ax=b
b=0 b≠0
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
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0 1 1
1 1 0 0 0 0
r3 r2 r4 3r1
0 1 1 2 r4 r3 0 0 0 0 2 4 2 2
0 1 1
1 ( 1) ( 2) ( 2) 4
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线性代数总复习
(2) 利用行列式展开计算
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
r2 5r3
32 2 1 0 10 1 3 r2 （ 2） 3 5 3 5 1 A 1 3 3 . 0 0 2 2 2 r3 （ 1） 2 11 1 0 0 11 1
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线性代数总复习
r1 r2
r3 r2
r1 2r3
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 1 3 2 r 2 （ 2） 0 2 0 3 6 5 （ 1） 0 0 1 1 1 1 r3
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线性代数总复习
2、n阶行列式的计算 (1) 利用行列式的性质计算 （化为三角形） 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
线性代数 线代复习ppt课件
解
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
线性代数总复习PPT 很全!.ppt
m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
线性代数期末复习课件(超全)
形式 0是Ax b的一个特解，则方程组的全部解为：
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
线性代数期末总复习(PPT)
反对称矩阵: AT = －A
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
线性代数知识点全面总结PPT课件
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件
6、n阶方阵的行列式 (1) |AT| = |A|;
(3) |AB| = |A||B| ; (5) |A*| = |A|n-1 .
(2) |kA| = kn|A| ; (4) |A-1| = |A|-1 ;
第6页/共61页
四、典型例题
1、方阵的幂运算 2、求逆矩阵 3、解矩阵方程 4、A*题
第7页/共61页
2.对A经过有限次初等变换得到B， 则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
A E E
A1
A E E 列 A1
用途
求矩阵A的秩、最简型、标准形. 求线第性20方页/程共6组1页的解.
概念 性质
初等方阵
对单位矩阵实施一次初等变换而得到的 矩阵称为初等方阵.
三种初等变换对应三种初等方阵.
初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同 种的初等矩阵.
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
第4页/共61页
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) A + B = B + A ; (2) (A + B ) + C = A + ( B + C ); (3) A + O = O + A = A; (4) A + (－A) = O; (5) k(lA) = (kl)A ; (6) (k+l)A = kA+ lA ; (7) k( A + B )= kA + kB ; (8) 1A = A, OA = O 。
线性代数期末复习提纲课件
(C） n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R( A) n 。
（D）正交的向量组一定是线性无关的。
16、 n 维向量组1 , 2 , s (3 s n)
(A)
零的数 k1 , k2 , k s k11 k2 2 k s s 0
(B) 1 , 2 , s (C) 1 , 2 , s
18．设向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 a2 , a1 a2 a3
性相关，线性无关）。
（填线
19．设 n 元线性方程组 AX b 有解，则当 R( A) 时， AX b 有无穷多解。 20．若 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1，-1，2，则 B A E 的特征值为
-2-
称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵）的特殊性质。 2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。 3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。 4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。 5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。
【主要内容】
第三章 线性方程组
1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量 b ，向量组 A ：1 , 2 ,, n
线性代数期末复习提纲课件
第二章 矩阵 【主要内容】 1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。 2、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。 3、 n 阶矩阵 A 可逆 A 0 A 为非奇异(非退化)的矩阵。
R( A) n A 为满秩矩阵。
AX 0 只有零解 AX b 有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的特征值全不为零。 A 可以经过初等变换化为单位矩阵。 A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。 5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。 6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。 7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。 【要求】 1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对
线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
《线性代数总复习》PPT课件_OK
aA 0或B 0 bBA 0 c A 0或 B 0 d A可逆时, B 0
e如果 A 0,则B 0 f 秩A 秩B n g如果秩A n,则B 0
消去律一般不成立
AB不一定等于BA A B AB O 0
B A1 AB A10
此时A可逆
有秩的结论
此时A可逆
2021/8/31
-7-
例5 2）设A、B都是n阶方阵，则 e
a( A B)2 A2 2AB B2 b A B B A c If A 1,then : A 1
当AB BA时,成立
A B 1n B A
A 1A 1n A
d A2 B2 ( A B)( A B) 当AB BA时,成立
(1) 对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 0仅有零解;
2当m n时, AX 0必有非零解;
2)
3当m n时, AX 0必有惟一解;
41,2,3都不对. (2) 对非齐次线性方程组AX=来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 必无解; 2当m n时, AX 必有无穷多解; 3当m n时, AX 必有惟一解;
的根为 2,3,4
1 2 22 23 解： 1 3 32 33 2( x 2)( x 3)( x 4)
1 4 42 43 1 x x2 x3
2021/8/31
-5-
例3. 设 A,B为三阶矩阵，且 A 3, B 2, A1 B 2, 求： A B1 解： A( A1 B ) E AB
a22 x2
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
的非零 解向量, 试判断 1,2 ,,r , 的线性相关性?
