高中物理竞赛—电磁学(详版)-第二章 恒磁场2.3安培环路定理(共16张PPT)
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2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)03静态电磁场：恒定电流的磁场(共16张PPT)
电磁场理论
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势
恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H r dl J r ds H r J r
L
s
Br ds 0 Br 0
s
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
j dq j
j
t
i j dt
i j d
j
j
j
t
，
dt电源对整个回路系统作的功为
电流环
N
N
dW dW j i jd j
j 1
j 1
N
， j M kjik k 1
NN
1
Wm W
i j M kjik d
j1 k 1
0
1 2
N j 1
N
M kji jik
k 1
1 2
dl 2
3 磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。
dt时间内，电源对回路j所作的功为
， dW j
可以导出磁矢势在边界面上的条件：
nˆ A2 A1 0
nˆ
1
2
A2
1
1
A1
Js
| A2 A1
0
边界面
A2 r
A1r
3 小电流环的磁场 由于电流分布的轴对称
性，磁矢势以z为对称
轴，与 无关。
pm Iπa2nˆ Isnˆ
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势
恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H r dl J r ds H r J r
L
s
Br ds 0 Br 0
s
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
j dq j
j
t
i j dt
i j d
j
j
j
t
，
dt电源对整个回路系统作的功为
电流环
N
N
dW dW j i jd j
j 1
j 1
N
， j M kjik k 1
NN
1
Wm W
i j M kjik d
j1 k 1
0
1 2
N j 1
N
M kji jik
k 1
1 2
dl 2
3 磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。
dt时间内，电源对回路j所作的功为
， dW j
可以导出磁矢势在边界面上的条件：
nˆ A2 A1 0
nˆ
1
2
A2
1
1
A1
Js
| A2 A1
0
边界面
A2 r
A1r
3 小电流环的磁场 由于电流分布的轴对称
性，磁矢势以z为对称
轴，与 无关。
pm Iπa2nˆ Isnˆ
2020年高中物理竞赛辅导课件(电磁学)安培环路定理和应用(共25张PPT)
的平面内半径为 r 的圆为安培环路
B dl
L
2rB oI
I
dB
dS '' dB'
dB ''
dS '
B 0 r R
B oI 2r
rR
B
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
r
例3 求载流螺绕环内的磁场
设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I
dI= 2rdr / 2 = rdr
磁场
dB = 0dI/2r =0dr/2
R1
o R2
阴影部分产生的磁场感应强度为
B
R1
0
1 2
0dr
0R1
2
其余部分：
B
R2
R1
1 2
0dr
1 2
0
(
R
2
R1 )
已知：B B则有R2 2R1
R1
o R2
安培环路定理及应用
一.定理表述
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
分析磁场结构，与长直螺旋管 类似，环内磁场只能平行与线 圈的轴线
根据对称性可知，在与环共 轴的圆周上磁感应强度的大 小相等，方向沿圆周的切线 方向。磁力线是与环共轴的 一系列同心圆。
B
R2
R1
L
p
设螺绕环的半径为R1, R2 ，共有N匝线圈。
以平均半径 R 作圆为安培回路 L,可得：
B dl L
电流密度
IS
(体)电流的(面)密度
如图 电流强度为I的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S
(面)电流的(线)密度
B dl
L
2rB oI
I
dB
dS '' dB'
dB ''
dS '
B 0 r R
B oI 2r
rR
B
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
r
例3 求载流螺绕环内的磁场
设环很细，环的平均半径为R ， 总匝数为N，通有电流强度为 I
dI= 2rdr / 2 = rdr
磁场
dB = 0dI/2r =0dr/2
R1
o R2
阴影部分产生的磁场感应强度为
B
R1
0
1 2
0dr
0R1
2
其余部分：
B
R2
R1
1 2
0dr
1 2
0
(
R
2
R1 )
已知：B B则有R2 2R1
R1
o R2
安培环路定理及应用
一.定理表述
表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何
分析磁场结构，与长直螺旋管 类似，环内磁场只能平行与线 圈的轴线
根据对称性可知，在与环共 轴的圆周上磁感应强度的大 小相等，方向沿圆周的切线 方向。磁力线是与环共轴的 一系列同心圆。
B
R2
R1
L
p
设螺绕环的半径为R1, R2 ，共有N匝线圈。
以平均半径 R 作圆为安培回路 L,可得：
B dl L
电流密度
IS
(体)电流的(面)密度
如图 电流强度为I的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S
(面)电流的(线)密度
电磁学第2讲磁感应线与磁通量安培环路定理.ppt
由环路长度的任意性知： a B1 b
n3
B
垂直 磁感线方向上各点
的 B 都相等.
