极限状态设计法简介

极限状态设计法简介
顾迪民
一, 定义
①极限状态设计法
以相应于结构和构件各种功能要求的极限状态，如承载能力的极限状态和正常使用的极限状态等为依据的设计方法。

结构和构件应满足这些极限状态的限制。

② 许用应力设计法
在规定的使用载荷（标准值）作用下，按线性弹性理论算得的结构或构件中的应力（计算应力）应不大于规范规定的材料许用应力。

材料的许用应力由材料的平均极限抗力（屈服点、临界应力和疲劳强度）除以安全系数而得，安全系数可由经验确定。

③ 概率设计法
以概率理论为基础确定的结构或构件的失效概率)P (f 或可靠概率)1P P )(P (f s s =+来定量地度量结构或构件的可靠性。

用此法设计的各类结构或构件具有大体相同的可靠度。

④ 概率极限状态设计法
在概率设计法基础上，进一步建立结构可靠性指标与极限状态方程之间的数学关系。

在设计表达式中采用载荷分项系数，这些分项系数也是根据各载荷变量的统计特征在概率分析的基础上经优选确定的。

载荷分项系数的确定有三种水平:其一为部分系数由概率分析确定,部分系数用经验确定,也称半概率极限状态设计法;其二为所有系数均由概率分析确定,但其概率分布曲线一列用正态分布曲线代替,故称近似概率极限状态设计法;其三为全概率极限状态设计法,是发展趋向.
二, 近似概率极限状态设计法
1, 极限状态
承载能力极限状态------静强度,动力强度和稳定等计算.
正常使用极限状态------静,动变形(刚性)和耐久性(疲劳)的计算.
2, 结构可靠度
包括结构安全性,适用性和耐久性.其定义为:在规定时间(寿命)内,规定条件下,完成预定功能的概率. 3, 极限状态方程
0),,(321=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n X X X X g Z
式中Xi 是影响结构可靠度的变量。

在结构设计中可归纳为二个基本变量R （抗力）和S （载荷效应—内力）。

0),(=-==S R S R g Z
R = S ，极限状态；R < S , 失效；R > S ，有效（可靠）。

失效率f P 加可靠率s P 为1。

即：s f P P -=1
若变量S 和R 的分布规律为正态分布，其平均值为：R S μμ和 ，其标准差为：
R S σσ和。

则状态函数S R Z -=也必为正态分布。

其平均值为：S R Z μμμ-=，其标准差为：
2
2S
R Z σσσ+=。

状态函数Z 的概率分布曲线方程：2
2
2)(21
)(σμπ
σ--=Z e Z f （正态分布）。

设Z
Z
σμβ=
，则其几何意义为图示的距离。

若β大，即Z μ离O 点远，失效率)(βφ-=f P 低，可靠率)(1βφ--=S P 高。

)(∙φ为标准正态分布函数)0,1(==μσ，有表可查。

β 2 3 3.5 4 4.5 5 f P ~10-2 ~10-3 ~10-4 ~10-5 ~10-6 ~10-7 今用β作为可靠度指标，则 ：
22S
R S R
Z Z
σσμμσμβ+-==
若基本变量非正态分布，则要转化为正态分布，其条件为失效率相等（见图）。

4，可靠度指标β
极限状态方程0=-S R 在坐标ROS 中为一45度直线0P ，今转换到坐标∧
∧∧S R 0中，见图所示。

其关系为：R
R
S
S
R R S S σμσμ-=
-=
∧
∧
, 。

今从∧
0点作一垂直线于0P ，交点*
P ，
其在∧
∧∧S R 0中的坐标为∧*
∧
*S R ,，在R0S 中的坐标为*
*S R ,。

今将直线方程0=-S R 改写成：
0=--+∧
∧
S S R R S R μσμσ，再除以（2
2S R σσ+-）得： 0222222=+--
+++∧
∧
S
R
S R S
R R S
R
S R
S
σ
σμμσ
σσσ
σσ
又从图中可得：*
∧
∧*
∧
*
=⋅+⋅P Cos R Cos S R S 0θθ。

将此式与上式对比，则得下列各式：
βσ
σμμσ
σσθσ
σσθ=+-=
+-
=+=
*∧
2222220,
,
S
R
S R S R
R R S
R S S P Cos Cos 。

又知：R S Cos R Cos S S R θβθβ⋅=⋅==-∧*
∧*
*
*
,,
0，今将其坐标转换一下，得：
R R R S S S Cos R Cos S σθβμσθβμ⋅⋅+=⋅⋅+=**, 。

