7第七章 微分方程答案

ln(1 p 2 ) ln y C1
由初始条件解得 C1 1 ,从而上式化简为
x 1 时， y
4x 3y x y
1
du (u 2) 2 解 另 y ux ，则有 u dx u 1
3
分离变量两端积分得 ln Cx (u 2) 原方程的通解为 ln C ( y 2 x) (4) y ' ( x y 1)
1 u2
，B 3
(6)
2．写出下列问题所确定的微分方程 (1) 已知曲线 y f ( x) 过点 (1,1) ，其上任意一点 ( x, y ) 处的切线的斜率为
v ds 0.4t C1 dt
再积分一次 得
(7)
x 2 ln x ，求 f ( x) 满足的微分方程.
y ' x ln x (2000 题 531) y (1) 1
（2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到 坐标原点的距离的 2 倍，求此曲线满足的微分方程.
s02t2 C 1 t C 2
这里C 1 C 2 都是任意常数 把条件 t0，v20 代入(7)得
(8)
20C 1
把条件 t0，s0 代入(8)得
0C 2
2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1) tan ydx sin xdy 0
解 分离变量得
cos ydy dx sin y sin x ln | sin y | ln | tan
.
1 ． x
【详解】由
dy y dy dx ．两边积分，得 ln | y | ln | x | C ． ，得 dx x y x
【分析】 直接套用一阶线性微分方程 y P( x) y Q( x) 的通
第四节 一阶线性方程
1. 选择题 (1) 下列为一阶线性方程的是（ A． y ' yx e
x y
解公式：
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q ( x )e dx C ] ，
7 2
由一阶线性微分方程通解公式，
xe
1 dy y

[ ye
y dy
1
C y ( y C )]
因此，方程的通解为 x y ( y C ) (3) 2 xdy ydx 2 ln ydy
y '
2 y ( x 1) x 1
5 2
5 2
解 上方程变形为
x y
du 3(u 2 u 1) 令 y ux ，则有 x dx 2u 1
齐 次 方 程
分离变量解之得 u u 1 Cx
2 2 2 3
3
原方程的通解为 y x yx x C (3) y '
y 2 (2) 已 知 函 数 y ( x) 满 足 微 分 方 程 xy ' y ln , 且 在 x 1 时 , y e , 则 x
第七章 微 分 方 程 答案
第一节 微分方程的基本概念 1.填空题 (1) 微分方程 x y ' ' '( y ' ) y 0 的阶是
2 4 2 x
列车获得加速度04m/s 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列
2
车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制 动阶段列车运动规律的函数 ss(t)应满足关系式
2 2 2
分离变量可得
ey dx 2 ax y ay ln | y | ln(a x) ln C ，即有 ay 1
两边积分求得的通解为
Fra Baidu bibliotek
y y ( )2 2 3 x 解 方程可化为 y ' x y 1 2 x
y C ( a x) . ay 1
第三节
1.填空题 (1) 微分方程 ( x y ) dy ydx 0 的通解是 y Ce
1 ． x
x | C ' 2 x C' 故原方程的通解为 sin y C tan (C e ) 2
两边积分得 (2) (e
x y
e x )dx (e x y e y )dy 0
x y
代入条件 y (1) 1 ，得 C 0 ．所以 y
（2）微分方程 y ' e
y C1 y1 C2 y2 (其中 C1 , C2 为任意常数)
(A)是该方程的通解； (C)是该方程的特解 (B)
解
令
y ' p, 故
y' ' p
dp ，代入原方程化为 dy
2 pdp dy . y 1 p2
两边积分得
(B)是该方程的解 (D)不一定是该方程的解
(2)．设 y1 , y2 是方程 y ay by f ( x) (*)的两个特解,则下列结论正确 的是 (D) (B) y1 y 2 是方程 y ay by 0 的解 (D) y1 y 2 是方程 y ay by 0 的解
x2 y
解 两边除以 e
，并分离变量得
的通解为 2e e
x
2 y
C
(3) 微分方程 y
y (1 x) x 的通解是 y Cxe ( x 0). x
e y dy e x dx e y 1 ex 1
两边分别积分得方程的通解为 (e 1)(e 1) C
x y
【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为
(3) x ydx (1 y x y x ) dy
2 2 2 2 2
dy 1 1 dx ， y x
分离变量得
2
1 y2 x2 dy dx 1 x2 y2
两边分别积分得微分方程的通解为
两边积分得
t 20 50 (s) 0.4
再把 t50 代入(10) 得到列车在制动阶段行驶的路程
ln y ln x x C1 ，整理得 y Cxe x .（ C eC1 ）
s025022050500(m)
第二节 可分离变量方程 1. 填空题 （1）微分方程 xy y 0 满足条件 y (1) 1 的解是 y 【答案】 应填 y
(2) xy ' ' y ' 4 x 解 令 y ' p ，则原方程化为
初始条件 y '
x 0

