七年级数学上册第二章有理数的运算讲义(含解析)

七年级数学上册第二章有理数的运算考试要求：
重难点：
1.理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算
2.理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算
3.能利用有理数的运算法则简化运算
4.能借助数轴比较有理数的大小
例题精讲：
模块一、有理数加法运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较
小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数加法的运算步骤：
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
①确定和的符号；
①求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.
有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a
+=+(加法交换律)
①三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
a b c a b c
++=++(加法结合律)
()()
有理数加法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式.
①带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
①多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.
①若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.
①若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
①符号相同的数可以先结合在一起.
【例1】同号两数相加
某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？
为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：
(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？
(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？
总结：__________________________________________________.
异号两数相加
（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？
(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？
(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？
总结：_______________________________________________________.
【难度】1星
【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则
【例2】计算下列各题：
(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；
(3)(一1.08)+0； (4)(
2
3
+)+(
2
3
-)
(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．
【难度】1星
【解析】利用加法法则计算。

【答案】
【巩固】计算：（1）()()()()()-+++-+-++36475
()()-⎛⎝ ⎫⎭
⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭
⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..
+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪5751432527225914
【难度】2星
【解析】利用加法交换律把同分母的分数相加，如果有分数的先化为分数再计算。

【
答
案
】
（
1
）
()()()()()-+++-+-++36475
()()()()209119111-=+-=-+-()()()()5.35.3775.32=-+=++-()()()08.1008.1008.13-=--=+-()0323232324=⎪
⎭⎫
⎝⎛-+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+()()()[]()
()()22
2749274927
22272727225-=--=+-=++-=++-+-()()()()[]
()22
222727226-=+-=++-+-()2()3()
2
()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..
【例3】（2011•乐山）小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（ ） A 、4℃ B 、9℃ C 、-1℃ D 、-9℃ 【难度】1星
【解析】原来的温度为-5℃，调高4℃，实际就是转换成有理数的加法运算． 【答案】解：-5+4=-1 故选C ．
点评：本题主要考查从实际问题抽象出有理数的加法运算．
【例4】绝对值不大于10的所有整数的和等于（ ）A 、-10 B 、0 C 、10 D 、20
【难度】2星
()()3
111411
1456743-=--=+-=++++-=）（81381381
3
3813
041432813818141432=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=++⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=()()5
151112522531491451252253149145727514925272253145753-
=⎪
⎭⎫
⎝⎛-+-+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪
⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
【解析】根据绝对值的意义，结合数轴找到所有符合条件的数，再进一步根据数的运算法则进行计算．
互为相反数的两个数的和为0．
【答案】解：绝对值不大于10的所有整数有±10，±9，±8，±7，…±1，0．共有21个．再根据互为相反数的两个数的和为0，得它们的和是0．
故选B．
点评：此类题中，符合条件的数一般是成对相反数出现的，根据互为相反数的两个数的和是0，进行计算．
【例5】已知a，b，c的位置如图，化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|= ______________
【难度】3星
【解析】先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a-b＜0，b+c＜0，c-a ＞0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：数轴
上的点右边的总比左边的大．
【答案】解：由数轴可知a＜c＜0＜b，所以a-b＜0，b+c＜0，c-a＞0，则
|a-b|+|b+c|+|c-a|=b-a-b-c+c-a=-2a．
点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情
况，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．
模块二、有理数减法运算
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数.()
a b a b
-=+-
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号（改变运算符号）
①把减数变为它的相反数（改变性质符号）
①把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
①省略加号与括号；
①利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.
为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.
【例6】 计算
【难度】1星 【解析】
【巩固】 ⑴21
(4)(3)33-+-
⑵21
(6)(9)|3|7.49.2(4)55
-+-+-+++-
⑶17
(14)(5)( 1.25)88
-+++-
⑷111
(8.5)3(6)11332
-++-+
【难度】1星
()()()()()()()0
101432.92.94.74.642.94.732.94.6=-++=-+++-++-=-++++-+-=
⑶17
(14)(5)( 1.25)88
-+++-
⑷111
(8.5)3(6)11332
-++-+
()()()531+--()702-()()()953--+()()()1264---()()()()()
8
53531-=-+-=+--()()
770702-=-+=-()()()()()
14
95953=+++=--+()()()()()()
66121261264=-+=++-=---8
-=
【例7】对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（）
A、-（-3+a）
B、-a
C、-|a+1|
D、-|a|-1
【难度】2星
【解析】负数一定小于0，可将各项化简，然后再进行判断．
【答案】解：A、-（-3+a）=3-a，a≤3时，原式不是负数，故A错误；
B、-a，当a≤0时，原式不是负数，故B错误；
C、∵-|a+1|≤0，∴当a≠-1时，原式才符合负数的要求，故C错误；
D、∵-|a|≤0，∴-|a|-1≤-1＜0，所以原式一定是负数，故D正确．
故选D．
点评：掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．
