集合的表示法
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2
1 即方程 ax ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 存在两个根－ 和 1 ，此时 A ＝ 3
2
1 － ，1，与 3
A＝{1}矛盾．
故不存在实数 a，使 A＝{1}．
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2．用描述法表示下列集合： (1)被 5 除余 1 的正整数集合； 2－x (2)使 y＝ 有意义的实数 x 的集合； x (3)抛物线 y＝－x2 上的所有点组成的集合．
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代表 元素的共 描述法 写出 思路点拨： ―→ ――→ 元素 同特征 集合
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解： (1) 正偶数都能被 2 整除，所以正偶数可以表示为 x ＝ 2n(n∈N*) 的 形 式 ， 于 是 这 个 集 合 可 以 表 示 为 {x|x ＝ 2n ， n∈N*}． (2)由3x－2＞4，得x＞2，故不等式的解集为{x|x＞2}． (3)第一、三象限中点(x，y)满足xy＞0，于是这个集合可以 表示为{(x，y)|xy＞0}．
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2．对描述法表示集合的理解 (1) 描述法中竖线左边的任意元素 x ，我们可以理解为集合 中的代表元素，即集合中元素的一般形式，不一定是数． (2)共同特征P(x)可以是一个表达式，也可以是一个不等式 ( 组 ) 或方程 ( 组 ) ，也可理解为集合的代表元素所满足的限制条 件．
述法表示时，可以省去竖线及其代表元素．但所有三角形的集
合不能表示为 { 所有三角形 } ，因为 “ { 有”、“全部”的意思．
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}” 本身就有 “ 所百度文库
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1．列举法表示集合的适用范围、注意点及优点
(1)若集合中元素的个数比较少，用列举法表示较为简单．
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(2) 在本例条件下，若 A中至少有一个元素，求 a 的取值范 围． 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1. ∴A中至少有一个元素时， a的取值范围为a≤1.
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【互动探究】 若将例2(3)改为“坐标平面内坐标轴上的点 组成的集合”，如何用描述法表示？ 解： 对 x 轴：纵坐标为 0 ，横坐标为任意实数；对 y 轴：横 坐标为0，纵坐标为任意实数．故坐标轴上的点满足xy＝0.用集 合表示为{(x，y)|xy＝0}．
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解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}． (2){x|x≤2，且x≠0，x∈R}． (3){(x，y)|y＝－x2}．
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列举法和描述法的灵活运用 用适当的方法表示下列集合：
(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；
(3)若1∈A，则a为何值？
解：∵1∈A， ∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
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(4) 是否存在实数 a ，使 A ＝ {1}，若存在，求出 a 的值；若 不存在，说明理由．
解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即 a＝－3. 1 又当 a＝－3 时，由－3x ＋2x＋1＝0，得 x＝－3或 x＝1，
1 此时 x＝－2，符合题意； 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 为一元二次方程， Δ＝4－4a＝0，即 a＝1，原方程的解为 x＝－1，符合题意． 故当 a＝0 或 a＝1 时， 原方程只有一个解， 此时 A 中只有一 个元素．
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故一次函数 y ＝ x 与 y＝ 2x － 1 图象的交点组成的集合为 {(1,1)}．
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1．用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 2．注意点 (1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其
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2．想一想 (1)集合{x|x＞3}与集合{t|t＞3}表示同一个集合吗？ 提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实 质上它们均表示大于 3的所有实数组成的集合，故表示同一个 集合． (2)所有三角形的集合，能否表示为{所有三角形}? 提示：在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描
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用列举法表示集合
用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (2)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．
(2)大于10的整数组成的集合． (3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
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解 ： (1) 列 举 法 ： {1,2,3,12,21,13,31,23, 32, 123,132, 213, 231, 321,312}． (2)列举法：{11,12,13,14,15，„}． 描述法：{x|x是大于10的整数}． (3)描述法：{(x，y)|y＝x2－10}．
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利用描述法表示集合应关注五点
(1) 写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合 {x∈R|x ＜
1}不能写成{x＜1}． (2) 所有描述的内容都要写在花括号内．例如， {x∈Z|x ＝ 2k} ， k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花 括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(2) 若集合中元素个数较多或无限个，且呈现一定的规律 性，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其 他元素用省略号表示． (3)“{}” 表示“所有”，“整体”的含义，如实数集 R 可以
写成{实数}，但不能写成{实数集}，{全体实数}，{R}等．
(4) 列举法的优点是可以直观表示集合中具体元素及元素的 个数，缺点是不能反映集合元素满足的特征．
他的对象，即先定性．
(2)元素之间用“，”隔开而非“；”． (3) 元素不能重复且无遗漏．
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1．(1)由book中的字母组成的集合． (2)方程(x－2)2＋|y＋1|＝0的解集．
