21.2.2公式法(1)教学设计(教师)

课题：21.2.2 公式法（第1课时）教材：人民教育出版社义务教育教科书《数学》九年级上册（2013年版）．教学目标

1.了解公式法的概念．

2.理解一元二次方程求根公式的推导过程．

3.熟练应用公式法解一元二次方程．

教学重点、难点

重点：公式的推导和公式法的应用．

难点：用配方法推导一元二次方程的求根公式．

教学过程

一、创设情境，引入新课

问题1用配方法解下列方程4x2-4x-7=0

问题2回忆用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）移项，把常数项移到等号右边；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

【设计意图】复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法作好铺垫．二、自主推导，得出公式

问题3如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤，求出它们的两根，请同学独立完成下面问题．

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

解：移项，得：ax2+bx=-c

二次项系数化为1，得x2+b

a

x=-

c

a

配方，得：x2+b

a

x+（

2

b

a

）2=-

c

a

+（

2

b

a

）2

即（x +2b a

）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0

∴2244b ac a

-≥0 直接开平方，得：x +2b a =±2a

即x =2b a

-±

∴x 1x 2 问题4 归纳：

（1）这里把x =

（b 2-4ac 0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0

（a ≠0）的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做 ． （2）一般地，式子 叫做方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac ．

当△>0时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有 ；

当△=0时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有 ；

当△<0时，方程)0(02≠=++a c bx ax ．

由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，

将a ，b ，c 代入式子x =2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根．

追问：你能用公式法求出引例中的一元二次方程4x 2-4x -7=0的解吗？

【设计意图】求根公式的推导为本节课的重点，也是难点，这里通过学生自主运用配方法推导出求根公式，使学生理解根的判别式和求根公式的来源，帮助学生很好掌握求根公式。

三、 尝试应用，积累经验

问题5 用公式法解下列方程：

（1）x2-4x-7=0 （2）2x2-2

2x+1=0

（3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x

问题6 归纳用公式法解一元二次方程的步骤：

（1）变形，把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；

（2）确定系数a，b，c的值；

（3）算出24

b ac

-的值，并判断方程根的情况：

当240

b ac

->时，方程有两个不相等的实数根；

当240

b ac

-=时，方程有两个相等的实数根；

当240

b ac

-<时，方程没有实数根．

（4）当240

b ac

-≥时，将a，b，c和24

b ac

-的值代入公式

24

b b ac

x

-±-

=（注

意符号）．

【设计意图】学生自己总结求根公式运用的步骤，清楚每一步的意义。在运用中进一步熟练掌握求根公式。

四、编题互判，巩固新知

问题7 编题互判：

首先，根据根的判别式，独立编制出三条不同根的情况的一元二次方程；

然后，将所编制方程让同桌判断根的情况，并用公式法求解．

（1）（2）（3）

【设计意图】开放式的问题，有利于学生多角度的思考并解决问题，培养学生思维的发散性和灵活性．

五、归纳小结，反思提升

本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些思想方法？积累了哪些学习经验？

设计意图：通过小结，梳理本节课所学知识，体会数学思想方法．

六、自主检测，内化新知

自主检测

1．用公式法解下列方程：

（1）x 2+x -6=0 （2）x 2-3x -

41=0 （3）3x 2-6x -2=0

（4）4x 2-6=0 （5）x 2+4x +8=4x +11 (6) x （2x -4）=5-8x

2．一个矩形的长比宽多1cm ，面积为30cm 2，矩形的长和宽各是多少？

布置作业

教科书第17页习题21.2第4，5题．

板书设计

21.2.2公式法（第1课时）

4x 2-4x -7=0 配方法 ax 2+bx +c =0(a ≠0)

求根公式24b b ac x -±-240b ac -≥ 1． 化一般式

2． 确定系数

3． 算判别式

4． 代入公式