若极限状态方程中变量有多个，0),,(=--==L G R L G R g Z ，式中G 为自重载荷，L 为其它载荷，则可写得：
222
L
G
R
L G R σ
σσμμμβ++--=
L L L G G G R R R Cos L Cos G Cos R σθβμσθβμσθβμ⋅⋅+=⋅⋅+=⋅⋅+=***,,
2
222
22222,,L
G R L
L L
G R G
G L
G R R
R Cos Cos Cos σσσσθσσσσθσσσσθ++-=
++-=
++-=5，概率极限状态设计法步骤
a) 由统计方法求得各参数（变量）的正态分布函数的σμ和； b) 由上述公式求得：L G R Cos Cos Cos θθθβ,,,；
c) 看看得到的***
L G R ,,
是否满足等于或大于零的要求；
d) 不行，再调整。

因β有一定的要求，故要反复迭代试算。

6，结构，构件的抗力R
实际抗力K K R K P A M R R k R k k k R ,⋅=⋅⋅⋅=为按《规范》算得的抗力。

a) 材性的平均差异系数)(kM M k μ=
试件试验值
构件实际性能
标准值试件试验平均值=
=
⋅=00,
,k f k k k k Y
f f f M Y
μ
设一组钢试件作性能试验，得i 个屈服点Yi f ，每个屈服点出现i n 次。

则其平均值，即试件试验值的平均值
∑∑=
i
Yi
i f
n
f n Y
μ （假定为255 MPa ）；
其标准差
1
)(2
--=
∑n f
n Y Y
f Yi
i
f μσ （为3.7 MPa ）
则 )085.1235
255
(==
=
Y
f
f f k Y
μ，变异系数)0145.02557.3(==
=Y Y Y f f f μσν。

而 0k 由于构件的实际性能比试验值低10 ~ 20 MPa, 今取15 MPa, 则 941.0255
15
2550=-=
k ，0≈ν。

故
02.1941.0085.10=⨯=⋅=k k k f M ，0145.0==Y f kM νν 。

b) 构件几何参数的差异系数)(kA A k μ= 标准尺寸
实际尺寸
=
A k ，随板材h, b, t 误差而异。

国外资料取1，即05.0,0.1==kA A k ν。

c) 构件实际抗力的平均差异系数)(kP P k μ= P k P
P 按规范公式计算值
平均值实际抗力的试验值μ)(=
, 随计算公式而异。

如：轴压构件的临界
力，公式计算值Y cr P P ⋅=ϕ（=48 kN ）,试验值,
cri P ，对应于n i ⋅⋅⋅=,2,1次数。

则，
n
P
n
cri
P ∑=
1
,
μ (=45.5 kN ），标准差1
)(2
,
--=
∑n P
P cri P μσ（=3.1 kN ）,P
P
P μσν=
(=0.068)。

则：)948.048
5
.45(==
=
cr
P
P P k μ。

此时，)967.0948.0102.1(=⨯⨯=⋅⋅=P A M R k k k k 。

变异系数2
22P
A M R νννν++=（=)086.0068.005.00145.0222=++。

7，自重载荷G 和其它载荷L i 的统计值与标准值
起重机按机种，大小，类型分门别类对现有机械进行统计。

例如：某种类型的起重
机的自重载荷，设计计算值为G i ,对应的实测值为
G i ’, i = 1~n。

令i
i Gi
G G k '
=，而其平均值
G Gi
kGi k n
k
==
∑μ（=1.06），则其自重载荷)06.1(K K kGi G G G =⋅=μ,K G 为其设计计算值。

而其标准差1
)(2
--=
∑n k Gi kGi
kGi μ
σ（=0.072）,则)072.0(K K kGi G G G =⋅=σσ，其变异
系数kGi
kGi
kGi μσν=
（=0.072/1.06=0.0679）。

又如风载荷，经统计，认为其概率分布为极值I 型（不是正态分布），K K W W W W k 1.1=⋅=μ，K W 为风载标准值。

总之，可得到下列各式：
统计平均值 标准值 标准差 R R R K
R
R R
R
K K R R R k k R R k μνσμμμ⋅==
=
⋅=,
,
,
；
G G G K
G
G G
G
K K G G G k k G G k μνσμμμ⋅==
=
⋅=,
,
,；
Li Li Li iK
Li
Li Li
Li
iK K i Li Li L k k L L k μνσμμμ⋅==
=
⋅=,
,
,。