线性代数总结精华ppt课件
c.单位矩阵：对角数为1的对角矩阵。记为E
d数量矩阵：有数量的对角矩阵 记作 E .
第二章 矩阵
e.三角矩阵：分为上三角和下三角 f.负矩阵：原矩阵乘上负一 g.行最简型，行阶梯型，标准型 4.多元线性方程组与矩阵 a.系数矩阵与增广矩阵 5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、 6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运算规则) 7.伴随矩阵（注意运算规律） 8.共轭矩阵（不太重要）
第三章 向量 用向量的知识解构与重构矩阵
1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系
2.向量组的线性相关1 a 12 a 2 m a m
3.向量的线性表示：
a.一个向量被向量组线性表示b 1 a 1 2 a 2 m a m
b.一个向量组被另一个向量组线性表示 B=§A 定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) = 联系上一章节学习的线性方程 R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am ,b ) . 组的是知识
b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解的向量满足空间线性运算 及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间
定理 6 n 元齐次线性方程组
Ax = 0
⑴
的解空间的维数为 n - r ，即 ⑴ 的基础解系含 n - r 个解，其中
R(A) = r.
第三章 向量
1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的 线性表示）
端木奈良 更多学习资源请加QQ：2119658018
线性代数复习指导
The Review Lesson To Linear Algebra
d数量矩阵：有数量的对角矩阵 记作 E .
第二章 矩阵
e.三角矩阵：分为上三角和下三角 f.负矩阵：原矩阵乘上负一 g.行最简型，行阶梯型，标准型 4.多元线性方程组与矩阵 a.系数矩阵与增广矩阵 5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、 6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运算规则) 7.伴随矩阵（注意运算规律） 8.共轭矩阵（不太重要）
第三章 向量 用向量的知识解构与重构矩阵
1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系
2.向量组的线性相关1 a 12 a 2 m a m
3.向量的线性表示：
a.一个向量被向量组线性表示b 1 a 1 2 a 2 m a m
b.一个向量组被另一个向量组线性表示 B=§A 定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) = 联系上一章节学习的线性方程 R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am ,b ) . 组的是知识
b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解的向量满足空间线性运算 及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间
定理 6 n 元齐次线性方程组
Ax = 0
⑴
的解空间的维数为 n - r ，即 ⑴ 的基础解系含 n - r 个解，其中
R(A) = r.
