保险精算学课件一二

2014-8-12
支付期间某时刻的年金当前值
以时刻7的年金现值为例 3年期末年金的现值与5年 期末年金的积累值之和 4年期初年金的现值与4年 期初年金的积累值之和
V ( 7 ) a3 s5
4 4 V( 7 ) a s
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支付期间某时刻的年金当前值
以时刻7的年金现值为例 时刻2或时刻3的现值 积累到时刻7 累值贴现到时刻7
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第二节
利息问题求解原则
利息问题求解四要素
原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式
期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息
利息转换时期：实质利率、名义率利、利息效力
本金在投资期末的积累值
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利息问题求解原则
本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知
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利息度量——计息方式不同
指数积累
复利
a (t ) (1 i ) in i
复贴现
t
a (t ) (1 d ) dn d
1
t
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单复利计息之间的相关关系
按定义不同
单利利息不作为投资资金继续产生利息 复利利息可计入投资资金继续产生利息
$1
$1
$1
$1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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首期支付前某时刻的年金现值
以时刻0的年金现值为例 可通过时刻2或时刻3 的年金现值贴现得到 可通过两个年金相减 得到
8 V ( 0 ) v 2 a8 v 3 a
V ( 0 ) a10 a2
11 a 3 V( 0 ) a
j，记 i (m)为这一年的名义利
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(m) i mj 率 ，
名义利率
(m) i 名义利率
i 1 1 i m
(m)
1
m
1
i
( 4)
4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
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例1.2
某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
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利息度量——利息转换频率不同
实质利率
以一年为一个利息转换期，该利率记为实
质利率，记为 。
名义利率
的利率为
i
在一年里有m个利息转换期，假如每一期
期末考试
70%
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第一章
利息理论基础
教学要求与重难点
了解利息的各种度量 掌握常见利息问题的求解原理
重点：
利息问题的求解 难点： 利息的度量
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第一节
利息的基本概念
利息的定义
定义： 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合 实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用 以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金 而蒙受的损失。 影响利息大小的三要素： 本金 利率 时期长度
期初年金和期末现终值的关系
$1
$1
$1
$1
$1
$1
$1
0
1
2
3
4
5
n-1
n
n+1
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任意时刻的年金值
任意时刻的年金值可分为三类：
首期支付前某时刻的年金现值（0时刻的现值）
最后一期支付后某时刻年金终值（12时刻终值） 支付期间某时刻的年金当前值（7时刻当前值）
$1
$1
$1
$1
按实际利率的不同
单利 产生利息 实际利率 相同 递减 复利 递增 相同
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单贴现 相同 递增
复贴现 ？ 相同
单复利计息之间的相关关系
按计息的时间不同 t 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利
计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单
利计息。
t 1时，相同单复利场合，复利计息比单利 计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复 利计息。
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实质利率与实质贴现率
初始值
1
利息
积累值
v
i d
1
1 i
1
v 1 d （ 1 i）
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利息度量——计息方式不同
线形积累
单利 a (t ) 1 it
i in 1 ( n 1)i
单贴现
a 1 (t ) 1 dt d dn 1 ( n 1) d
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基本年金图示
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 ------- 1 ---- 1 1 ---3
1 1 0 1
1 1--- 延付永久年金 1---初付永久年金 0 0--初付年金 0 0--延付年金
0
------- n n+1 n+2--2014-8-12
期末年金
期末年金现金流的现值
保险精算学
田 乾 tianq@ahstu.edu.cn
教材
指定教材 李秀芳等，保险精算（第二版），中国人民大学 出版社，2008
参考资料
王晓军等，保险精算原理与实务（第二版）中国 人民大学出版社，2010 张连增，利息理论，南开大学出版社，2005 熊福生等，寿险精算学，武汉大学出版社，2006
1 v 1 an|i v sn|i ,v i 1 i
n n
$1 $1 $1 $1 $1
$1
$1
0
1
2
Fra Baidu bibliotek
3
4
5
n-1
n
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【例2.1】
一项年金在20年内每半年末付500元，设利 率为每半年转换9%，求此项年金的现值。
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【例2.2】
一项贷款，总额为1000元，年利率为9%。 设有一下三种偿还方式：
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利息的基本概念
基本的概念
本金
积累值（终值）
利息额
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关于利息度量的基本概念
利息的度量：
积累因子 贴现因子 积累函数 金额函数 贴现函数 第N期利息
1 i
( 1 i )1 v
a( t )
A(t )
a 1 (t ) I (n) A(n) A(n 1)
4
1