分离变量得
dp 1 p4 dx x
由一阶线性方程的通解公式，得
dP dy 0, P y
ln P ln y C ', 即 P
积分得
C1 ( P 0 对应 C1 0 ); y
C ）
2
B. y ' y x y
C． xy ' e y x
y y D. y ' x x
2
再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 2 y y ln x ， x 于是通解为
ye

x dx
2
(2)*下列为伯努利方程的是( B)
[ ln x e
pe
从而有

x dx
1
( 4e
x dx
1
dx C1 )
C1 2x . x
1 1 由 x 0 时 y 1, P y ' , 得 C1 . 于是 2 2 y' P
又由 y
y'
C1 2x x
x 0
1 , 2 ydy dx, 积分得 y 2 x C2 . 2y
2
2 ( x 1) [ ( x 1) 2 C ] 3
2
因此方程的通解为 x ln y
即方程的通解为 ( x 1) [ ( x 1) 2 C ]
2
2 3
3
第五节
可降阶的高阶微分方程
( 4)
1. 填空题 (1) 微分方程 y
''
(2)
dy y dx x y 2 dx x y dy y
2.求解下列微分方程 (1) y '
y y tan x x
y2 x arctan x ln y C 2
(4) y xy ' a ( y y ' )
2
du dx tan u x 两边积分得 sin u Cx y 原方程的通解为 sin Cx x
解 令 y ux ，则有 (2) (3 x 2 xy y )dx ( x 2 xy ) dy 0
sin x 的通 y sin x C1 x 3 C 2 x 2 C 3 x C 4
(2) y sin y 经 过 变 换
y' p , 可 化 为 一 阶 微 分 方 程
解 原方程可改写为
dp sin y dy p
5
二、求解下列微分方程的通解 (1) y ' ' 2 x ln x 解 对原方程两端连续两次积分得 3、求下列微分方程 (1) 【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.
y ' 2 x ln xdx x 2 ln x y C1 x
3 3
x C1 2
2
令 y ' P ( y ) (以 y 为自变量),则 y ''
dy ' dP dP P . dx dx dy
5x x ln x C2 18 3
代入方程得 yP
dP dP P2 0 ,即 y P 0 (或 P 0 , 但其不满足 dy dy 1 ). 2
x dx
2
dx C ]
1 [ x 2 ln xdx C ] 2 x
4
1 1 1 = x ln x x C 2 ， 9 3 x 1 1 1 由 y (1) 得 C=0，故所求解为 y x ln x x. 9 3 9
3.求解下列微分方程 (1) ( x 1) y '2 y ( x 1) 解 方程改写为
y' x 2 x y y
2 2
(2000 题 531)
把C 1 C 2 的值代入(7)及(8)式得
v04t 20 s02t220t
(9) (10)
(3) 列车在水平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时
1
在(9)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
A．
dy ( x y) 3 dx dy x2 y x3 y5 dx
B.
dx x yx 2 dy y dy x2 y 2 x3 y3 dx sin x 1 x2 1 1 的解为 9
x 0 y 2x
C. y
D.
2
2. 填空题 (1) ( x 1) y '2 xy cos x 0 满足 y (0) 1 的特解为 y
两端积分得到原微分方程的通解为 y C1 ln | x | x C 2
2
1 得 C2 1, 所求特解为 y x 1.
6
(2) 2 yy ' ' 1 y ' , y
2
x 0
1, y '
x 0
0.
y P( x) y Q( x) y 0 的两个特解,则
3
x
(2) 若 y ( Ax B )e 是微分方程 y ' '2 y ' xe 的一个特解，则
d 2 s 0.4 dt 2 此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s0 v ds 20 dt
把(5)式两端积分一次 得
(5)
A 1
2 ln y dx 2 x dy y y
由一阶线性微分方程通解公式，得
由一阶线性微分方程通解公式，得
ye
2 dx x 1

[ ( x 1) e
3

2 dx x 1
dx C ]
xe

y dy
2
2 ln y y dy 1 ( e dy C ) ln y Cy 2 y 2 1 Cy 2 2
2
du 解 另 u x y ，则方程化为 u (u 2) dx u 分离变量两端积分得 Ce 2 x u2
故原方程的通解为
(2)
微 分 方 程 xy 2 y x ln x 满 足 y (1)
x y Ce 2 x x y2
y
1 1 x ln x x. . 3 9