中南大学数值计算方法

1 2 f 2 2! x 1 f x 2 2
2
f * 2 ( x1 x1 ) x x 1 2
2
*
* * ( x x )( x x 1 1 2 2)
*
* 2 ( x 2 x2 )
16
准确值 x 的范围
或
若对于 x 15 2
y 1000 5
哪个更精确呢?
x * 15
y * 1000
x * 15吗？
* *
( x* ) 2 * ( y ) 5
* 设 x 为准确值 , x 为x的一个近似值 ,称 定义2.
E( x ) x x Er ( x ) x x 为近似值 x *的相对误差 , 可简记为 Er .
9
三、数值算法
数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程. 数值算法有四个特点:
1.目的明确
2.定义精确 3.可执行 4.步骤有限
算法必须有明确的目的,其条件和结论 均应有清楚的规定 对算法的每一步都必须有精确的定义
算法中的每一步操作都是可执行的 算法必须在有限步内能够完成解题过程
10
例1. 给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法 解:
*
* 1 * 2
*
E2
*
y *的绝对误差限 为
f f E( y ) x E1 x E2 1 2
*
* *
f f x E1 x E2 1 2 f f x 1 x 1 2
* 1 *
f x f * * * * r 1 r 2 r ( y ) x x y 1 2 24
* 2 *
*
*
f f E( y ) x E1 x E2 1 2
1. 取N 0, S 0
记数器置零
2. N 1 N , S N S
3. 若N 10000 , 转2，否则
4. 输出N , S
11
§ 1.3 误差
一、误差的种类及来源 模型误差 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别. 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 12
* 2 *
*
E2 x* 2 * E r2
*
*
x y
* 1 *
f x f * x Er 1 y x 1 2
* 2 *
*
y *的相对误差限 r* ( y * )
x E (y ) y
* r *
Βιβλιοθήκη Baidu
2
本章要点:
绝对误差(限)和相对误差(限) 有效数字位数及其与误差的关系 数值问题的性态与误差的关系 数值算法设计原则
3
§ 1.1 数值方法的研究对象与特点
以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:
总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计
数值方法研究的是将数学模型化为数值问题，研究求 解数值问题的数学方法进而设计数值算法
1 1 0.166666666 3! 6
过失误差
3.1415927
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免
14
数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差
5
输出的数据是解向量 x , 和方程的解 x1 , x2
求解微分方程
y 2 x 3 y( 0 ) 0
不是数值问题
输入的虽是数据 , 但输出的不是数据而是 函数y x2 3x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y x2 3x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),, y( xn ), x1 x2 xn
因此 E( x* ) x* x 往往也无法求出 而只能知道E( x* ) x* x 绝对值的某个上界 ,即 |E( x* )| |x* x| ( x* )
数值 ( x )称为x 的 绝对误差限或误差限, 简记为
* *
显然 且
0
x* x x* x x*
3.141 592 7
*
可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位
20
三、误差的传播与估计(补充)
设y f ( x1 , x2 )为二元函数
* y y的近似值 x , x 分别为x1 , x2的近似值, 为相应的
* 1
* 2
即
* * y * f ( x1 , x2 )
经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象. 二、误差和误差限
,称 定义1. 设x为准确值, x *为x的一个近似值
E( x * ) x * x * 为近似值 x 的绝对误差 , 简称误差, 可简记为 E.
15
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
解:
绝对误差 E e* e 0.000 001 82
|E| 0.000 001 82 0.000 002 2 106
2 106 6 2 10 * r * | e | 2.718 28
和 r*并不
是唯一的
2 106 6 0.71 10 2.718 28
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
6
二、数值方法
数值方法: 是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式
在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式
现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()
常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等 要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算
* * 函数f ( x1, x2 )在点( x1 , x2 )处的Taylor 展开式为
* * f f * * * * f ( x1 , x2 ) f ( x1 , x2 ) x ( x1 x1 ) x ( x2 x2 ) 2 1
Taylor展开
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
13
舍入误差
在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因 计算机受到机器字长的限制,它所能表示 的数据只能有一定的有限位数,如按四舍 五入规则取有限位数,由此引起的误差
3.14159265
2 1.414213562
7
如求根公式 应化为公式
x1 , 2
x1 , 2
b b 2 4ac 2a
b sqrt(b 2 4ac) 2a
2 n x x ex 1 x 2! n!
超越函数e
x
应化为
函数y( x)的导数y( x)的计算应化为
y( x h ) y( x ) y( x ) h
19
3,5,7 位数的近似值 , 例2. 若经四舍五入取小数点后 求绝对误差限 .
解:
*
3.141 592 65
| * |
3.142
0.000 407
0.5 103
* 3.141 59
0.000 002 65 0.5 105
7 0 . 5 10 0.000 000 04
* * E1 , E2分别为x1 , x2 的绝对误差 * * 1 , 2分别为x1 , x2 的绝对误差限 * * Er*1 , Er*2分别为x1 , x2 的相对误差 * * r*1 , r*2分别为x1 , x2 的相对误差限
21
* * 考察y *的误差与x1 , x2 的误差的关系

* r

|x |
*
因此
x 15
*
(x ) 2
*
y * 1000 ( y * ) 5
2 (x ) 13.33% 15 5 * * r ( y ) 0.5% 1000 18
* r *
* 已知 e 2 . 718 281 82 , 其近似值为 e 2.718 28, 例1. 求e*的绝对误差限 和相对误差限 r* .
*
f f f (x , x ) x E1 x 1 2
* 1 * 2
*
E2
*
22
y *的绝对误差为
f f E( y ) f ( x , x ) f ( x1 , x2 ) x E1 x 1 2
8
研究数值方法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、 矩阵特征值及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法
Ax b
i 2 ,3 , , n
第一章
引论
中南大学
数学科学与计算技术学院
陈海波
Ax b 第一章
i 2 ,3 , , n 引论
§ 1.1 数值计算的研究对象与特点 § 1.2 数值问题与数值方法
a11 a21 A an 1
华长生制作
a12 a1 n 误差 § 1.3 a22 a2 n i 1 b l x i ij j j 1 an 2 ann x i lii
4
§ 1.2 数值问题与数值算法
一、数值问题 数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述
即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
ax2 bx c 0
是数值问题
输入的数据是系数矩阵 A, 常数项向量 b与系数a , b, c
*
*
*
绝对误差 增长因子
*
*
*
2
*
23
y *的相对误差 Er* ( y * )
f E1 f E2 E( y ) * * E (y ) x1 y x2 y y*
* r * *
* *
x y
* 1 *
f E1 x f x x* y x 1 1 2
观测误差
截断误差
过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差.
如:
2 3 x x ex 1 x 2! 3!
x 3 x 5 x7 sin x x 3! 5! 7! x2 x3 x4 ln( 1 x ) x 2! 3! 4!
*
x x Er ( x ) r ( x* ) r x
* *
华长生制作
relative error
为近似值x *的相对误差限
17
相对误差限
r

|x|
绝对误差限 往往未知
代替相对误差 代替相对误差限
* * E ( x ) x x * * Er ( x ) * x x*