解：(1)由 book 中的字母组成的集合为{b，o，k}． (2) 由 方 程 (x － 2)2 ＋ |y ＋ 1| ＝ 0
x＝2， y＝－1， x－2＝0， 可知， y＋1＝0，
即
从而方程的解集为{(2，－1)}．
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用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合； (2)不等式3x－2＞4的解集； (3)在平面直角坐标系中，第一、三象限点的集合．
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用列举法和描述法表示集合的三点要求
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3．用适当的方法表示下列集合： (1)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部所组成的没有重
复数字的数的集合．
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解：(1)列举法：{6,7,8}． (2)列举法：方程 x2＋y2－4x＋6y＋13＝0 可化为 (x－2) ＋(y＋3)
2 2
x＝2， ＝0，∴ y＝－3，
∴方程的解集可表示为{(2，－3)}． (3)列举法：{(0,0)，(2,0)}． (4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
第一章 集合与函数概念
第2课时
集合的表示
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1．掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重 点、难点)
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【借题发挥】 解答上面例题时， a ＝ 0 这种情况极易被忽 视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它 是一元一次方程；二是 a≠0 ，即它是一元二次方程，也只有在 这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
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解方程 得方程根 列举法 写出 思路点拨： ―→ ――→ 组 交点坐标 集合
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解：(1)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1，故其实数根 组成的集合为{－1,0,1}．
y＝x， (2)由 y＝2x－1， x＝1， 解得 y＝1.
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(4)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
选择适 明确集 明确元 集合中元 当的方 思路点拨： 合中的 ―→ 素满足 ――→ 素的个数 法表示 元素 的条件 集合
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1．列举法表示集合
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2．描述法表示集合
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都可以用列举法表示．(× ) (2)方程x2－2x＋1＝0的解集可表示为{1,1}．(× ) (3){0,1}和{(0,1)}是相同的集合．(×)
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(3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数 集时可以省略不写，例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表 示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． (5) 在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如 {直角三角形}，{自然数}等．
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【多维探究】(1)在本例条件下，若A中至多有一个元素， 求a的取值范围． 解： A 中至多含有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元 素． 当A中只有一个元素时，由本例可知，a＝0或1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a＜0，即a＞1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a＝0或a≥1.
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思维创新系列(一) 集合与方程的综合应用——一题多变 集合 A ＝ {x|ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 ， a∈R} 中只有一个元素， 求a的取值范围． 解：当 a＝0 时，原方程变为 2x＋1＝0，
1 即方程 ax ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 存在两个根－ 和 1 ，此时 A ＝ 3
2
1 － ，1，与 3
A＝{1}矛盾．
故不存在实数 a，使 A＝{1}．
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2．用描述法表示下列集合： (1)被 5 除余 1 的正整数集合； 2－x (2)使 y＝ 有意义的实数 x 的集合； x (3)抛物线 y＝－x2 上的所有点组成的集合．
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代表 元素的共 描述法 写出 思路点拨： ―→ ――→ 元素 同特征 集合
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解： (1) 正偶数都能被 2 整除，所以正偶数可以表示为 x ＝ 2n(n∈N*) 的 形 式 ， 于 是 这 个 集 合 可 以 表 示 为 {x|x ＝ 2n ， n∈N*}． (2)由3x－2＞4，得x＞2，故不等式的解集为{x|x＞2}． (3)第一、三象限中点(x，y)满足xy＞0，于是这个集合可以 表示为{(x，y)|xy＞0}．
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2．对描述法表示集合的理解 (1) 描述法中竖线左边的任意元素 x ，我们可以理解为集合 中的代表元素，即集合中元素的一般形式，不一定是数． (2)共同特征P(x)可以是一个表达式，也可以是一个不等式 ( 组 ) 或方程 ( 组 ) ，也可理解为集合的代表元素所满足的限制条 件．
述法表示时，可以省去竖线及其代表元素．但所有三角形的集
合不能表示为 { 所有三角形 } ，因为 “ { 有”、“全部”的意思．
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1．列举法表示集合的适用范围、注意点及优点
(1)若集合中元素的个数比较少，用列举法表示较为简单．
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(2) 在本例条件下，若 A中至少有一个元素，求 a 的取值范 围． 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，Δ＝4－4a＞0，即a＜1. ∴A中至少有一个元素时， a的取值范围为a≤1.
