概率统计习题详解

概率论与数理统计习题及答案

24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛

中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第

二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有

3

0()()()i i i P B P B A P A ==∑

3312321

333699689679

6333333331515151515151515

C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为

f (x )=⎪⎩⎪

⎨⎧<≥.

100,0,100,1002x x x

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在(1)中这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】

（1） 150

2100

1001

(150)d .3

P X x x ≤==⎰

33128

[(150)]()327

p P X =>==

(2) 1223

12

4C ()33

9

p == (3) 当x <100时F （x ）=0

当x ≥100时()()d x

F x f t t -∞=⎰

100100()d ()d x

f t t f t t -∞=+⎰⎰ 2100

100100

d 1x

t t x

==-⎰ 故 1001,100

()0,

0x F x x x ⎧-≥⎪=⎨

⎪<⎩ 42.设随机变量X 的分布函数为

F (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥<≤<≤--<.3,

1,31,8.0,

11,4.0,1,

0x x x x 求X 的概率分布.

（1991研考）

【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为

1

13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立

19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为

(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； 【解】（1）{2,2}

{2|2}{2}

P X Y P X Y P Y =====

=

5

{2,2}

0.051

,0.252

{,2}

i P X Y P X i Y ====

=

===∑ {3,0}

{3|0}{0}

P Y X P Y X P X =====

=

3

{0,3}

0.011

;0.033

{0,}

j P X Y P X Y j ====

=

===∑

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,

10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）.

【解】12

201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰

2

1

3

32011 1.33x x x ⎡⎤

⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

12

22320

1

7

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

⎰

⎰⎰ 故 221()()[()].6

D X

E X E X =-=

1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

1i i X X ==∑

22222221111117

()123456,

6666662

11111191

()123456,

6666666

i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

从而 2

2

2

91735

()()[()].6212

i i

i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.

从而4

4

117()()()414,2

i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑

4

4

1

1

3535()()()4.123

i i i i D X D X D X =====⨯

=∑∑