向量范数的积分不等式与应用

１ 引
言
常微分 方程 理论 不仅 广泛应 用 于工业 ， 农业， 生 物 工程 ， 航空航天 ， 系统 工 程 等 领域 ， 而且 是 系 统 理 论研究 的重 要工 具． 在 涉及 向量 长度 时 ， 文献［ １ —２ ］ 中采 用 的是 ２ 一 范数 ． 当前 ， 几 乎 所 有 的常 微 分 方 程
２ 一 范 数： 一（ Ｘ ｌ Ｓ Ｌ Ｅ ２ ＇ ￣ ＂ ＇ ＇ Ｘ ｎ ） ∈ ，
引理 １ Ｅ
Ｉ 。 一（
Ｉ ｚ ） ．
复数值 函数 训（ ￡ ）一 “ （ ￡ ） ＋ｉ ｖ （ ｔ ） 在［ 口 ， ６ ］上可 积 ， 则 成立
∽ ｄ ｌ ≤ 川 ．
≤
化简， 得
ｚ １ （ ￡ ） ＋ Ｘ ２ （ ￡ ） ＋ … ＋ ｚ （ ￡ ） ｄ ） ＋ （
≤
１
ｔ ）
（ ３）
（ ￡ ） ＋ ２（ ￡ ） ＋ … ＋
（ ￡ ） ＋ 抖１（ ￡ ） ｄ ｔ ．
再根 据假 设条 件 （ ２ ） 式， 有 ４ 大 学 数 学
第 ３ ２卷
［ 口 ， 可积 ， 则
Ｉ ： （ ｄ ｌ 。 ≤ ． ｒ ： ｌ （ ｔ ） ｌ ｚ ｄ ．
证 采 用数 学归 纳法 ．
ｃ ）
当， ２ — １时 ， （ ￡ ）一 ． Ｔ ｓ （ ）∈
假 设 ｎ＝ ｋ时 ， 结论 （ １ ） 成立 ， 即
微 分方程理论分析的思维方法．
［ 关键词］向量范数 ； 积 分 不 等式 ； Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 零 测 度 集 ；非 自治 系 统
［ 中图分类号］０１ ７ ２ ． ２
［ 文献标识码］Ｃ
［ 文章编号］１ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ ０ ８ ３ — ０ ４
进 一步 推 广．
２ 预 备 知 识
Ｐ 一 范数： 一（ ｚ １ ， ｚ ２ ， …ｚ ）∈ １ 一 范数 ： 一（ ｚ １ ， ２ ， … ）∈
， Ｉ Ｉ ｌ 一 ｌ （ ∑
＝
． ｚ Ｉ
， １≤ ＜ 。 。．
１
， Ｉ Ｉ ｌ Ｉ １一 ∑
第 ３ ２卷 第 ６期
２ ０ １ ６年 １ ２月
大 学 数 学
Ｃｏ ＬＬＥＧＥ Ｍ Ａ ＴＨ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ３ ２ ， №． ６
Ｄｅ ｃ ． ２ Ｏ１ ６
向量 范数 的积 分 不 等式 与应 用
沈进 中 ， 邓 留保
（ １ ． 安徽理 工大学 电气与信息工程学院 ， 安徽 淮 南 ２ ３ ２ ０ ０ １ ； ２ ． 安徽 财经大学 金融学 院 ， 安徽 蚌埠 ２ ３ ３ ０ ３ ０ ）
ｔ
， 根 据定 积分 不等式 ， 显然结 论 （ １ ） 成 立．
当 ｎ一 ２时 ， 根 据 引理 １可 知 ， 结论 （ １ ） 成立 ．
） 。 ＋ （ ∽ｄ ｔ ） ＋ ． ． ・ ＋ （ ∽ｄ ） ≤
１ （ ￡ ） 。 ＋ ２ （ ￡ ） ＋ … ＋ 女 （ ￡ ） ｄ ｔ ．
专著 ［ ￣ － ５ ３的理论 分析 中都是 采用 １ 一 范 数 ］， 而没 有采 用其 他 的 向量 范 数 或矩 阵 范数 ， 这 是 笔 者在 学 习
常微分 方程 时一 直存 在 的一个 疑问 ． 一般 而言 ， 最能 直 观体 现 一个 维 向量 的长 度 的范 数 是 ２ 一 范数， 即 是 欧 氏范数 ． 笔者 曾尝 在解 的存在 性 和 唯一 性 证 明过程 中用 ２ 一 范数代替 １ 一 范数 ， 但 是 发 现 一个 最 大 的 问题就 是无 法得 到一个 范数 积分 不等 式 ， 带 着这 个 问题 ， 经过 深入 研究 ， 最终 解决 此 问题 ， 并将 结果 作 了
［ 摘
要］证 明了 ２ 一 范数积分不等式 ， 进一 步将其 推广到 一般范 数的积 分不等 式． 作 为 该 结 果 的 一 个 应
用， 本 文 在 最 后 一 部 分 给 出一 个 实 例 说 明采 用 一 般 的 向量 范 数 也 可 以 证 明微 分 方 程 解 的 唯 一 性 ， 从 而 扩 展 了
（ （ ∽ ｄ ） — 卜 （ Ｉ ｒ ： 。 ｃ ｃ ｄ ） — 卜 … ＋ （ ： ｃ ｃ ｚ ｄ ｔ ） ） ＋ （ ： ｃ ｔ ｄ ｔ ） ｘ １ （ ￡ ） ＋ Ｘ ２ （ ￡ ） ＋ … ＋ ＾ （ ￡ ） ｄ ） 。 ＋ （ ≤ √ （ Ｊ ． ＝
引理 ２ ｃ 。 有 限维 线性 空 间上 的不 同范数等 价 ．
３ 主 要 结 果
定理 ３ ． １ 单 变量 向量 值 函数 （ ￡ ）一 （ ｚ （ ￡ ） ， （ ￡ ） ， …ｚ （ ｔ ） ）∈ ” ， 若对每个分量 Ｘ （ ￡ ）均 在
［ 收稿 日期］２ ０ １ ６ — ０ ７ — １ ２ ； ［ 修改 日期］２ ０ １ ６ — ０ ９ — ３ ０ ［ 基金项 目］安徽理工大学硕博基金 （ Ｚ Ｙ ０ ２ ２ ） ； 安徽高校 自然科学研究重点项 目（ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ５ Ａ０ ７ ６ ） ［ 作者简介］沈进 中（ １ ９ ８ ５ 一） ， 男， 博士 ， 讲师 ， 从事非线性 系统研究． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ． ｊ ｚ ｓ ｈ ｅ ｎ Ｏ ０ ９ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
（ ２ ）
那么， 若 （ ￡ ）一 （ （ ） ， ｚ 。 （ ￡ ） ， … 胖 。 （ ￡ ） ） ∈ 抖 每个 分量 ３ ７ （ ￡ ） 均在 ［ ｎ ， ６ ］ 可积 ， 根 据黎曼 可 积 的 充要 条件 ， 则 ） ＋ … ＋ ｚ （ ｆ ） 在 ［ ｎ ， ６ ］可积 ． 应用 引 理 １ ， 有