第三章 向量
1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的 线性表示）
端木奈良 更多学习资源请加QQ：2119658018
线性代数复习指导
The Review Lesson To Linear Algebra
《线性代数总复习》课件
数据处理
线性代数为数据的表示、变换和分析提供了数学基础。
图像处理
矩阵运算和线性变换可以用来处理图像，比如旋转、缩放和滤波。
机器学习
线性代数为机器学习算法提供了数学基础，例如基于向量空间的特征表示和降维技术。
线性代数基础知识回顾
线性代数基础知识包括向量、矩阵、行列式和线性方程组等概念。 • 向量：表示大小和方向的量，可以进行加减和数乘运算。 • 矩阵：由数字排列成的矩形阵列，可以进行加法和数乘运算。 • 行列式：对方阵进行特定运算得到的一个标量值。 • 线性方程组：一组线性方程的集合，其中未知数的最高次数为一。
矩阵和向量的基本运算
矩阵和向量的基本运算包括加法、数乘、矩阵乘法和向量点积。
矩阵加法
将两个矩阵的对应元素相加。
数乘
将矩阵的每个元素乘以一个常数。
矩阵乘法
根据特定规则，将两个矩阵相乘得到新的矩阵。
向量点积
将两个向量对应元素相乘再相加得到一个标量。
线性方程组的解法
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆和克拉默法则。
2 特征向量
特征向量是满足方程Av=λv的非零向量v。
线性变换和线性空间
线性变换和线性空间是线性代数中的核心概念。 线性变换 线性空间
线性变换保持向量加法和数乘运算，它可以用矩 阵表示。
线性空间是一组满足一定条件的向量的集合，包 括零向量和加法逆元。
最小二乘法和线性回归
最小二乘法和线性回归是线性代数在数据拟合和回归分析中的重要应用。
线性代数总复习
线性代数是数学中非常重要且广泛应用的一个分支，它涉及矩阵、向量、线 性方程组等概念，本课程将全面回顾和总结线性代数的核心知识。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性代数为数据的表示、变换和分析提供了数学基础。
图像处理
矩阵运算和线性变换可以用来处理图像，比如旋转、缩放和滤波。
机器学习
线性代数为机器学习算法提供了数学基础，例如基于向量空间的特征表示和降维技术。
线性代数基础知识回顾
线性代数基础知识包括向量、矩阵、行列式和线性方程组等概念。 • 向量：表示大小和方向的量，可以进行加减和数乘运算。 • 矩阵：由数字排列成的矩形阵列，可以进行加法和数乘运算。 • 行列式：对方阵进行特定运算得到的一个标量值。 • 线性方程组：一组线性方程的集合，其中未知数的最高次数为一。
矩阵和向量的基本运算
矩阵和向量的基本运算包括加法、数乘、矩阵乘法和向量点积。
矩阵加法
将两个矩阵的对应元素相加。
数乘
将矩阵的每个元素乘以一个常数。
矩阵乘法
根据特定规则，将两个矩阵相乘得到新的矩阵。
向量点积
将两个向量对应元素相乘再相加得到一个标量。
线性方程组的解法
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆和克拉默法则。
2 特征向量
特征向量是满足方程Av=λv的非零向量v。
线性变换和线性空间
线性变换和线性空间是线性代数中的核心概念。 线性变换 线性空间
线性变换保持向量加法和数乘运算，它可以用矩 阵表示。
线性空间是一组满足一定条件的向量的集合，包 括零向量和加法逆元。
最小二乘法和线性回归
最小二乘法和线性回归是线性代数在数据拟合和回归分析中的重要应用。
线性代数总复习
线性代数是数学中非常重要且广泛应用的一个分支，它涉及矩阵、向量、线 性方程组等概念，本课程将全面回顾和总结线性代数的核心知识。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2. Discuss the solution of a linear system which has unknown variable
§1.1 Systems of Linear Equations
Existence and Uniqueness Questions
Two fundamental questions about a linear system 1. Is the system consistent; that is, does at least one solution exist? 2. If a solution exists, is it the only one; that is, is the solution unique?
augmented matrix
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
§1.1 Systems of Linear Equations
Theorem 1 Uniqueness of the Reduced Echelon Form
Each matrix is row equivalent to one and only one reduced echelon matrix.
§1.2 Row Reduction and Echelon Forms
The Row Reduction Algorithm
Step1 Begin with the leftmost nonzero column. Step2 Select a nonzero entry in the pivot column as a pivot. Step3 Use row replacement operations to create zeros in all positions below the pivot. Step4 Apply steps 1-3 to the submatrix that remains. Repeat the process until there are no more nonzero rows to modify. Step5 Beginning with the rightmost pivot and working upward and to the left, create zeros above each pivot.
