剪切应力计算

剪切应力计算
LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
拉伸、压缩与剪切
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。

以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。

1.2轴向拉压的内力、应力及变形
1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴
，符号规定：拉力为正，压力为负。

工程上常以轴力图表示杆件力F
N
轴力沿杆长的变化。

2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为
正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。

常用的单位为MPa、Pa。

3．强度条件
强度计算是材料力学研究的主要问题之一。

轴向拉压时，构件的强度条件是
可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。

4．胡克定律
、杆的长度l成正比，与截面线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力F
N
尺寸A成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即
式中的E称为材料的弹性模量，EA称为抗拉压刚度。

胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。

1.3材料在拉压时的力学性能
材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。

材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有：
E —材料抵抗弹性变形能力的指标；b s σσ,—材料的强度指标；
ψδ, —材料的塑性指标。

低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。

详见教材，应理解本部分知识。

1.4 简单拉压静不定问题
1． 未知力的个数超过静力平衡方程个数的问题为静不定问题，其中未知力可以是结构的约束反力或
构件的内力。

2． 解决静不定问题，除列出静力平衡方程外，还需列出一定数量的补充方程，这些补充方程可由结
构各部分变形之间的几何关系以及变形和力之间的物理关系求得，将补充方程和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。

3． 静不定结构还有一个特性，即由于杆件在制造中的误差，将引起装配应力；由于温度变化会引起
温度应力。

1.5 应力集中的概念
工程实际中，由于结构上和使用上的需要，有些零件必须有切口、切槽和螺纹等。

在构件尺寸的突变处，发生局部应力急剧增加的现象，称为应力集中现象。

剪切和挤压的实用计算
1． 工程中经常使用到联接件，如铆钉、销钉、键或螺栓等。

联接件一般受剪切作用，
并伴随有挤压作用，因而联接件应同时满足剪切强度和挤压强度。

有时还要考虑被联接部分的拉伸强度问题。

2． 两作用外力之间发生相互错动的面称为剪切面。

剪切面上的切应力为F A
τ=
s
，其中F s 为剪力，A 为剪切面的面积，即假设切应力在剪切面上均匀分布。

剪切强度条件
[]F A
ττ=
≤s
3． 产生相互挤压的表面称为挤压面。

挤压面上的挤压应力为bs bs
F
A σ=
，式中F 为挤压力，A bs 为挤压面积，即假设挤压应力在挤压面上均匀分布。

挤压强度条件为
[]bs bs bs
F
A σσ=
≤
2 重点与难点及解析方法
轴向拉压的应力、强度计算及变形计算
强度计算是本章的重点内容，它能够解决三类工程问题。

而胡克定律是联系力与变形的基本定律，应重点掌握。

解析方法：1 对等截面直杆，横截面上的正应力最大，强度计算时必须明确在哪个截面进行强度计算；而纵向截面上的应力等于零。

2应用胡克定律计算变形时，内力应以代数值代入。

求解结构上节点的位移时，设想交于该节点的各杆，沿各自的轴线自由伸缩，从变形后各杆的终点作各杆轴线的垂线，这些垂线的交点即为节点新的位置。

简单拉压静不定问题
解静不定问题的关键是列出正确的变形几何关系。

在列几何关系时，注意假设的变形应是杆件可能的变形。

解析方法：1 列静力平衡方程；
2根据变形协调关系列出变形的几何关系；
3 列出力与变形之间的物理关系；
4 联立解方程组求出未知力。

材料在拉压时的力学性能
力学性能是材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。

是通过实验研究的方法来实现的，这种方法对我们以后的工程设计有一定的指导作用。

应理解力学性质中涉及到的几个强度指标及塑性指标。

剪切和挤压的强度计算
联接件的强度计算，关键在于正确判断剪切面和挤压面。

剪切面积为受剪面的实际面积，当挤压面为半圆柱面时，一般取圆柱的直径平面面积为挤压面面积，以简化运算。

3 典型问题解析
轴向拉压的强度、变形计算
例题：
已知AC杆为直径d＝25mm 的A3圆钢，材料的许用应力[σ]＝141MPa，AC、AB杆夹角α＝30°，如图2－1（a）所示， A处作用力F＝20kN，
求：1 校核AC杆的强度；2 选择最经济的直径d；3 若用等边角钢，选择角钢型号。

