2.3数学归纳法23

命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:通项公式为a n = a1 +(n -1)d 证明：
1）当n = 1式，a1 = a1 +(1-1)d = a1 ,结论成立
2)假设n = k式结论成立，即a k = a1 +(k -1)d
那么
∴
k+1 k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
作业:
第二课时
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证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情 况则有待利用假设及已知的定义、公式、定 理等加以证明

请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)

= （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
1 +2 +3 +
2 2 2 2
n(n +1)(2n +1) +n = 6
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
3a b 1
a 1
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即:
的表达式,并用数学归纳法进行证明.
例:是否存在常数a、b,使得等式:
12 22 n2 an2 + n + +…+ = 13 35 (2n -1)(2n +1) bn + 2
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
解:令n=1,2,并整理得{10a 3b 2 ,{b 4 .
以下用数学归纳法证明:
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
2.3《数学归纳法》
教学目标
• 了解数学归纳法的原理，能用数 学归纳法证明一些简单的数学命 题。 • 教学重点： • 了解数学归纳法的原理
第一课时
一、归纳法 对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
一般 an=a1+(n-1)d
n-1
例、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N ）.

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
12 22 k2 k2 + k + +…+ = . 13 35 (2k -1)(2k +1) 4k + 2
完全归纳法
特点: 由特殊 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
……
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
(n∈N*)
二、数学归纳法的概念
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n0时命 题成立 若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
k 1 1 1
所以n=k+1时结论也成立 综合1）、2）知a n = a1 +(n -1)d成立.
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q （提示：a n = qa n-1）
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
例:已知数列
1 1 1 1 , , , , , 1×4 4×7 7×10 (3n - 2)(3n +1)
计算 S1 ,S2 ,S3 ,S4 ,根据计算的结果,猜想 Sn
1 1 解：当n = 1时，s1 = = 1×4 4 1 2 当n = 1时，s2 = s1 + = 4×7 7 1 3 当n = 1时，s3 = s2 + = 7×10 10 1 4 当 时，s 4 = s3 + = 10×13 13 n 猜想：s n = 3n +1