湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高一下学期入学考试数学试题

雅礼中学2021年上学期高一年级入学考试

数学

时量：120分钟 满分：150分

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ） A. {4,1}- B. {1,5} C. {3,5} D. {1,3}

D

先求出集合A ，然后再求两个集合的交集即可 由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，

又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.

此题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 2. 已知00a b >>，，则“a b >”是“11

a b b a

+>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

C

根据不等式的可加性，即可证明充分性成立；再根据作差法和不等式的性质，即可证明必要性成立. 若0a b >>，则11

b a >，所以11a b b a

+>+，充分性成立． 若11a b b a

+

>+，则110a b b a +-->，即1()10a b ab ⎛

⎫-+> ⎪⎝⎭，

又00a b >>，，所以1

10ab

+>，所以0a b ->，即a b >，必要性成立． 故“a b >”是“11

a b b a

+>+”的充要条件．故选:C .

本题主要考查了充分必要条件的判断，以及不等式性质的应用，属于基础题. 3. 如图，ABC 中，E 是AB 的中点，点F 满足2BF FC →

→

=，则EF →

=（ ）

A. 1263AB AC →→

-+

B. 1263AB AC →→

+

C. 1163AB AC →→

-+

D. 1123

AB AC →→

+

A

根据向量的运算法则计算即可．

121212232363EF EB BF AB BC AB AC AB AB AC →

→

→

→→→→→→→⎛⎫

=+=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，故选：A

4. 在同一直角坐标系中，函数1x y a =

，1log 2a y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

（0a >，且1a ≠）的图象可能是（ ） A. B.

C. D.

D

利用函数1log 2a y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2，排除AC ，利用单调性排除B ，从而可得答案.

因为函数1log 2a y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭过定点1(,0)2，故排除AC 选项；

对于B ，由图可知函数1x y a =

单调递增，可得01a <<，函数1log 2a y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭单调递增，

可得1a >，而01a <<与1a >不能同时成立，所以B 不合题意，排除B 选项.故选：D. 方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5. 已知向量()2,4a =，()1,b k =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是（ ）

A. 1,2⎛⎫

-+∞ ⎪⎝⎭

B. 1,22⎛⎫

- ⎪⎝⎭

C. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝

⎭

D. ()1,22,2⎛⎫

-⋃+∞ ⎪⎝⎭

D

利用0a b ⋅>再排除同向共线即可求出.

a 与b

的夹角为锐角，

24024

a b k k ⎧⋅=+>∴⎨≠⎩，解得12k >-且2k ≠，

即k 的取值范围是()1,22,2⎛⎫

-⋃+∞ ⎪⎝⎭

.

6. 将函数()sin 2f x x x =的

图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若

()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A. 12

π

B.

6

π

C.

4

π D.

512

π A

利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出ϕ的值． 函数sin 22sin(2)3

y x x x π

==+，

将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3

y x π

ϕ=++，

因为函数是偶函数，

∴2()()3

2

212

k k k Z k Z π

π

ππ

ϕπϕ+

=+

∈∴=

+∈． 当0k =时，12

π

ϕ=

．故选：A

结论点睛：函数sin()y A x ωϕ=+是偶函数时，,;2

k k Z π

ϕπ=+∈当函数sin()y A x ωϕ=+是奇函数

时，,.k k Z ϕπ=∈

7. 在ABC 中，a 、b 、c ，分别为ABC 的内角A 、B 、C 的对边，15a =、10b =、60A =︒.则cos B =（ ）

A. 12-

B. -

C. D

利用正弦定理有

sin sin a b

A B

=求得sin B ，又22sin cos 1B B +=且三角形中大边对大角知0A B >>，即可求cos B . 由正弦定理知：sin sin a b

A B

=，即1510sin 60sin B =︒，

∴sin B =

，又a b >，即π,0,2A B B ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，且22sin cos 1B B +=，

∴cos =

B .故选：D 关键点点睛：应用正弦定理求角的正弦值，结合三角形中内角性质--大边对大角、同角三角函数的平方关系求余弦值.

8. 已知min{,}m n 表示实数m ，n 中的较小数，若函数124()min 3log ,log f x x x ⎧⎫

=+⎨⎬⎩⎭

，当0a b

<<

时，有()()f a f b =，则 ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 16

B

首先画出函数()f x 的图象，由图象确定当有()()f a f b =时，即214

log log 3

a b ++，再根据对

数运算公式化简求值.

作出函数()f x 的图象，如图中实线所示，由()()f a f b =可知，214

log log 3a b =+，所以