L
因此，在没有电流
S n1 B1
S B2 n2
的真空区域中，磁感线
互相平行的磁场一定是 均匀磁场。
d B2 c
例2、一根半径为R的长直导线载有电流 I，作一宽 为R、长为l的假想平面S，如图所示。若假想平面S 可在导线直径与轴OO＇所确定的平面内离开OO＇ 轴移动至远处．试求当通过S面的磁通量最大时S平 面的位置(设直导线内电流分布是均匀的)．
复习
磁场 磁感应强度
洛仑兹力： F m qv B
毕奥——萨伐尔定律
dB 0Βιβλιοθήκη Idlr0
4 r 2
应用毕奥 ——萨伐尔定律的步骤：
（1）建立坐标 系，选一般的电流元，写出 dB ;
（2）分解 dB ;
（3）确定各分量积分的积分变量和上、下限；
（4）积分
无限长直线电流的磁场
B 0I
2 r
半无限长直线电流的端点外 B 0I
dB
d L c
B
a
Bb
l1
一般方法和步骤
（1）分析电流分布的对称性和磁场分布 的对称性； （2）过场点取适当的闭合回路，使得 B 在此回路的
环量易求；
（3）求环路 所围电流强度代数和，利用安培环路定 理求 B ；
（4）常见的对称性：轴对称性和面对称性；
（5）选取回路的要求：
i）各处 B 的大小相等且方向可事 先判断； ii）回路可分几部分，某些部分 B dl 0 ，
I L2 L
L2
L1
B dl 0
L2
L2
L
c) 回路内外均有电流时磁感的回路积分
n3
B
垂直 磁感线方向上各点
的 B 都相等.
L
因此，在没有电流
S n1 B1
S B2 n2
的真空区域中，磁感线
互相平行的磁场一定是 均匀磁场。
d B2 c
例2、一根半径为R的长直导线载有电流 I，作一宽 为R、长为l的假想平面S，如图所示。若假想平面S 可在导线直径与轴OO＇所确定的平面内离开OO＇ 轴移动至远处．试求当通过S面的磁通量最大时S平 面的位置(设直导线内电流分布是均匀的)．
复习
磁场 磁感应强度
洛仑兹力： F m qv B
毕奥——萨伐尔定律
dB 0Βιβλιοθήκη Idlr0
4 r 2
应用毕奥 ——萨伐尔定律的步骤：
（1）建立坐标 系，选一般的电流元，写出 dB ;
（2）分解 dB ;
（3）确定各分量积分的积分变量和上、下限；
（4）积分
无限长直线电流的磁场
B 0I
2 r
半无限长直线电流的端点外 B 0I
dB
d L c
B
a
Bb
l1
一般方法和步骤
（1）分析电流分布的对称性和磁场分布 的对称性； （2）过场点取适当的闭合回路，使得 B 在此回路的
环量易求；
（3）求环路 所围电流强度代数和，利用安培环路定 理求 B ；
（4）常见的对称性：轴对称性和面对称性；
（5）选取回路的要求：
i）各处 B 的大小相等且方向可事 先判断； ii）回路可分几部分，某些部分 B dl 0 ，
I L2 L
L2
L1
B dl 0
L2
L2
L
c) 回路内外均有电流时磁感的回路积分
高二物理竞赛课件：磁场的高斯定理及安培环路定理
l Bdl
0 I dl
2πR
0 I
B
dl
R
l
2) 复杂点情形——任意形状的环路
在r 处
B 0I 2 r
B dl Bdl cos Brd
L
2 0I d 0 2
0I
思考：若I 反向或环路反向？
B dl l
0 I
I
•
d
B
r dl
O
d
r
PB
N
M dl
➢环路不包围直导线
B dl B dl B dl
磁场的高斯定理及安培环路定理
磁场的高斯定理及安培环路定理
一、磁力线 (磁场线、磁感线)
1. 磁场线的大小与方向 方向：切线方向表示该点处的磁场方向 2. 磁场线的性质 (1) 任意两条磁场线不相交 (2) 任意磁场线都是闭合曲线
大小：B dN m
dS
(3) 磁场线与形成磁场的电流互相套连，成右螺关系
dS1
1
B1
B2
dΦ1 B1 dS1 0
当磁力线穿入时
2
2
B d S 0——磁场高斯定理
S
dΦ2 B2 dS2 0
意义：说明磁场是无源场
例1、如图所示，求均匀磁场中下曲面的 磁通量
解法一：直接求解
B
n S2
m dm B dS 很难计算
S1
解法二：利用高斯定理
B d S 0 S
S1
将顶端圆面补全，构成一个闭合曲面。
B d S B d S B d S 0 B d S BSB2cdosS
S
S1
S2
S1
S2
三、安培环路定理
l E dl 0 l B dl ?