解：
1校核AC 杆的强度
用一截面将AC 、AB 杆截开，取A 节点作为研究对象，如图2－1（b ）所示，利用平衡方程计算
1F N 。

代入强度条件，校核AC 杆的强度
满足强度要求,安全。

2 选择最佳截面尺寸，根据强度条件
AC 杆的直径取为20mm ，即可满足强度要求。

3选择等边角钢型号
A ≥284mm 2 ，查表可选50×3号等边角钢。

解题指导：
杆件轴力方向未知时，可使用设正法，即假设轴力为正，由平衡方程
求解出的结果为正，说明是拉力；结果为负，说明是压力。

例题：
零件受力如图2－2所示，其中F P ＝50 kN 。

求零件横截面的最大正应力，并指出发生在哪一横截面上。

图2－2
解：
用截面法分析零件各横截面上的轴力，得轴力都是相同的，即
又因为开孔使截面积减小，所以最大正应力可能发生在孔径比较小的两个横截面上I 一I 或II －II 上。

对于I 一I 截面，其横截面积 对于II 一II 截面，其横截面积
则最大正应力发生在I 一I 截面,，其上之正应力
解题指导：
由于开孔，在孔边形成应力集中，因而横截面上的正应力并不是均匀分布的。

严格地讲，不能采用上述方法计算应力。

上述方法只是不考虑应力
图2－1
（a
（b
集中时的应力，称为“名义应力”。

如果将名义应力乘上一个应力集中系数，就可得到开孔附近的最大应力。

应力集中系数可从有关手册中查得。

例题
图2－3（a）所示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为30cm2，材料为铸铁，其许用拉应力[]30MPa
σ=
t
，许用压应力[]c120MPa
σ=，试求结构的许可载荷。

解：
1 求各杆轴力
取B节点作为研究对象，如图2－3（b）所示，代平衡方程
2cos450
F F
-=
N1
，
2
F=
N1
（拉）
即AB、BC杆轴力为
2
取A节点作为研究对象，如图2－3（c）所示，代平衡方程
2cos450
F F
-=
N2N1
，F F
=-
N2
（压）
即AD、DC杆轴力为
2
，AC杆轴力为F
-。

2 求许可载荷
由斜杆的拉伸强度条件
由AC杆的压缩强度条件
故结构的许可载荷为[]127.3kN
F=
解题指导：
尽管拉力F
N1
要比压力F
N2
小约40%，但结构的许可载荷还是受拉伸强度所限制,这是因为铸铁的抗拉强度要比其抗压强度低得多。

在工程实际中，
图2－3
受压构件通常选用铸铁等脆性材料，而受拉构件一般选用低碳钢等塑性材料，以合理地利用各种材料的力学性能。

例题：
图2－4（a ）所示之结构中，AB 和AC 均为Q235钢制成的圆截面杆，直径相同d ＝20mm ，许用应力[]σ＝160 MPa 。

试确定该结构的许用载荷。

解：
1 由平衡条件计算各杆轴力，设AB 杆轴力为N1F ，AC 杆轴力为N2F ，如图2－4（b ）所示。

对于节点A ，由0x F ∑=得
sin 30sin 45F F =N1N2 （1）
由0y F ∑=得
cos30cos 45F F F +=N1N2 （2）
将（1）、（2）式联解
可见AB 杆比AC 杆受力大，而两者的材料及横截面尺寸都是相同的。

因此，两根杆的危险程度不同。

如果AB 杆的强度得到满足，AC 杆的强度也一定安全。

2 根据强度条件计算许用载荷
有
据此解得
因而得
[]68.67F =kN
若改为，由强度条件计算许用轴力
由于AB 、AC 杆不能同时达到最大许用容许轴力，则将[]N1F ，[]N2F 代入（2）式，解得
这个解显然是错误的。

解题指导：
图2－4
上述错误解法，实际上认为两根杆同时达到了危险状态。

但实际上，
两根杆的材料、截面尺寸相同，而受力不同，因而应力不同，其中受力较大的杆中应力达到许用应力时，另一根的应力必然小于许用应力。

因而二者不可能同时到达危险状态。

例题：
1、2杆均为圆截面钢杆，杆端为铰接。

两杆长度L 、直径d 、材料E 均相等，A 处作用力F ，如图2－5所示，试求节点A 在力F 作用下的位移。

解：
在力F 作用下，杆1、2为轴向拉伸，由静力平衡关系得： 代入胡克定律解得1、2杆的变形量
但两杆铰接在一起，不能自由伸长，可判断出变形后节点A 位移向下。

分别以B 、C 为圆心，1L L +∆、2L L +∆为半径作圆弧，所作圆弧的交点A 1就是杆件变形后节点A 的位置。

在实际工程中，为了便于计算，从杆件变形后的端点作杆件的垂线，用垂线代替圆弧线，近似认为其交点A 2为变形后A 的位置，AA 2为节点A 的位移。

这种求位移的方法称为图解法。

A 点的位移：
解题指导：
理论上计算节点位移时，应由两杆伸长后的长度为半径画圆弧，两圆
弧的交点即为节点新的位置。

但由于杆件的变形是小变形，实际上是用切线代替圆弧来简化运算。

作图法简单易行，计算结果满足工程要求。

简单拉压静不定问题
例题：
已知1杆的抗拉压刚度E 1A 1， 2、3杆的抗拉压刚度相等E 2A 2＝E 3A 3 。

三杆铰接在一起，L 1＝L 2 ＝L
3＝L 。

试求在力F 作用下各杆的内力。

解：
图2－
5
用截面同时截开1、2、3杆，取节点A 为研究对象，由静力平衡关系： N2N3
N2N1002cos x y
F
F F F
F F F
α===+=∑∑ （1）
三个未知数，两个独立平衡方程，为一次静不定问题。

