静电场的散度与旋度

静电场的散度与旋度

赫母霍兹定理指出,任意矢量场由他的散度,旋度和边界条件

唯一的确定,要确定静电场,需要讨论它的散度与旋度.

⑴静电场的散度与高斯定理

)(4)1()1()(41

)(:)1()(41)()(,)1(,,,)(41)(2

200330r r R V d R r r E V d R

r r E r E R

R R r R r r R V d r R

R r E V V v --=∇∴'∇-=∙∇'∇-=-=∇-=-='=⎰⎰⎰πδρπερπερπε两遍取散度写成可将由前面所学可知式中

V d r r r V ''-'=∙∇⎰)()(10δρε

0,ερ=∙∇∴E V 内区域我们已假设电荷分布在

这是高斯定理的微分形式，它表明空间任意一点电场强度的散度

与该处的电荷密度有关，静电荷使静电场的通量源，电荷密度为

正，称为发散源；电荷密度为负，汇聚源。

对上式两边求积分

⎰⎰=∙∇V V dV dV 0ερ

⎰⎰⎰⎰=∴=∙∇v S S

V dV d d dV ρε01由于

之比。所包围的总电荷与的通量等于该闭合曲面曲面矢量穿过闭合形式。它表明电场强度上式为高斯定理的积分0εS 静电场的旋度⑵

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡''-∇=∴-'∇'∇'-=⎰⎰V V V d R r r V d R r )(41)(41)(,)1()(41)(0

0ρπεπερρπε无关及与考虑

故

梯度再求旋度时恒等于而任何一个标量函数的函数

上式括号时一连续标量对上式取旋度

,0))(41

()(E 0⎰''∇⨯-∇=⨯∇V V d R r r ρπε因此静电场是无旋场0

=⨯∇E

0,,0=∙∙=⨯∇=⋅⨯∇⎰⎰⎰⎰ d E d E S d E S d E C

C S S 利用斯托克斯定理

电场力不做功。

动一周合路径移电荷沿静电场中任一闭其物理含义是将单位正的积分恒等于沿任意闭合路径在静电场中上式表明,,0,,C