第四章答案 - 郑州升达经贸管理学院

第四章 中值定理 导数的应用

（A ）

1、ζ=e -1，

2、有两个实根，分别在（1,2）（2,3）内，

3、提示：（1）证明方程f (x )=0有实根，其中f (x )是连续函数，因此可验证f (x )在某个闭区间上满足零点定理的条件；

（2）证明f (x )=0有唯一的实根，可证f (x )在某区间内是单调的. 4、略

5、提示：作一个函数f (x )，使)()(x p x f ='.

1322101

32 )(++++++=n n x n a x a

x a x a x f ，

验证f (x )在[0，1]上满足罗尔定理的条件。 6、提示：令23

()126x x f x x =+++, 因lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，所以

只需证明f (x )在(-∞，+∞ )单调增加，即证f ′ (x )>0.

7、提示：用反证法。若f (x )有两个驻点，与f "(x )≠0矛盾. 8、提示：证明该函数是单调函数.

9、提示：应用中值定理解题是一个难点，首先要注意给出的函数f (x )是否有可导的条件，如果给出的是具体函数，一般是初等函数，在其定义区间内总是连续且可微的。另外，关键是寻求题目中条件与结论之间的衔结点，因此要用推理和演绎相结合，要寻求衔结点，可以用“原函数法”，例如此题，先将等式中的未

知ξ换成x ,求一个函数（辅助函数）F （x ）,使)()

()(x f x f x f '='，通过已知条件，易

得)()(x f ln x F =，再应用拉格朗日中值定理.

10、提示：要证明的等式中有多个ξ出现，且形式与中值定理的基本形式有所差异，可以变形使之成为 0)(cos )(sin )(=+'='ξξξξξf f F . 对于F （x ）而言，正是罗尔定理的结论.因此我们应用所谓“原函数法”，构造辅助函数F （x ），使

xf(x)(x)f x (x)F cos sin +'='

利用()υυυ'+'='

u u u 或者下一章中求原函数的方法可以找到)(sin )(x xf x F =，然

后利用已知条件检查F （x ）是否满足罗尔定理的条件.

11、提示：变形为)0()1()()(f e f f e f e -='+ξξξξ，作辅助函数)()(x f e x F x =，再用拉格朗日中值定理.

12、略

13、提示：变形为

1)

0()1(2)(--='f f f ξξ考虑函数2)(),(x x g x f =，在[0，1]上

用柯西中值定理.

14、提示：将原式化为柯西中值定理的基本形式

221)

()(11)()(ξ

ξξξξ--'=--

f f a b a a f b b f 考虑函数,1

)(,)()(x

x G x x f x f ==在[a ，b ]上用柯西中值定理. 15、提示：证明,)(C x f =C 为常数，如果)(x f 可导，那么首先证明0)(='x f ，

再找一个点x 0，使 0()f x C =.

16、提示：]0,[],0[,1-∀x x x 或在>上应用拉格朗日中值定理

1

ln(1)-ln(1),01x x x ξξ

+=+在和之间.

17、提示：令上在],1[,)(x e x f x =应用拉格朗日中值定理.

18、（1）2. （2）3

1-， （3）2e ， （4）6ln 21

，

（5）2

⎪⎭

⎫

⎝⎛b a ， （6）2ln 61，

提示：解法1：直接用罗彼塔法则；

解法2：先用拉格朗日中值定理，考虑函数在,2)(x x f =[sin x ，x ]上

sin 2-22ln2(-sin )x x x x ξ=, (s i n ,),x

x x ξ∈→ 时，0ξ→. 原式=,sin -lim ·2ln sin -·2ln 2lim 30→x 30→x x x x x x x =ξ再用罗彼塔法则计算极限

3

0→sin -lim x x

x x 较为简单.

（7）（1-ln a ）a a , （8）0 ， （9）2

1

， （10）1 提示：t

t x

x x x t x x 2

2

][sin lim )2sin(lim )(cos lim 0

2

2

+

--

→-→-→=-=π

π

ππ

π

再化为∞

∞

型用罗彼塔法则.

（11）e .

（12）－1 ，提示：为简化计算，先变形再用罗彼塔法则，

原式=t

t t x

x x )

1(ln 1lim

)

1(ln 1lim

01

1+-=+-→∞

→

（13）

2

1

， （14）2e -

19、（1）。，x y x 单调增加单调减少),,1()1,(),1,1(+∞⋃--∞∈-∈ （2）。y ，x y x 单调增加单调减少),,1()0,(),1,0(+∞⋃-∞∈∈ （3）。y ，x y x 单调增加单调减少),,2(),2,0(+∞∈∈ （4）。y ，x y x 单调增加调减少),1,1(),,1()1,(-∈+∞⋃--∞∈