2016上海济光职业技术学院自主招生数学模拟试题及答案

2016济光职业技术学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题：本大题共12个小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．等差数列的前n 项和为，已知，则n 为 A ．18B ．17C ．16D ．15
2．已知，则的最小值
A ．15
B ．6
C ．60
D ．1
3．A ={x |x ≠1，x ∈R}∪{y |y ≠2，x ∈R }，B ={z|z ≠1且z ≠2，z ∈R}，那么 A ．A =B B ．A B C ．A B D ．A ∩B =φ 4．算法 S 1：输入n ， S 2：判断n 是否是2 若n = 2，则n 满足条件 若n > 2，则执行S 3
S 3：依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n 满足条件，上述满足条件的 A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．4的倍数 5．复数 (1为虚数单位)等于
A ．1
B ．-1
C ．1
D ．-1
{}n a n S )6(144,324,3666>===-n S S S n n )0,0(13
5>>=+y x y
x xy ⊂⊃1
i 1i +-
6．正方体的八个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的
概率为
A．B．C．D．
7．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平
均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数的图象过点(－1, 3)和(1,1),若0<c<1,则实数a的取值围是
A．[2,3] B．[1,3] C．(1,2) D． (1,3)
9．已知函数y=x3－3x，则它的单调增区间是
A．(－∞，0) B．(0，+∞)
C．(－1，1)D．(－∞，－1)及(1，+∞)
10．已知P是、以为焦点的椭圆＝１（a＞b＞０）上一点，
，
＝2，则椭圆的离心率为
A．B．C ．D
1 7
3
7
2
7
4
7
c
bx
ax
x
f+
+
=2
)
(
1
F
2
F
22
22
x y
a b
2
1
=⋅PF
PF
12 tan PF F
1 22
3
1
3
11．三棱柱中，侧面底面，直线与底面成角，
，，则该棱柱的体积为
A ．
B ．
C ．
D ．
12．锐角△ABC 中，若A=2B ，则
的取值围是 A ．（1，2）B ．（1，）C ．（）D ．（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若，且，则的最大值是．
14．若展开式中项的系数为
，则实数a =． 15．已知实数x 、y 满足，则的最大值是．
16．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—
18岁的
男生体重（㎏），得到频率分布直方图如下： c:\iknow\docshare\data\cur_work\.7caiedu\
111C B A ABC -B B AA 11⊥ABC C A 1︒
602===CA BC AB B A AA 11=343343b
a
32,2,23,,a b c R +
∈1a b c ++=c b a ++8)1(x
a x -
2x 8
35
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤-0
22y x y y x 11
+-x y
根据上图可得这100名学生中体重在（56.5，64.5）的学生人数是
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，若，且，边 上的高为，求角的大小与边的长
18．（本小题满分12分）
一个多面体的直观图（主观图、左视图、俯视图）如图所示，M 、N 分别为A 1B 1、 B 1C 1的中点．
()()3a b c a b c ac ++-+=tan tan 33A C +=+AB 43,,A B C ,,a b c
（1）求证：MN ∥平面ACC 1A 1； （2）求证：MN ⊥平面A 1BC ； （3）求二面角A —A 1B —C 的大小． 19．（本小题满分12分）
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则 必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01):
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率; （2）平均有多少家煤矿必须整改; （3）至少关闭一家煤矿的概率 .
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交
于A 、B 两点．
（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值； （2）是否存在垂直于y 轴的直线，使得被以AC
xOy ),0(p C )0(22
>=p py x l l
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程;若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知，．
（1）当时，求证：在上是减函数；
（2）如果对不等式恒成立，数的取值围． 22．（本小题满分14分）
在直角坐标平面上有一点列P 1（），，…，，…对每
个正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．
（1）求点的坐标；
（2）设抛物线列，…中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛
物
线的顶点为且过点，记过点且与抛物线只有一个交点的直
线的
l 32
()31f x ax x x =+-+a R ∈3a =-()f x R x R ∀∈()4f x x '≤a 11,y x ),(222y x P ),(n n n y x P n n P 4133+
=x y n P 2
5
-1-}{n x n P n C C C C ,,,,321 x n n C n P )1,0(2
+n D n n D n C
斜率为，求证：
． （3）设，，等差数列的任一
项，其中是中的最大数，，求的通项公
式．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．D 10．D 11．B 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13
．±2 15．
16．40 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．解：
n k 10
111
113221<+++-n n k k k k k k },2|{*N n x x x S n ∈==},4|{*
N n y y y T n ∈==}{n a T S a n ⋂∈1a T S ⋂12526510-<<-a }{n a 3
1
222
01
()()3,,cos ,602
a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-==
=tan tan tan(),1tan tan A C A C A C ++=
=-tan tan 2A C =+tan tan 3A C +=+
得，即 当时， 当时， ∴当时，
当时，
18．解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC ⊥BC ，AC=BC=CC 1. （1）连结AC 1，AB 1.
由直三棱柱的性质得AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 所以AA 1⊥A 1B 1，则四边形ABB 1A 1为矩形. 由矩形性质得AB 1过A 1B 的中点M. 在△AB 1C 1中，由中位线性质得MN//AC 1， 又AC 1平面ACC 1A 1，MN 平面ACC 1A 1， 所以MN//平面ACC 1A 1
（2）因为BC ⊥平面ACC 1A 1，AC 平面ACC 1A 1，
所以BC ⊥AC 1.