高二物理竞赛电磁学磁场的高斯定理安培环路定理PPT(课件)
dB
dB
d
P. P.
d B
c
B a b B c d 2Bab i
而0Ii0i ab
i
... . d l
.o.
.
dl
.
.
.
B
1 2
0i
均匀场！
i
i
a
.B b 与P点到平板的距离无关!
P
例8. 求通电流I, 环管轴线半径为R的螺绕环的 磁场分布。已知环上均匀密绕N 匝线圈。
解：由电流对称性,与环共轴的圆周
Bdl L
B2r
0
0r2R 1 2 0I
Ii r 2 R12 R22 R12
.
r
R1
R2
B 0I
2 R22R12
rRr12
I
R22 R12
当 当
R1 0 r R1
；B ；B
0 Ir
2
R
2 2
0 当 r
实心圆柱体内部
的磁感应强度
R2
；B
0I 2 R2
圆柱体内外 壁的磁感应 强度
当
；
r Ampere’s Law
o 1º 静电场中,任意闭合曲面S的电通量:
d drl' 各点产生的B都不为0。
L dl
dsrd
且有
(B dl)90o
(B dl)90o
B d l B d l
B d l c o s B d l c o s
B d s B d s
20Irrdds 20Irdr sd = 0
B
2
0I
R22 R12
rRr12
r
I
R1
R2
高二物理竞赛磁通量磁场的高斯定律和安培环路定理PPT(课件)
LB n kdl
L L B B i i d d l l 0 0 I i i n i 1 1 n 2 ,,, 2 n ,n , ,k 穿过回路的电流
所有电流的总场 任意回路
Bdl L
o
Ii
i
安培环路定理
n
Bdl 0 Ii
i1
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B沿任
形面例积的如磁图通载量流. 长直导线的电解流先为求I,B试，求对通变过磁矩场
B
dx
给B出dΦ后0 I积分求BΦ//S
I
l
dΦB 2πdSx 0I ldx
2πx
d1 d2
ox
x
ΦSB dS20πIldd12dxx
Φ 0Il lnd2
2π d1
7-6 安培环路定理
安培 (Ampere, 1775-1836)
选好积分回路的取向，确定回路内电流的正负；
安培 (Ampere, 1775-1836)
B dl2πR B NI 安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速发展。
l 0 二、安培环路定理的应用
d 由对称性知，完整的载流管壁在轴线上产生的磁感应
NI 0 磁场 的方向与电流 成右螺旋.
载流长螺线管
3、磁感应线特性
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。
二、磁通量
1、磁通量定义：
通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目，定义为磁通量，
用Фm表示。
2、计算
a.