8，算例1
钢拉杆，Q235，已知R 和S 服从正态分布。

kN kN S S 9.16,
241==σμ。

086.0,
/2352==
=R
R
R Y mm N f μσν。

若要求)10~(0.33-==f P 即β，求拉杆面积？ 解：
0.39.16)086.0()
241()(2222=+-=+-=R R S R S R μμσσμμβ，得
),,2412.173(343为正值因不取另一解为βμμkN kN kN S R =<=。

此值是在可靠度指
标为3.0时需要的抗力，它应等于或小于构件的实际抗力：A f k R k Y R K R R ⋅⋅=⋅≤μ。

故该拉杆面积为：22315143123502.110343cm mm f k A Y R R
取=⨯⨯=⋅=μ。

若取13cm 2
则kN R 312=μ。

代回公式得可靠度指标24.2=β，若取12cm 2则kN R 6.287=μ，
55.1=β。

9，算例2
假设R ，G ，L 均服从正态分布，36.36,4.519==G G kN σμ；kN L 686=μ，
17.0,199==R L kN νσ；要求0.3=β时的拉杆截面A 。

解：222)(L G R L G R σσσμμμβ++++=，又知0.3,17.0==⋅=βμμνσR R R R ，则可
得：kN kN R R 8.4787.281617.0;7.2816=⨯==σμ而。

则kN L G R 7.5192
22=++σσσ；
又知：383.07
.519199
;06996.07.51936.36;923.07.5198.478====-=-=
L G R Cos Cos Cos θθθ。

则：kN Cos R R R R 2.1449923.08.47837.2816=⨯⨯-=+=*
θβσμ ；
kN Cos G G G G 3.52706996.036.3634.519=⋅⨯+=+=*θβσμ；
kN Cos L L L L 922383.01993686=⨯⨯+=+=*θβσμ。

验算：0=--*
*
*
L G R ；1449.2 - 527.3 – 922 = - 0,1 ≌ 0 ；满足要求。

又知：
A f k R k Y R K R R ⋅⋅=⋅=μ ；则：223
11811750235
02.1107.2816cm mm f k A Y R R
==⨯⨯=⋅=μ。

三，分项系数极限状态设计法的表达式
上述方法很不习惯，改造一下。

极限状态方程0=--=*
*
*
L G R Z 设：
K L K G R K L L G G R R ⋅=⋅==***γγγ,, ，代入上式得：
R K K L K G R L G γγγ/=⋅+⋅⋅。

在此要定出标准载荷值K K L G 和，标准抗力K R 。

上例中： 自重载荷：076.1490
3
.527,49006.14.519======*K G G G
K G G kN k G γμ；
（注：kGi G k μ=） 某一载荷：kN k L L L L L
K 8871991686=⨯+=+==ασμμ ，04.1887
922===*K L L L γ。

标准抗力：K R =
9.12
.14494
.2761,4.276102
.17
.2816===
==
*R R kN k K R R
R
γμ。

若用这些分项系数来计算，则与算例2的结果是相等的，即其可靠度指标是一样的。

为能在设计中实用，必须确定一系列的分项系数R Li G γγγ,,。

其方法是：给定标准值
Ki K L G ,；选多组分项系数R Li G γγγ,,；试算得出的β值与原规定的β值比，最接近的这一
组分项系数为可取。

β一般取
3.0。

其步骤为：a) 从公式
R K K K L K G K L L G R γγγγ)(2211⋅+⋅+⋅=，求得K R ；b) 按算例中的方法（概率统计法）算
的R
R
k R μ=
*
；c) 若*=R R K ，则该组分项系数取合适了；若*
>R R K ，则该组分项系数取
保守了；若*
<R R K ，则该组分项系数取不合适了，达不到原规定的可靠度（β）；d) 一组一组的试算，使min )(2
→-=∆*R R R K 。

同时，其系数已系列化，ISO 规定为
12......3,2,1,05.1==νγν。

另外，照顾到设计者习惯用应力计算，验算公式以应力表达。

m
R
i Pi n S P γσσγγ≤
→→⋅∑；式中：n γ为危险性系数1≥，一般取1；Pi γ为载荷分项系数；P i 为各项载荷；S 为内力；σ为计算应力；R σ为该构件材料的极限强度（屈服点，临界应力，疲劳极限）；m γ为材料的抗力系数。

对正常使用极限状态（静，动刚性），可靠度指标β取1~2；计算时所有的载荷分项 数取1。

参考文献： 胡德圻 马坤贞编写 《建筑结构的概率极限状态设计方法》
曹彬主编 《概率论》。