Linear Algebra and Its Application
REVIEW FOR THE FINAL EXAM
Gao ChengYing
Sun Yat-Sen University Spring 2007
REVIEW FOR THE FINAL EXAM
Chapter 1 Linear Equations in Linear Algebra Chapter 2 Matrix Algebra Chapter 3 Determinants Chapter 4 Vector Spaces Chapter 5 Eigenvalues and Eigenvectors Chapter 6 Orthogonality and Least Squares Chapter 7 Symmetric Matrices and Quadratic Forms
consistent
§1.1 Systems of Linear Equations
Solving a Linear System
Elementary Row Operations 1. (Replacement) Replace one row by the sum of itself and a
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
§1.1 Systems of Linear Equations
Confficient matrix and augmented matrix
Coefficient matrix
§1.2 Row Reduction and Echelon Forms
The following matrices are in echelon form:
pivot position
The following matrices are in reduced echelon form:
§1.2 Row Reduction and Echelon Forms
A solution to a system of equations
A system of linear equations has either
1. No solution, or
inconsistent
｝ 2. Exactly one solution, or
3. Infinitely many solutions.
CHAPTER 1 Linear Equations in Linear Algebra
Chapter 1 Linear Equation in Linear Algebra
§ 1.1 Systems of Linear Equations § 1.2 Row Reduction and Echelon Forms § 1.3 Vector Equation § 1.4 The Matrix Equation Ax = b § 1.5 Solution Sets of Linear Systems § 1.7 Linear Independence § 1.8 Introduction to Linear Transformation § 1.9 The Matrix of a Linear Transformation
1.1 Systems of Linear Equations
1. linear equation a1x1 + a2x2+ . . . + anxn = b
Systems of Linear Equations
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
multiple of another row. 2. (Interchange) Interchange two rows. 3. (Scaling) Multiply all entries in a row by a nonzero constant.
Examples
1. Solving a Linear System
§1.1 Systems of Linear Equations
Existence and Uniqueness Questions
Two fundamental questions about a linear system 1. Is the system consistent; that is, does at least one solution exist? 2. If a solution exists, is it the only one; that is, is the solution unique?
augmented matrix
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
§1.1 Systems of Linear Equations
Theorem 1 Uniqueness of the Reduced Echelon Form
Each matrix is row equivalent to one and only one reduced echelon matrix.
§1.2 Row Reduction and Echelon Forms
The Row Reduction Algorithm
Step1 Begin with the leftmost nonzero column. Step2 Select a nonzero entry in the pivot column as a pivot. Step3 Use row replacement operations to create zeros in all positions below the pivot. Step4 Apply steps 1-3 to the submatrix that remains. Repeat the process until there are no more nonzero rows to modify. Step5 Beginning with the rightmost pivot and working upward and to the left, create zeros above each pivot.
Linear Algebra and Its Application
REVIEW FOR THE FINAL EXAM
Gao ChengYing
Sun Yat-Sen University Spring 2007
REVIEW FOR THE FINAL EXAM
Chapter 1 Linear Equations in Linear Algebra Chapter 2 Matrix Algebra Chapter 3 Determinants Chapter 4 Vector Spaces Chapter 5 Eigenvalues and Eigenvectors Chapter 6 Orthogonality and Least Squares Chapter 7 Symmetric Matrices and Quadratic Forms
consistent
§1.1 Systems of Linear Equations
Solving a Linear System
Elementary Row Operations 1. (Replacement) Replace one row by the sum of itself and a
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
§1.1 Systems of Linear Equations
Confficient matrix and augmented matrix
Coefficient matrix
§1.2 Row Reduction and Echelon Forms
The following matrices are in echelon form:
pivot position
The following matrices are in reduced echelon form:
§1.2 Row Reduction and Echelon Forms
A solution to a system of equations
A system of linear equations has either
1. No solution, or
inconsistent
｝ 2. Exactly one solution, or
3. Infinitely many solutions.
CHAPTER 1 Linear Equations in Linear Algebra
Chapter 1 Linear Equation in Linear Algebra
§ 1.1 Systems of Linear Equations § 1.2 Row Reduction and Echelon Forms § 1.3 Vector Equation § 1.4 The Matrix Equation Ax = b § 1.5 Solution Sets of Linear Systems § 1.7 Linear Independence § 1.8 Introduction to Linear Transformation § 1.9 The Matrix of a Linear Transformation
1.1 Systems of Linear Equations
1. linear equation a1x1 + a2x2+ . . . + anxn = b
Systems of Linear Equations
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
multiple of another row. 2. (Interchange) Interchange two rows. 3. (Scaling) Multiply all entries in a row by a nonzero constant.
Examples
1. Solving a Linear System