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【互动探究】 若将例2(3)改为“坐标平面内坐标轴上的点 组成的集合”，如何用描述法表示？ 解： 对 x 轴：纵坐标为 0 ，横坐标为任意实数；对 y 轴：横 坐标为0，纵坐标为任意实数．故坐标轴上的点满足xy＝0.用集 合表示为{(x，y)|xy＝0}．
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列举法和描述法的灵活运用 用适当的方法表示下列集合：
(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；
(3)若1∈A，则a为何值？
解：∵1∈A， ∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
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(4) 是否存在实数 a ，使 A ＝ {1}，若存在，求出 a 的值；若 不存在，说明理由．
解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即 a＝－3. 1 又当 a＝－3 时，由－3x ＋2x＋1＝0，得 x＝－3或 x＝1，
1 此时 x＝－2，符合题意； 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 为一元二次方程， Δ＝4－4a＝0，即 a＝1，原方程的解为 x＝－1，符合题意． 故当 a＝0 或 a＝1 时， 原方程只有一个解， 此时 A 中只有一 个元素．
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1．用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
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2．想一想 (1)集合{x|x＞3}与集合{t|t＞3}表示同一个集合吗？ 提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实 质上它们均表示大于 3的所有实数组成的集合，故表示同一个 集合． (2)所有三角形的集合，能否表示为{所有三角形}? 提示：在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描
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(1)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (2)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．
(2)大于10的整数组成的集合． (3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
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(1) 写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合 {x∈R|x ＜
1}不能写成{x＜1}． (2) 所有描述的内容都要写在花括号内．例如， {x∈Z|x ＝ 2k} ， k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将 k∈Z 也写进花 括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(2) 若集合中元素个数较多或无限个，且呈现一定的规律 性，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其 他元素用省略号表示． (3)“{}” 表示“所有”，“整体”的含义，如实数集 R 可以
写成{实数}，但不能写成{实数集}，{全体实数}，{R}等．
(4) 列举法的优点是可以直观表示集合中具体元素及元素的 个数，缺点是不能反映集合元素满足的特征．
他的对象，即先定性．
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1．(1)由book中的字母组成的集合． (2)方程(x－2)2＋|y＋1|＝0的解集．
解：(1)由 book 中的字母组成的集合为{b，o，k}． (2) 由 方 程 (x － 2)2 ＋ |y ＋ 1| ＝ 0
x＝2， y＝－1， x－2＝0， 可知， y＋1＝0，
即
从而方程的解集为{(2，－1)}．
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(1)所有正偶数组成的集合； (2)不等式3x－2＞4的解集； (3)在平面直角坐标系中，第一、三象限点的集合．
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复数字的数的集合．
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2 2
x＝2， ＝0，∴ y＝－3，
∴方程的解集可表示为{(2，－3)}． (3)列举法：{(0,0)，(2,0)}． (4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
第一章 集合与函数概念
第2课时
集合的表示
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解：(1)方程 x(x2－1)＝0 的实数根为 0,1，－1，故其实数根 组成的集合为{－1,0,1}．
y＝x， (2)由 y＝2x－1， x＝1， 解得 y＝1.
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(4)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
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1．列举法表示集合
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2．描述法表示集合
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都可以用列举法表示．(× ) (2)方程x2－2x＋1＝0的解集可表示为{1,1}．(× ) (3){0,1}和{(0,1)}是相同的集合．(×)
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(3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数 集时可以省略不写，例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表 示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． (5) 在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如 {直角三角形}，{自然数}等．
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【多维探究】(1)在本例条件下，若A中至多有一个元素， 求a的取值范围． 解： A 中至多含有一个元素，即 A 中有一个元素或没有元 素． 当A中只有一个元素时，由本例可知，a＝0或1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a＜0，即a＞1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a＝0或a≥1.
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思维创新系列(一) 集合与方程的综合应用——一题多变 集合 A ＝ {x|ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 ， a∈R} 中只有一个元素， 求a的取值范围． 解：当 a＝0 时，原方程变为 2x＋1＝0，