等差数列知识点汇总

专题二 等差数列巩固

——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘

一、明确复习目标

1．理解等差数列的概念和性质；

2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能用公式解决简单问题

二．建构知识网络

1．定义：)()(1•

+∈=-N n d a a n n 常数

2．通项公式：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= d =

11--n a a n ，d =m

n a a m

n --是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)

1(2)(11-+=+=21()22

d d n a n =+- 变式：

21n a a +=n

S n

4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则 (1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q

(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.

(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列.

(4)当n=2k-1为奇数时，S n =na k ；S 奇=ka k ，S 偶=(k-1)a k (a k =a 中) 6．等差数列的判定方法(n ∈N*)

(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a

(3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2

7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 三数:d a a d a +-,,, 四数d a d a d a d a 3,,,3-+-- 8.会从函数角度理解和处理数列问题.

三、双基题目练练手

1.（2006全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

3613s s =，则612

s

s = ( ) （A ）

310 （B ）13 （C ）18 （D ）1

9

2. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是

( )

A 5

B 4

C 3

D 2

3.等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则 ( ) A. S 10小于0，S 11大于0 B. S 19小于0，S 20大于0 C. S 5小于0，S 6大于0 D. S 20小于0，S 21大于0

4.(2006天津)已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且

511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100 （ ）

5.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p 是一常数，则S 13=

6.在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,则n= .

简答:1-4.ACBC; 3. a 11＞|a 10|=－a 10，∴a 10+a 11=a 1+a 20＞0.

∴S 20=10（a 1+a 20）＞0.选 B

4.11110(1)(1)13,5(413)85n b n a a b a b n n S =+-=++--=-=+=

5. a 2+a 4+a 15=p （常数），∴3a 1+18d =p ，即a 7=3

1

p . ∴S 13=

2)(13131a a +⨯=13a 7=3

13

p .

6.设首项为1a ,公差为d ,则⎩⎨⎧-==⎩⎨

⎧+=-+=3

18

8639111d a d a d a 得

76:)1(2

3

1863==--==∴n n n n n S n 或得

四、经典例题做一做

【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390, 求这个数列项数.

(2)等差数列{}n a 的前10项的和,10010=S 前100项的和10100=S ,求前110项的和.110S 解(1)1231234,146n n n a a a a a a --++=++=Q 又

12132n n n a a a a a a --+=+=+Q

11:3()180,60n n a a a a +=+=两式相加得,13,3902

)

(1==+=

n a a n S n n 得由 (2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项1a 与公差d 的两个方程.

解法一:设{}n a 的首项为1a ,公差d ,则11

111110109100502:1109910010099102100d a d a d a ⎧⎧

=-+⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪+⨯⨯==⎪⎪⎩⎩

解得

1101091102

1

1101110-=⨯⨯+=∴d a S

分析二:运用前n 项和变式: Bn An S n +=2

解法二: {}n a 为等差数列,故可设Bn An S n +=2

,