根据图解法，作节点A 的位移图，得变形关系：
321cos L L L ∆=∆=∆α （2）
代物理关系：
32
2221111 L A E L
N L A E L N L ∆==∆=
∆ （3） （1）、（2）、（3）联立解得
解题指导：
由此例题可知,静不定结构各杆件受力与杆件刚度比有关，这是静不定结构区别于静定结构的显着特征之一。

例题：
已知正方形截面组合杆，由两根截面尺寸相同、材料不同的杆1和杆2组成，二者的弹性模量为E 1
和E 2（E 1＞E 2），若使杆1和杆2均匀受压，求载荷F 的偏心距e 。

解：
静力平衡关系：
N1N2N1N2000
2 b Fe 2x
A F
F F F
b
M F F =+==-+=∑∑ （1） 为一次静不定问题。

变形关系； 21L L ∆=∆ 物理关系：
图2－6
图2－7
N1N2121122
F L F L
L L E A E A ∆∆＝
＝ （2） （1）、（2）、（3）联立解得
12
N1N21212
E E
F F F F E E E E =
=++ （3）
代入（1）中第二式解得偏心距e 为
例题：
已知杆1为钢杆E 1＝210GPa, 6
112.510α-=⨯℃， A 1 =30cm 2。

杆2为铜杆，E 2＝105GPa,
621910α-=⨯℃，A 2=30cm 2。

载荷F ＝50kN 。

若AB 为刚杆且始终保持水平，试问温度升高还是降
低？求温度的改变量ΔT。

解：
设由F 、ΔT 引起的总的内力为N1F 、N2F ， 静力平衡关系：
N1N10
C
M
F F F
==+∑ （1）
为一次静不定问题。

变形关系：
0222111=∆+∆=∆=∆+∆=∆T N T N L L L L L L （2）
物理关系：
N111111
N222222
N T T F L
L L TL E A F L
L L TL
E A αα∆∆=∆∆∆=∆＝
＝ （3）
（1）、（2）、（3）联立解得
即温度降低26.5℃，可保证AB 刚杆始终保持水平。

解题指导：
装配应力和温度应力同属于静不定问题，求解简单静不定问题的关键是列出正确的变形几何关系。

剪切和挤压
例题：
图2－8
如图所示冲床，200kN F =，冲头[]260MPa σ=，冲剪钢板360=b τMPa ，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。

解：
1 按冲头压缩强度计算d 2按钢板剪切强度计算t
解题指导：
对于剪切的强度计算，关键是确定剪切面和挤压面。

可以先找变形过程中相互压紧的面即为挤压面，可能产生剪切破坏的面即为挤压
面。

例题：
如图2－10所示连接，D 、t 、d 均已知，材料的许用应力分别为[σ]、[τ]、[σbs ]。

试确定许用载荷。

解：
1由强度条件 2由剪切强度条件： 3由挤压强度条件：
许用载荷为三个力中较小者，即[]{}12,3min ,F = F F F
例题：
木榫接头如图所示。

10cm a b ==，30cm h =，3cm c =。

50kN F =。

试求榫接头的切应力和挤压应力。

解： 先分析木榫接头的剪切面和挤压面 例题：
图示传动轴，齿轮与轴用平键联接，传递转矩7M =kNm 。

若键的尺寸28b =mm 、20h =mm ，材料的[]90τ=MPa ，[]220bs σ=MPa ，试求键的长度l 。

解：
1 受力分析
键的受力如图2－12（b ）、（c ）所示 2 求键的长度
由剪切强度条件
所以
由挤压强度条件 则
图2－9
图2－10 图2－11
[]()()3
36
bs 221751079.5201022010F
l h σ-⨯⨯≥==⨯⨯mm 故键的长度应取80l ≥ mm 。