dS垂B 直
b . d S 跟 B 成 角
c. 通过任一曲面的 磁通量
d mBdS d m B co d Ss
高二物理竞赛课件：真空中磁场的安培环路定理
安培环路定理揭示磁场是非保守场(无势场，涡旋场)
规定：与L绕向成右旋关系 Ii > 0， 答案对吗？ 与L绕向成左旋关系 Ii < 0。 结论正确！
例如：
I2
I3
I1
L
I4
L
I i
I1
I2
I3
L
I i
I1
2I2
电流是指与闭合路径互相套链的电流
安培环路定理的应用 基本步骤：
1. 分析电流磁场分布的对称性，选取适当安培环 路，使 B 能从积分号内提出来。
线L的线积分(环流)，等于链接在闭合曲线上各电流代数
和的0倍 。
B l
dl
0
Ii
I1 l
I3
1：成右螺旋方向关系取正，反之取负。 I2
2：不与积分曲线链接的电流不计。
例:如图
B dl
l
0(I1
I2 )
安培环路定理(Ampere circuital theorem)的验证
验证的假定条件: • 电流是无限长直电流。
解：建立如图所示的坐标系
ab
x处磁场为 B 0I
2πx
I
l
面积元
dS ldx
O x dx
x
元通量 dΦm B dS
dΦm
BdS
0 I
2π x
ldx
Φm
SdΦm
0 Il
2π
ab 1 dx 0 Il ln a b
ax
2π b
安培环路定理
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 矢量沿任意闭合曲
B
d
r
dl
• 环路为平面环路，且平面与电流的流向垂直。
2020年高中物理竞赛辅导课件(电磁学)磁场的能量(共16张PPT)
)22π
r
l
dr
I
=
μ I 2l
4π
ln( R 2 ) R1
r dr
计算自感的另一种方法：
因为
Wm
=
1 2
L
I
2
所以
L
=
பைடு நூலகம்
2Wm I2
[例2] 两个共轴圆线圈，半径分别为 R 及r ,匝数分别为N1和N2 ，相距为d ,设 r 很 小，则小线圈所在处的磁场可视为均匀的 ，
求两线圈的互感系数。（湖南名校联盟模拟）
22
I
l
Il
(a)
(b)
已知：l=20cm, b=10cm, N=100
求：(1) Ma , (2) Mb
解：(1)
B
=
m 2
0I px
I
Φ
= sB.dS
=
2b m 0 I
b 2px
.l dx
=
m0I l 2p
2b dx
bx
=
m0 2
I p
l
ln2
Ψ
=NΦ
=
m
0NI 2p
l
ln2
bb l
(a) bb 22
已知：R,r,d, N1 , N2 求：M
解：
B 1=
N 1m0I 1pR2 2 p (R2+d )2 3/2
Ψ 21
=N
2B
1S
=
N 2N 1m0I 1pR2 2 p (R2+d )2 3/2
pr
2
M
=
Ψ21
I1
=
m0N 2N 1pr 2R2 2 (R2+d )2 3/2
2022-2023年高中物理竞赛 电磁学第二章课件
二、物质磁性的起源—安培分子电流假说
由于磁极与电荷之间有某些类似之处,最初曾认为磁极 是“磁荷”集中的所在（称N极有“正磁荷”,S即由“负磁 荷”）,并认为磁性起源于“磁荷”, 磁铁之间的相互作用起 源于“磁荷”之间的相互作用,通过一系列实验,才逐步认识 到“磁荷是不存在的”.
截流螺线管的行为很象一块磁铁,启发物理学 家们提出这样的问题：磁铁和电流是否本源上是一 致的？法国科学家安培提出磁性起源的假说—安培 分子电流假说：组成磁铁的最小单元（磁分子）就 是环形电流.
第二章 恒磁场
§1 前言
一、本章的基本内容及研究思路
在静止电荷的周围存在着电场,如果电荷在运动,那么在它的周 围就不仅有电场,而且还有磁场.不随时间变化的磁场称为稳恒 磁场,有时也称为“静磁场”.稳恒电流激发的磁场就是一种稳 恒磁场.运动的电荷（或电流）要产生磁场,磁场又会对其他的 运动电荷（或电流）有作用力.本章就是从这两个方面来研究磁 场的. 各种矢量场在研究方法上有类似之处,稳恒磁场的许多基 本规律也与静电场对应,可采用与静电场对比的方法研究稳恒磁 场.这样就容易掌握本章的基本内容,也有利于今后的学习.
二、本章的基本要求
1.深刻理解磁感应强度B的概念及物理意义；
2.毕奥—萨伐尔定律是本章的基本定律,要掌握其 内容,并能熟练应用该定律计算磁感应强度B；
3.理解稳恒磁场的两条基本定理,熟练应用安培环 路定理计算具有对称性分布的磁场； 4.正确理解并掌握安培定律和洛仑兹力公式,了解 安培力和洛仑兹力的关系.
§2 磁的基本现象和基本规律
一、磁的基本现象
人类对磁现象的认识是很早的,最早发现的磁现象是 天然磁石吸铁的现象,我国远在春秋战国时期（公元前六、 七世纪）的古书中已有记载,我国古代的“磁石”写作“慈 石”,意思是“石铁之母也.以有慈石,故能引其子”.我国 河北省的磁县（古时称磁州和慈州）,就是因为附近盛产天 然磁石而得名.指南针是我国古代的伟大发明之一,对世界 文明的发展有重大影响.
