线性规划数学模型

二、约束条件
⑴ 规格约束(据表2-3)
x11 x11+ x12 + x13
≥ 0.50
x21 x11+ x12 + x13
≥ 0.25
j i
X Y Z
ABC
x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33
x12 x11+ x12 + x13
x22 x11+ x12 + x13
≤ 0.25 ≤ 0.50
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
通过学习本章，应当了解线性规划的有关概念，掌握线性规划 模型的建立及优化方法，会用计算机对大型线性规划模型问题 进行求解和分析。本章的难点为单纯形计算方法。
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第一节 线性规划问题的提出
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要用于研究解 决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限资源做出 最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥 资源的效能，以获取最佳经济效益。
下面，结合若干个实际问题讨论数学模型的建 立。
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一、投资问题的数学模型
解（参见教材P15）
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二、配料问题的数学模型
解（参见教材P16）
二、配料问题的数学模型
某化工厂要用三种原料 A，B，C 混合配制三种不同规格
的产品 X，Y，Z。有关数据如下：
表2-3
表2-4
产品
X Y
规格
原料D不少于50% 原料P不超过25%
二、配料问题的数学模型
改写成
- x11 + x12 + x13 ≤ 0 - x11+ 3x12 -x13 ≤ 0 -3x21 +x22 + x23 ≤ 0
x21 +x22 - x23 ≤ 0
⑵ 资源约束(据表2-4)
x11+ x21 + x31 ≤ 100 x12+ x22 + x32 ≤ 100 x13+ x23 + x33 ≤ 60
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
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三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
以上三项之和即总成本。
二、配料问题的数学模型
目标函数为：
总利润 = 总产值 - 总成本
该问题的数学模型为:
max z =- -x1115x+11x+122+5xx1123+15x13-30x21+10x22-40x31≤-100x33
- x11+3x12 - x13
≤0
-3x21+x22 +x23
1 第二章 线 性 规 划（Linear Programming）
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性的最优化问题。 自从1947年丹捷格(Dantzig)提出求解线性规划的单纯形方法以 来，线性规划在理论上趋向成熟。特别是在计算机能处理成千 上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛，已成为现代管理中经常采用的基本方法之 一。线性规划是最优化问题中的重要领域之一，很多运筹学中 的实际问题都可以用线性规划来表述。很多其他种类的最优化 问题算法也都可以分拆成线性规划子问题，然后求解。
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
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第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划要研究的两类问题中都有一个限制条件：第 一类问题是给出一定量的人力、物力和财力等资源； 第二类问题是给定一项任务。
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第二节 线性规划问题的数学模型
当用线性规划的方法对实际问题进行优化时， 必须把这个实际问题用恰当的数学形式表达出 来，这个表达的过程，就是建立数学模型的过 程。数学模型的建立需要经验和技巧以及有关 的专业知识，只有通过大量的实践，在建立模 型时才能得心应手。初学时可从题目中所给出 的限制条件和目标入手，由限制条件建立起线 性方程组，由目标得到目标函数。
二、配料问题的数学模型
三、目标函数
⑴ 总产值(据表2-3) 产品X的产值: 50(x11+ x12 + x13 ) 产品Y的产值: 35(x21+ x22 + x23 ) 产品Z的产值: 25(x31+ x32 + x33 )
以上三项之和即总产值。
⑵ 总成本(据表2-4) 原料A的成本: 65(x11+ x21 + x31 ) 原料B的成本: 25(x12+ x22 + x32 ) 原料C的成本: 35(x13+ x23 + x33 )
≤0
s.t. x11
x21+x22 - x23
+x21
+x31
≤0 ≤ 100
x12
+x22
+x32 ≤ 100
x13
+x23
+x33≤ 60
xij ≥ 0， i = 1, 2, 3； j = 1, 2, 3
配料问题
练习： 某化工厂根据一项合同要为用户生产一种用 甲、乙两种原料混合配制而成的特殊产品。甲、乙 两种原料都含有A，B，C三种化学成分，其含量 (%)是:甲为12，2， 3；乙为3，3，15。按合同规 定，产品中三种化学成分的含量(%)不得低于4，2， 5。甲、乙原料成本为每千克3，2元。厂方希望总 成本达到最小，则应如何配制该产品？