在工程实际中，键为标准件，应按有关规定选用。

解题指导：
从上述计算可见，当平键的挤压应力达到许用值时，键的工作剪应力远低于许用剪应力。

对于标准键（或花键），其挤压强度是主要矛盾，而其剪切强度一般都是足够的；对于铆钉、螺栓等联接件，其剪切强度往往是主要的，挤压强度通常都能得到满足。

4 自我测试
拉 压
1. 轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（ ）。

(A ）分别是横截面、45°斜截面； （B ）都是横截面，
（C ）分别是45°斜截面、横截面； （D ）都是45°斜截面。

正确答案是 。

2. 轴向拉压杆，在与其轴线平行的纵向截面上（ ）。

（A ） 正应力为零，切应力不为零； （B ） 正应力不为零，切应力为零； （C ） 正应力和切应力均不为零； （D ） 正应力和切应力均为零。

正确答案是 。

3. 应力－应变曲线的纵、横坐标分别为σ＝F N /A ，ε＝△L / L ，其中（ ）。

（A ）A 和L 均为初始值； （B ）A 和L 均为瞬时值；
（C ）A 为初始值，L 为瞬时值； （D ）A 为瞬时值，L 均为初始值。

正确答案是 。

4. 进入屈服阶段以后，材料发生（ ）变形。

（A ） 弹性； （B ）线弹性； （C ）塑性； （D ）弹塑性。

正确答案是 。

5. 钢材经过冷作硬化处理后，其（ ）基本不变。

(A) 弹性模量；（B ）比例极限；（C ）延伸率；（D ）截面收缩率。

正确答案是 。

6. 设一阶梯形杆的轴力沿杆轴是变化的，则发生破坏的截面上 （ ）。

（A ）外力一定最大，且面积一定最小； （B ）轴力一定最大，且面积一定最小； （C ）轴力不一定最大，但面积一定最小； （D ）轴力与面积之比一定最大。

正确答案是 。

7. 一个结构中有三根拉压杆，设由这三根杆的强度条件确定的结构许用载荷分别为F 1、F 2、F 3，且F 1 > F 2 > F 3，则该结构的实际许可载荷[ F ]为（ ）。

（A ） F 1 ； （B ）F 2； （C ）F 3； （D ）（F 1＋F 3）/2。

正确答案是 。

8. 图示桁架，受铅垂载荷F ＝50kN 作用，杆1、2的横截面均为圆形，其直径分别为d 1=15mm 、d 2=20mm ，材料的许用应力均为[σ]＝150MPa 。

试校核桁架的强度。

9. 已知直杆的横截面面积A 、长度L 及材料的重度γ、弹性模量E ，所受外力P 如图示。

求：（1）绘制杆的轴力图； （2）计算杆内最大应力； （3）计算直杆的轴向伸长。

剪 切
1．在连接件上，剪切面和挤压面分别（ ）于外力方向。

（A ）垂直、平行； （B ）平行、垂直； （C ）平行； （D ）垂直。

正确答案是 。

2. 连接件应力的实用计算是以假设（ ）为基础的。

（A ） 切应力在剪切面上均匀分布；
（B ） 切应力不超过材料的剪切比例极限； （C ） 剪切面为圆形或方行；
（D ） 剪切面面积大于挤压面面积。

正确答案是 。

3.在连接件剪切强度的实用计算中,剪切许用力[τ]是由( )得到的. （A ） 精确计算；（B ）拉伸试验；（C ）剪切试验；（D ）扭转试验。

正确答案是 。

4. 置于刚性平面上的短粗圆柱体AB ，在上端面中心处受到一刚性圆柱压头的作用，如图所示。

若已知压头和圆柱的横截面面积分别为150mm 2、250mm 2，圆柱AB 的许用压应力
[]c 100MPa σ=，许用挤压应力[]bs 220MPa σ=
，则圆柱AB 将（
）。

（A ）发生挤压破坏；
（B ）发生压缩破坏；
（C ）同时发生压缩和挤压破坏； （D ）不会破坏。

正确答案是 。

5.
F
τττ
τ
（A）（B）（C）（D）
正确答案是。

6. 图示A和B的直径都为d，则两者中最大剪应力为：
（A） 4b F/(aπd2) ；
（B） 4(a+b) F / (aπd2)；
（C） 4(a+b) F /(bπd2)；
（D） 4a F/(bπd2) 。

正确答案是。

7. 图示销钉连接，已知F p＝18 kN，t1＝8 mm, t2＝5 mm, 销钉和板材料相同,许用剪应力[τ]=600 MPa,许用挤压应力、 [бbs]=200 MPa，试确定销钉直径d。

自我测试答案
拉压部分：
1（A）
2（D）
3（A ）
4（C）
5（A）
6（D）
7（C）
8
σ
1
＝＜[σ] σ
2
＝116MPa＜[σ]
9
（1）轴力图如图所示
（2）бmax=P/A+γL
（3）Δl=PL/EA+γL2/(2E)
剪切部分：
1（B）
2（A）
3（D）
4（C）
5（D）
6（B）
7 d=14 mm。