在正方形ACC 1A 1中，A 1C ⊥AC 1.
又因为BC ∩A 1C=C ，所以AC 1⊥平面A 1BC.
tan 1tan 2tan 1tan 2A A C C =⎧⎧=+⎪⎪⎨⎨==+⎪⎪⎩⎩00
00
7545
4575
A A C C ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或0075,45A C ==1),8sin b c a A
=
===0045,75A C ==1),8b c a =
===00075,60,45A B C ===8,1),a b c ===000
45,60,75A B C ===8,a b c ===⊂⊄⊂
由MN//AC 1，得MN ⊥平面A 1BC.
（3）由题意CB ，CA ，CC 1两两垂直，故可以C 为的点，
CB ，CA ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 又AC = BC = CC 1 = a ，
则
则AB 中点E 的坐标为， 为平面AA 1B 的法向量.
又AC 1⊥平面A 1BC ，故为平面A 1BC 的法向量 设二面角A —A
1B —C 的大小为θ，
则 由题意可知，θ为锐角，所以θ= 60°，即二面角A —A 1B —C 为60°
19．解：（1）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
. （2）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是
),0,0(),0,0,0(),0,,0(),,0,(),0,0,(11a C C a A a a B a B )0,2
,
2(a
a )0,2
,2().,,0(1a
a a a AC =-=易知1AC .2122
221|,cos ||cos |2
1
=⨯-==><=a a a AC θ223
155
(10.5)0.50.3116
P C =⨯-⨯=
=ξξ
E ＝，即平均有2.50家煤矿必须整改.
（3）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤
矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是
20．（1）依题意，点的坐标为，可设， 直线的方程为，与联立得
消去得．
由韦达定理得，．
于是
，
当，．
（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，
设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，ξ50.5 2.5⨯=2(10.5)(10.8)0.1P =-⨯-=5310.90.41P =-=N (0)N p -，
1122()()A x y B x y ，，，AB y kx p =+2
2x py =22x py y kx p ⎧=⎨
=+⎩，
．y 22
220x pkx p --=122x x pk +=2
122x x p =-12122
AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·12p x x =-=2p ==∴0k =2min ()ABN S =△l y a =AC O 'l AC P Q PQ ，H O H PQ '⊥12O P AC '==∵
， ， ． 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． 21．解：（1）当时，，
∵，∴在上是减函数.
（2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，
∴不等式恒成立. 当时，不恒成立；
当时，不等式恒成立，即，∴. 当时，不等式不恒成立. 综上，的取值围是. 22．解：（1）∵的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列 ∴. ∵位于函数的图象上, 111222
y p O H a a y p +'=-=--222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44
y p a y p =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
02p a -=2
p a =PQ p =l 2p y =
3a =-32()331f x x x x =-+-+/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤()f x R x R ∀∈()4f x x '≤x R ∀∈23614ax x x +-≤x R ∀∈23210ax x +-≤0a =x R ∀∈210x -≤0a <x R ∀∈23210ax x +-≤4120a ∆=+≤13
a ≤-0a >x R ∀∈23210ax x +-≤a 1(]3
-∞-，n P 2
5-1-}{n x 2
3)1(25)1(1--=---=-+=n n d n x x n ),(n n n y x P 4
133+
=x y
∴, ∴点的坐标为. （2）据题意可设抛物线的方程为：,
即． ∵抛物线过点（0，）,
∴, ∴∴． ∵过点且与抛物线只有一个交点的直线即为以为切点的切线， ∴． ∴（）， ∴ ∴
． （3）∵，
4
53413)23(34133--=+--=+=n n x y n n n P )453,23(---
-n n P n n C n n y x x a y +-=2)(4
53)23
(2--++=n n x a y n C n D 12+n 4
549)33(453)23
(1222-+-+=--+=+a n a an n n a n 1=a 453)2
3
(2--++=n n x y n D n C n D 32)23(20
0+=++====n n x y k x x n )3
21121(21)32)(12(11
1+-+=++=-n n n n k k n n 2≥n n
n k k k k k k 13221111-+++ )32151(21)32112191717151(21+-=+-+++-+-=n n n 101)32151(2111113221<+-=+++-n k k k k k k n n 322--==n x x n 5124--==n y y n
∴中的元素即为两个等差数列与中的公共项，它们组成以为首项，以为公差的等差数列． ∵，且成等差数列，是中的最大数， ∴，其公差为． 当时，， 此时∴不满足题意，舍去． 当时，， 此时， ∴． 当时，． 此时，不满足题意，舍去． 综上所述，所求通项为．
T S ⋂}32{--n }512{--17-12-T S a n ⋂∈}{n a 1a T S ⋂171-=a )(12*N k k ∈-011=k 512)12()1(17)1(1--=-⨯-+-=-+=n n d n a a n )125,265(125512010--∉-=--=a 022=k 724)24()1(17)1(1+-=-⨯-+-=-+=n n d n a a n )125,265(233724010--∈-=+-=a 724+-=n a n 033=k 1936)36()1(17)1(1+-=-⨯-+-=-+=n n d n a a n )125,265(3411936010--∉-=+-=a 724+-=n a n。