磁场的安培环路定理ppt课件
对任意闭合回路L，由于：
P. 6 / 31 .
dl dl// dl
dl B
B dl B dl 0I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
I
L
dl dl
dl
dl//
L//
包围载流导线，则 B dl 0 。 L
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
L
L 2 r
I
| d l | cos rd
P. 3 / 31 .
L
I d r dl
B
B dl 0I | dl | cos 0o
L
L 2 r
0I 2 r
dl 0I
L
B
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
P. 13 / 31 .
☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。
☻ B dl 只与回路包围的电流有关，与L外的电流无 L 关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。源自 B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。
如图所示：
B dl L
0(I2 I3 2I4)
L
I1 I2 I3 I4
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
P. 6 / 31 .
dl dl// dl
dl B
B dl B dl 0I
L
L//
易证：若闭合回路 L 不
I
L
dl dl
dl
dl//
L//
包围载流导线，则 B dl 0 。 L
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
L
L 2 r
I
| d l | cos rd
P. 3 / 31 .
L
I d r dl
B
B dl 0I | dl | cos 0o
L
L 2 r
0I 2 r
dl 0I
L
B
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
P. 13 / 31 .
☻若被回路包围的电流 I 的流向与回路绕向构成右手关
系，则 I > 0 ；否则，I < 0 。
☻ B dl 只与回路包围的电流有关，与L外的电流无 L 关；但环路上各点的 B 却与空间的所有电流有关 !
在恒定磁场中，磁感强度B沿任意闭合路径的积分(即
环流)等于该路径所包围的电流强度代数和的μ0倍。源自 B dl 0 Ii
L
(L内)
L：称为安培回路。
如图所示：
B dl L
0(I2 I3 2I4)
L
I1 I2 I3 I4
I5
Chapter 7. 恒定磁场 作者：§杨7茂.6田安培环路定理
2020年高中物理竞赛—电磁学B02安培力定律 磁感应强度 (共11张PPT)
会对处于其中的运动电荷（电流）或磁体产生力的作用
磁场强度矢量
处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力dF与该点磁场B、电流元
强度和方向有关，即
v v v
dF Idl B
安培力公式
毕奥－萨伐尔定律
v Idl
若
v B
v 由电流元 I0dl0
v dFm
0 4
产生，则由安培力定律
v Idl
v (I0dl0 R3
解：在导线上任取电流元 Idz，其方向沿着电流流动的方向，即 z
方向。由比奥—萨伐尔定律，电流元在导线外一点P处产生的磁感
应强度为
v dB
0 4 R3
Id zv R
0 4
I
sin
R2
dz
av
v B
av
0 I 4
B A
sin
R2
dz
AO
1
r
P
z Idz
R
其中 R r csc , z r ctg , dz r csc2
Bz
2
v
B
av
0 I 4 r
2
sin
1
d
0 I 4 r
cos 1
cos2 av
结果分析
当导线为无限长时，1→0，2→
v B
0 I 2 r
av
例：求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。
分析：在轴线上，磁场方向沿z向。 电流分布呈轴对称。
z
P(0, 0, z) v R
解：建立如图柱面坐标系。
v R)
v Idl
v B
rv'
Байду номын сангаас
v
