初高中数学衔接之解方程和方程组精讲

第一课时 解方程和方程组

一、方程和方程组的解法 1、知识网络：

2．解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式： （2）分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式；

（3）公式法 一元二次方程ax 2

＋bx ＋c=0(a≠0)，当b 2

－4ac≥0时的根为a

ac

b b x 242-±-=，该式

称为一元二次方程的求根公式。 二．例题讲解 例1：解方程 (1)0342

=--x x (2)x x 7322

=+ (3)x x x 22)1)(1(=-+,

解：（1)移项得342

=-x x 配方得x 2

－4x ＋(－2)2

=7

解这个方程得x －2=±，即；

(2)移项得2x 2

－7x=－3 ，把方程两边都除以2得

配方得． 即

解这个方程得 3,2

1

21==

x x 法二：（用分解因式法）0)3)(12(=--x x 得方程得 3,21

21==

x x 。

(3)原方程可化为

∴

∴；∴．

例2 若关于x 方程01222

=++bx x 有一根为3=x ，求b 的值。

例3 关于x 的方程：022

=++m x x ，

（1）当x 取何值时，方程有两个不相等的实根？ （2）当x 取何值时，方程的有两个正数根？

（3）当x 邓何值时，方程有一根小于1，另一根大于3？

例题1：当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(2

2=+++-x m x m 有实根。 解：当42

-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当42

-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：

△＝[]208)4(4)1(22

2

+=--+m m m ≥0，解得m ≥2

5-

∴当m ≥25-

且2±≠m 时，方程有实根。 综上所述：当m ≥2

5

-时，方程有实根。 例题2：1x 、2x 是方程05322

=--x x 的两个根，

不解方程，求下列代数式的值： （1）())1(121++x x

（2）2

221x x + （3）21x x -

解：（1）())1(121++x x =012

3

251)(2121=++-

=+++x x x x （2）2

22

1x x +＝212

212)(x x x x -+＝417

（3）21x x -＝212214)(x x x x -+＝2

13 例题2：已知关于x 的方程05)2(22

2

=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

解：依题意有：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(4165)2(222212

221

2

2121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ， 又由④可知m ≥4

9

-

∴15-=m 舍去，故1-=m 例题4：已知21,x x 是关于x 的一元二次方程0)1(442

2

=+-+m x m x 的两个非零实数根，问21,x x 能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 解：∵关于x 的一元二次方程0)1(442

2

=+-+m x m x 有两个非零实数根，

则有[],2

1,0163244)1(422

≤

∴≥+-=⨯--=∆m m m m 又21,x x 是关于x

的一元二次方程0)1(442

2

=+-+m x m x 的两个实数根，

2

21214

1),1(m x x m x x =

--=+∴。假设21,x x 同号，则有两种可能： ①若⎩⎨⎧>>+>>00,0,021212x x x x x x 则有 即⎪⎩⎪

⎨⎧>>--04

10

)1(2m m ,01≠<∴m m 且

此时m 的取值范围是02

1

≠≤

m m 且。 ②若⎩⎨⎧><+<<00,0,021212x x x x x x 则有 即⎪⎩⎪

⎨⎧><--0410

)1(2m m ,1>∴m

而2

1

≤

m 时方程才有实数根，∴此种情况不可能。 综上所述，当02

1

≠≤m m 且时，方程的两实根同号。

例题5：已知1x 、2x 是一元二次方程01442

=++-k kx kx 的两个实数根。（1）是否存在实数k ，使

2

3

)2)(2(2121-

=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。（2）求使21221-+x x x x 的

值为整数的实数k 的整数值。

解：（1）由k ≠0和△≥0⇒k ＜0 ∵121=+x x ，k

k x x 41

21+=

∴212

2121219)(2)2)(2(x x x x x x x x -+=--2349-=+-=k k ∴5

9=k ，而k ＜0 ∴不存在。

（2）21221-+x x x x ＝4)(2

1221-+x x x x ＝14+-k ，要使14

+-k 的值为整数，而k 为整数，1+k 只能取±1、±2、±4，又k ＜0 ∴存在整数k 的值为－2、－3、－5

例1：解关于x 的方程

（1）

323662)1(x

b x x x a ++=+-+；

（2）141212-=+--x x x x （3）71

)3(63)1(2=-+++-x x x x 解：（1）去分母得：3(a+1)x-(x+6)=3(3x+b)+2x 去括号得：3ax+3x-x-6=9x+3b+2x 移项、合并同类项得：(3a-9)x=3b+6，即(a-3)x=b+2 ∵a ≠3，∴a-3≠0，∴3

2

-+=

a b x 。 （2）解：原方程变形为

)

1)(1(4121-+=+--x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，整理得022=--x x ，解这个方程得1,221-==x x 。 经检验，2=x 是原方程的根，1-=x 是原方程的增根。∴原方程的根是2=x 。 （3）设

y x x =+-3

1

，那么

y x x 123=-+，原方程变形为762=+y y ， 整理得06722

=+-y y ，解这个方程得2

3

1=y ，22=y 。 当2

3

=

y 时，即2331=+-x x ，去分母得2293-=+x x ，解得11-=x 。

当2=y 时，即23

1

=+-x x ，去分母得162-=+x x ，解得7-=x 。

检验：把11-=x ，7-=x 分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根。