6.3 复化求积公式
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§3 复化求积公式
● 复化求积法的基本思想：
将积分区间],[b a n 等分，可得到1+n 个求积节
点：kh a x k +=，),,1,0(n k Λ=，其中n
a
b h -=，对
积分1
1
1
()()k k
n n b
x k a
x
k k I f x dx f x dx I +--====
=∑∑⎰⎰
在每一个小区间1[,]k k x x +上利用n 阶牛顿-柯特斯公式计算，然后对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。如此得到的求积公式称为复化求积公式。 ● 复化梯形公式：（每个小区间上利用梯形公式求积）
1
1
1
110
()()(()())
2k k
n b
x a
x k n k k
k k k I f x dx f x dx
x x f x f x +-=-++===-≈+∑⎰⎰
∑
求和展开得：
011211
1
(()())(()())
2
(()())
(()2()())2n n n n k k h
T f x f x f x f x f x f x h
f a f x f b --==++++++=++∑L
其中，n
a b h -=
复化辛甫生公式: （每个小区间上用辛甫生公式求积） 1、公式：
1
12
10
1
110
()()(()4()())6k k
n b
x
a
x k n k k
k k k k I f x dx f x dx
x x f x f x f x +-=-+++===-≈++∑⎰⎰
∑ 12
k x +表示为区间1[,]k k x x +的中点。
求和展开得：
1322
12
01121((()4()())(()4()6
())(()4()())n n n n h
S f x f x f x f x f x f x f x f x f x --=+++++++++L
12
11
01
(()4()2()())6n n k k k k h
f a f x f x f b --+===+++∑∑ 其中：n
a b h -=。
复化柯特斯公式：（每个小区间上用柯特斯公式求积）
1
14
1324
10
1
101()()(7()32()9012()32()7())k k
n b
x
a
x k n k k
k k k k k k I f x dx f x dx
x x f x f x f x f x f x +-=-++=+++==-≈++++∑⎰⎰
∑ 12
k x +为1[,]k k x x +的中点，14
k x +
，
34
k x +为
1[,]k k x x +的四分之一分点。
求和展开得：
113424
5342
74
311244
01121(7()32()12()32()90
7())(7()32()12()32()7())(7()32()12()32()7()))n n n n n n h
C f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ----=+++++++++++++++L 14
1324
1110
11
(7()14()32()9012()32()7())n n k k k k n n k k k k h f a f x f x f x f x f b --+==--++===+++++∑∑∑∑其中：n
a b h -=。
例1： 对214
)(x
x f +=利用下表所给数据，利用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算dx x f I ⎰=1
0)(的值。
解：① 用复化梯形公式计算
取 8
1
,8==h n ，则：
1389885
.3))1()8(2)0((161))
()(2)((2711
1
8=++=++=∑∑=-=f k
f f b f x f a f h
T k n k k
② 用复化辛甫生公式计算
取 4
1
,4==h n ，则：
12
11
201
3301
(()4()2()())61212((0)4()2()(1))24883.1415925
n n k k k k k k h
S f a f x f x f b k k f f f f --+=====++++=+++=∑∑∑∑而准确值：Λ1415905.3|arctan 410
===πI
例2：用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分
⎰
=6
.28
.1)(dx x f I ，函数)(x f 在某些节点上的值如下
图：
解：
① 用复化梯形公式计算
取 2.6 1.8
4,0.24
n h -===
1
41
(()2()())
20.2((1.8)2((2.0)(2.2)(2.4))(2.6))2
5.058337
n k k h
T f a f x f b f f f f f -==++=++++=∑
② 用复化辛甫生公式计算
2.6 1.8
2,0.42
n h -===
12
11
201
(()4()2()())60.4{(1.8)4[(2.0)(2.4)]2(2.2)(2.6)}65.033002
n n k k k k h
S f a f x f x f b f f f f f --+===+++=++++=∑∑