2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)02宏观电磁场的基本规律：安培定律和恒定电流的磁场(共
F12
0 4
l1 l2
I2dl2
I1dl1 R12 R132
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
实验进一步证明，电
流体对于置其中的电
流元 I0d l 有力的作
I0d l
用，电流元 I0d l 受
到的作用力是电流体
中所有电流与电流元
I0d l 作用的叠加。
dF I0dl
j
0 4
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
区域V上的磁感应强度的数值为
检验电流元受到作用力最大值 与检验电流元比值的极限
Br lim d F max
dl0 I0d l
磁感应强度的方向垂直电流元与 电流元受力方向所构成的平面， 三者满足右手螺旋法则。
dF I0dl Br
dF
I0 dl
B
Br
Idl j
R
3 j
Rj
I 0 dl
0 4
V
J
r
r
r
r
3
r
dr
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
2 Biot—Savart 定律与磁感应强度 实验证明，任一恒定电流元Idl在其周围空 间激发出对另一恒定电流元（或磁铁）具 有力作用的物理量，称为磁场。恒定电流 元之间的相互作用力是通过磁场传递的， 对恒定电流有力的作用是磁场的基本特性
0 4
V
J r'
R3
RdV
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
3 磁矢位
如果记
Ar
0 4
V
J
r'
dV
R
磁感应强度矢量可表示为：
高二物理竞赛课件：有磁介质存在时的安培环路定理
即
n D2 D1 0
或
D1n = D2n
即
或
E1t = E2 t
8
用有磁介质存在时的安培环路定 理解决问题的步骤为
H B M I
9
例：在相对磁导率r=1000的磁介质环上均匀绕
着线圈, 单位长度上的匝数为n=500m-1，通电流
I=2.0A。求磁介质环内的磁场强度H、磁感应强
有磁介质存在时的 安培环路定理
1
有磁介质存在时的安培环路定理
定义磁场强度矢量
j0为传导电流密度，S以L边界曲面。上式是有 磁介质存在时的安培环路定理，是安培环路定 理的普遍形式。
2
引入磁场强度 H与在静电场中存在电介
质时引入辅助量电感应强度 的D情形是很
相似。
微分形式可写作
3
对于各向同性的顺磁质和抗磁质，实验存在
6
在介质分界面处作一矩形的回路abcda，使两 长边分别处于两种介质中与界面平行，短边很小
取切向单位矢量t 的方向沿界面向上。 H2
t
假设在界面上不存在传导
电流，根据安培环路定理有
r2 r1
界面
l
H1
即H1t=H2t，表示从一种介质过渡到另一种介质， 磁场强度的切向分量不变。
7
S DdS D1 (nΔS) D2 (nΔS) 0
M m H
表示对于各向同性的顺磁质和抗磁质，磁化强度与
磁场强度成正比。式中m 称为磁介质的磁化率。
B 0(1 m)H
定义 r = 1+m 是磁介质的相对磁导率
= 0 r 称为磁介质的绝对磁导率
4
对于顺磁质m >0，r>1；对于抗磁质m<0，r<1； B和磁化强度M。
高二物理竞赛课件：磁介质中安培环路定理
磁场强度沿任何闭合回路的线积分，等于该 回路所包围的传导电流的代数和。
线性磁介质
各向同性磁介质 M H （磁化率）
H
B
M
B
H
0
0
B 0 (1 )H
1 顺磁质
相对磁导率 r 1 磁 导 率 r0
r 1 抗磁质
1 铁磁质
（非常数）
➢ 各向同性磁介质
B r 0H H
讨 论
得
H1
Ir
2R12
B1
0 Ir 2R12
R1 R2
r R3
对于R1<r<R2，有
If I
H2
I
2r
M 2
(r
1)
I
2r
对于R2<r<R3，有 I f
得
B2
r 0 I 2r
I
I
(r 2
(R32 R22 )
R22 )
得
H3
I (R32 r 2 )
2r(R32 R22 )
同样忽略导体的磁化，有M3=0
对抗磁质(μr<1) ，在磁介质内表面(r=R1) ， 磁化电流与内 导体传导电流方向相反；在磁介质外表面(r=R2) ， 磁化 电流与外导体传导电流方向相反。顺磁质的情况与抗磁质
相反。
磁化特性曲线
B
饱和磁感应强度
剩磁
Bm.
B
r
.
Q
P
初始磁 化曲线
H.m
矫顽力
P’
HC .
