关于幂指函数的极限与导数的求法

目 录

目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)

2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4)

2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)

2.4.1 0

0中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0

∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9)

2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)

3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)

摘要

本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞

1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。

关键词：幂指函数；导数；极限

Abstract

This paper mainly discussed the exponential function, and the method to limit type, and the exponential function derivation method of method, sums up the composite function derivation method, logarithmic derivation method, multivariate function derivation method, and give some examples.

Keywords:exponential function; limit; derivation

1.幂指函数的概念

将形如)()(x g x f y =的函数称为幂指函数。也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义的幂指函数。

2.幂指函数的求极限

幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。不定式有00型，0∞型，∞1型,∞∞型，∞0型，在这里只讨论幂指函数00型，0∞型，∞1型这三种类型不定式的求极限问题。对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理，无穷小比较定理和洛必达法则，微分中值定理,重要极限推广到幂指型不定式的所有类型中，从而在理论上较系统的解决了幂指型不定式极限求解问题。

2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B

A 型的极限求法

定理1 存在有限的极限，A x f x x =→)(lim 0

，B x g x x =→)(lim 0

且A>0,则有

B x g x x x g x x A x f x f x x ==→→→)

(lim )(0

)](lim [)(lim

证明： 令)()(x g x f y =，由A>0，两边取对数得：

)(ln )(ln x f x g y =

从而