二重积分积分区域的对称性

情形一:积分区域D 关于坐标轴对称

定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 就是关于y 的奇函数)时,有

(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰ 、

2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 就是关于y 的偶函数)时,有

1

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰

⎰⎰ 、

其中1D 就是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D

I xy y dxdy =

+⎰⎰,其中D 为由2

2y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对称,且

3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-

即(,)f x y 就是关于y 的奇函数,由定理1有

3()0D

f xy y dxdy +=⎰⎰

、

类似地,有:

定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则

2

2(,),(,)(,).

(,)0,(,)(,).D D

f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩

⎰⎰⎰⎰

当当

其中2D 就是由y 轴分割D 所得到的一半区域。

例 6 计算2,D

I x ydxdy =

⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。

解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且

2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数就是关于x

轴的偶函数,由对称性定理结论有:

1

1

22

2

2

20

22215

x D

D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

、 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴与y 轴都对称,则 (1)当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时,有

(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰

、

(2)当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有

1

(,)4(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰

⎰⎰

其中1D 为由x 轴与y 轴分割D 所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分()D

I x y dxdy =+

⎰⎰,其中D :1x y +≤ 、

解:如图所示,D 关于x 轴与y 轴均对称,且被积分函数关于

x 与y 就是偶函数,即有

(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=,由定理2,得

1

()4()D

D I x

y dxdy x y dxdy =

+=+⎰⎰⎰⎰

其中1D 就是D 的第一象限部分,由对称性知,

1

1

D D x dxdy y dxdy =

⎰⎰

⎰⎰

,

故1

4

()D I x y dxdy =+⎰⎰1

4()D x x dxdy =+⎰⎰1

8D x dxdy =⎰⎰4

3

=

、 情形二、积分区域D 关于原点对称

定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有

1

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰

2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有

(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰、

例8 计算二重积分

33()D

x y dxdy +⎰⎰,D 为

3y x =与y x =所围区域、

解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数3

3

(,)f x y x y =+,有

3333(,)()()()(,)f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定理7,得

33()0D

x y dxdy +=⎰⎰、 情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称

定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则 1)

(,)(,)D

D f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰;

1

2

(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰、

2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰、

3)当(,)(,)f y x f x y =时,有

1

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰

⎰⎰、

例9 求2222()D

x y I dxdy a b =+⎰⎰,D 为222

x y R +≤所围、

解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得

2222

2222()()D D

x y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰, 故 2222()D x y I dxdy a b =+⎰⎰2222

22221[()()]2D D

x y y x dxdy dxdy a b a b =+++⎰⎰⎰⎰

22

22111()()2D x y dxdy a b =++⎰⎰222200111()2R d r rdr a b

πθ=+⎰⎰

42211

(

)4

R a b

π

=

+、 类似地,可得:

定理9 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,