.F
CO
HC
O'. Br . Bm
.H
Hm 磁滞回线
B
Bmax
P
N B H曲线
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也可理解为场点
P作平移dL2引
起立体角变化
‘:曲面S’对 P点所张立
体角
' 0, '
可看成是场点坐标r2的函数
北京大学物理学院王稼军编写
坐标r2的函数
泰勒展开
' dl2 代入前式
B(r2 ) dl2
0I 4
dl2
B 0I 4
反映了载流线圈与磁偶极子是等价的 两个讨论磁化的模型是等价的 在下面证明安培环路定理时直接引用
安培环路定理应用举例
无限长圆柱形载流导体磁场 载流长直螺线管内的磁场 载流螺绕环的磁场 习题 p144 2－17、19、20
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
无限长圆柱形载流导体磁场 p106 例题6
导线半径为R，电流I均匀地通过 横截面
轴对称(利用B是轴矢量分析）
取环路：分两种情况
L
S内
R>>d
n
N
2R
,B
0nI
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
B 0NI 2r
形式上与无限长螺 线管内磁场一样
例题：
一根半径为R的无限长圆柱形导体 管，管内空心部分半径为r，空心 部分的轴与圆柱的轴平行，但不 重合，两轴间距为a，且a>>r，现 有电流I沿导体管流动电流均匀分 布，电流方向如图求：
( L1 )
(dl2
dl1) rˆ12 r122
rˆ12 r122
rˆ21 r221
0I 4
( L1 )
(dl2
dl1) rˆ21 r221
0I d 0I
4 (L1)
4
整个线圈在位移 -dL2扫过的环带 对场点p所张
的立体角
灰色面 元所对 立体角
:曲面S 对P点所 张立体角
2005.3
磁感应强度是轴矢量
镜像反射的变化规律
极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
• dl 、r、v、F、E 、P
轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向
两个极矢量叉乘＝轴矢量
由毕奥－萨筏尔定律决定
dl
r
B是轴矢量
推论：镜面对称的载流系统在镜面处产生的 磁感应强度垂直于镜
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
空间所有电流 产生的磁感应 强度矢量和
B dl 0 I
L
L内
穿过闭合环 路的电流
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定பைடு நூலகம்的微分形式
利用斯托克斯定理
Bdl 0 I
L
L内
( B) d S 0 j d S
S
S
B 0 j
微分形式
说明B的旋度不为零——有旋场
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
2020高中物理竞赛
电磁学
安培环路定理
载流线圈与磁偶极层的等价性 安培环路定理的表述和证明 磁感应强度是轴矢量 安培环路定理应用举例
载流线圈与磁偶极层的等价性
证明闭合载流线圈产生的磁
场正比于线圈回路对场点所
张的立体角的梯度
B(r2 )
0I 4
( L1 )
dl1 rˆ12 r122
L1在P点产生 的磁感应强度
相当于P不动线 圈作-dL2位移
B(r2 ) dl2
0I 4
(L1 )
dl2
(dl1 r122
rˆ12 )
0I 4
(L1 )
(dl2
dl1) rˆ12 r122
运用A (B C) (A B) C
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
设想P有一 小位移dL2
B(r2 ) dl2
0I 4
求管内任意P点的磁场 nIa
Ba
B dl 0Ii
L
S内
0
Bdl Bdl Bdl Bdl Bdl B 0nI
L
P
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
载流螺绕环的磁场 p109 例题8
密绕，匝数：N，电流：I
利用B是轴矢量的特征分析 场的对称性：
磁感应线与环共轴
B dl B 2r 0 Ii 0NI
L2穿过S时B是连 续且有限的，
P2
P1
——0
B dl B dl B dl
载流回路为 边界的曲面S
(L)
p1
p2
( L1 )
( L2 )
P2 B dl 0I
P2
dl
p1
4 p1
B 0I 4
L1：P1 从上到下 P2 L2：P2 从下到上 P1
( L1 )
( L1 )
曲面两侧两点无限趋近曲
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
安培环路定理表述和证明
表述：
磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于
穿过这环路所有电流强度的代数和的0倍
B dl 0 I
L
L内
I I1 2I2
L内
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
证明
L与载流回路套连
从毕奥—萨筏尔定律出发
先考虑单回路 再推广
洞内的B 洞中心O’及大圆柱内一点的B
在哪些情况下可以用安培环路定 理求B？
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
谢谢观看！
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
r R,
I内
I,B
0I 2r
电流 密度
r R,
I内
I
R 2
r
2,
B
0 Ir 2R 2
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
载流长直螺线管内的磁
场 p108 例题7
无穷远处
密绕，L>>R，忽略螺距； 磁场为0
B是轴矢量，垂直于镜面；
论证管外B=0
管外即使有磁场也是沿轴向的；
作回路如a，可以证明p 点B=0;
0I 4
(2
1)
0I 4
4
0I
面时，立体角趋近于4
2005.3
北京大学物理学院王稼军编写
P2
P1
B dl B dl B dl 0I
(L)
p1
p2
( L1 )
( L2 )
如果，安培环路与载流回路 不套连，则环绕它一周立体 角回到原值，积分为 0
运用叠加原理，推广到多个 载流回路