i
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1 i
名义贴现率
名义贴现率 d ( m )
d 1 1 d m
(m)
m
d 1 4
( 4)
4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
d ( 4) 1 4
1
年金的终值
一系列收入款在年金支付期末的值
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年金的分类
基本年金
等时间间隔付款
付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定
一般年金
不满足基本年金三个约束条件的年金
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第一节
基本年金
标准年金
定义
利率转化周期=支付周期 每次付款金额恒定
分类
付款时刻不同：初付年金（期初年金） 延付年金（期末年金） 付款期限不同：有限年金 永久年金
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末期支付后某时刻的年金积累值
以时刻12年金积累值为例 可通过时刻10或11的年 金积累值在积累得到 可通过两个年金相减得 到
8 V ( 12 ) ( 1 i )2 s8 ( 1 i ) s
V ( 12 ) s10 s2
9 1 V ( 12 ) s s
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利息的度量——计息时刻不同
期末计息——实际利率
第N期实质利率
I ( n) in A(n 1)
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利息度量——计息时刻不同
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
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【例1.1 】
某人存1000元进入银行，第1年末存款余 额为1020元，第2年存款余额为1050元， 求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分 别需要几年？
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例1.9：求积累值
某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
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第二章
8 V ( 7 ) ( 1 i )5 a8 ( 1 i )4 a
时刻10或时刻11的积
8 V ( 7 ) v 3 s8 v 4 s
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【例2.3续】
某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款 30万元，计划在15年里每月末等额偿还。 问：（1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款， 问除了该月等额还款额之外他还需一次性
贷款总额以及应付利息在第10年年末一次性偿 还； 每年年末偿还该年度的应付利息，本金在第10 年年末偿还； 在10年中每年年末进行均衡偿付
分别计算在三种偿还方式下所支付的利息 额。
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期初年金
期初年金现金流的现值
1 v 1 n|i v n|i a s ,v d 1 i
n n
期初年金
$1
$1
$1
$1
$1
$1
$1
0
1
2
3
4
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n-1
n
【例2.3】
投资者希望通过投资一项基金使得在第12 年年末积累额为1000元，该投资者计划在 每年年初向基金存入一笔等额的款项，设 年利率为7%，计算每期应向基金存入的金 额。
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期初年金与期末年金的关系
【例1.5】
如果
t
如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%， 最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累 值。
1 1 t
，试确定1在n年末的积累值。
假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，
随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年
后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应 该为多少？
三求一的问题 工具：现金流图 方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
现金流 p0
p1
p2

pn
时间坐标
0
t1
t2
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tn
例1.6：求本金
某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
年金
教学要求与重难点
了解年金的定义、类别； 掌握年金求解的基本原理和常用技巧。
重点：
年金求解的基本原理和常用技巧 难点： 年金求解的基本原理
2014-8-12
年金的定义
年金的定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推 广到任意间隔长度的系列付款。 年金的现值 一系列收入款在年金支付期首的值
2014-8-12
基础 利息理论基础 生命表基础 核心 保费计算 责任准备金计算 保单的现金价值与红利 拓展 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 风险投资和风险理论
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课程结构
考试方式
平时成绩
10%
出勤，课堂听课，回答问题等方面完成情况 实验成绩 20% 提交实验报告
1 d
d
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1
【例1.3】
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度
转换6%名义贴现率。
2014-8-12
利息效力
定义：瞬间时刻利率强度，即对利息在各 个时点上的度量 A(t ) d t ln A(t ) A(t ) dt a(t ) d ln a(t ) a(t ) dt
limi ( m ) limd ( m )
m m
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等价公式
一般公式
a(t ) e
t 0 s ds
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【例1.4】
确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
1、
5%
2、 t
0.05(1 t )
2
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例1.7：求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实际利率=？
2014-8-12
例1.8：求时间
假定 i
(12 )
分别为12%、6%、2%，问在这三