【例8】a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，a+b，a-b中，负数的个数是（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【难度】2星
【解析】在数轴上右边的数总是大于左边的数，即可确定a，b的符号，再根据有理数的加法与减法法则确定a+b，a-b的符号，从而确定负数的个数．
【答案】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a-b＜0．
则在这四个数中的负数有：a，a+b，a-b，共3个．
故选C．
点评：本题主要考查了数轴上的点的特点，右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法与减法法则．
【例9】两个数的差是负数，则这两个数一定是（）
A、被减数是正数，减数是负数
B、被减数是负数，减数是正数
C、被减数是负数，减数也是负数
D、被减数比减数小
【难度】2星
【解析】两个数的差是负数，说明是较小的数减较大的数的结果，应该是被减数比减数小．【答案】解：如果两个数的差是负数，则这两个数一定是被减数比减数小．
故选D．
点评：考查有理数的运算方法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．【例10】如果a，b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是（）
A、a＜a+b＜a-b
B、a＜a-b＜a+b
C、a+b＜a＜a-b
D、a-b＜a+b＜a
【难度】2星
【解析】首先根据b＜0来判定-b＞0，a-b＞a，a+b＜a．据此，很容易比较a，a-b，a+b的大小．
【答案】解：∵b＜0
∴-b＞0
∴a-b＞a＞a+b．
故选C．
点评：实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据，也是求差法的依据：（1）a＞b时，则a-b＞0；（2）a=b时，则a-b=0；（3）a＜b时，则a-b＜0．
模块三、有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.
有理数乘法运算律：
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba
=(乘法交换律)
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()
=(乘法结
abc a bc 合律)
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
+=+(乘法分配律)
()
a b c ab ac
有理数乘法法则的推广：
①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为
正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.
②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.
③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先
将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.
在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.
【例11】下面计算正确的是（）
A、-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80
B、12×（-5）=-50
C、（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180
D、（-36）×（-1）=-36
【难度】1星
【解析】①两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；
②任何数同0相乘，都得0．
【答案】解：A 、-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80，故本选项正确；
B 、12×（-5）=-60，故本项错误；
C 、（-9）×5×（-4）×0=0，故本项错误；
D 、（-36）×（-1）=36，故本项错误； 故选A ．
点评：（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：①当负因数有奇数个数，
积为负；②当负因数的个数为偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0．
【巩固】（- ）× =________ （-
）×（-
）=___________
分析：根据乘法算式的特点，先将符号放在一边计算两个正数的乘法，最后再加上符号，计
算出结果．符号规则：--=+，++=+，+-=-，-+=-． 【难度】1星
【解析】解：（- ）× =- × =- ；
（-
）×（-
）=
×
= ．
故答案为：- ， ．
点评：在进行有理数的乘法运算时，要灵活运用运算律．
【巩固】4113
(3)11559211
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；
()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1
1111221114
2612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭
【难度】1星
【解析】4113
(3)11559211
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；
9
113211910593-=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=
311
77
91143117137131113
1
13117111131177113117=++=⨯+⨯+⨯=⨯
⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
()()999812
512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1
1111221114
2612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭
()
16
912
1
1691245816912-=⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=++-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
()()()()10
1314182712
13
12671223124912-=+-+-=⨯
--⨯-+⨯--⨯-=
【例12】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（ ）
A 、都是负数
B 、一正一负且正数的绝对值大
C 、都是正数
D 、无法确定 【难度】2星
【解析】根据有理数的乘法法则，可知负因数为偶数个．由有理数的加法法则知，两个数相
加，其中的负数是0个或1个，且负数的绝对值小于正数的绝对值．
【答案】解：因为两个数的积是正数，所以负因数为偶数个，是0个或2个；
又∵两个有理数的和是正数，所以负数为0个或1个；
所以，这两个有理数的负数是0个，即两个数都是正数． 故选C ．
点评：本题主要考查了有理数的乘法与加法．几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【例13】 a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ） A ．0a >，b 、c 同号 B ．0b >，a 、c 异号 C ．0c >，a 、b 异号 D ．a 、b 、c 同号 【难度】2星 【答案】A
【例14】 已知|x|=3，|y|=2，且x•y＜0，则x+y 的值等于（ ） A 、5或-5 B 、1或-1 C 、5或1 D 、-5或-1 【难度】2星
【解析】先根据绝对值的性质，求出x 、y 的值，然后根据x•y ＜0，进一步确定x 、y 的值，再代值求解即可．
【答案】解：∵|x|=3，|y|=2，x•y ＜0，
∴x=3时，y=-2，则x+y=3-2=1； x=-3时，y=2，则x+y=-3+2=-1． 故选B ．
点评：此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确的判断出x 、y 的值是解答此题的关键．
【例15】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：
（1）abc ＜0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c| （3）（a-b ）（b-c ）（c-a ）＞0 （4）|a|＜1-bc 其中正确的命题有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个
【解析】对于命题①②③，先确定a、b、c的正负情况，以及a-b、b-c、a-c、c-a的正负情况就可以判断；而在命题④中要分别判断|a|与1和1-bc与1的大小情况．
【答案】解：由图可知a＜-1＜0，0＜b＜c＜1，
（1）命题abc＜0正确；
（2）在命题中a-b＜0，b-c＜0，所以|a-b|+|b-c|=-（a-b）+[-（b-c）]=-a+b-b+c=-a+c．又因为a-c＜0，所以|a-c|=-（a-c）=-a+c．左边=右边，故正确；
（3）在该命题中，因为a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，所以（a-b）（b-c）（c-a）＞0，故正确；
（4）在命题中，|a|＞1，0＜bc＜1，1-bc＜1，所以|a|＞1-bc，故该命题不正确．
所以正确的有命题①②③这三个，故选B．
点评：本题主要考查了数轴、去绝对值以及有理数的乘法等知识点；解答本题的关键是掌握
绝对值的意义：|a|= ．
模块四、有理数的除法
有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
1
a b a
b
÷=⋅，(0
b≠)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
【例16】下列关于0的说法中，正确的个数是（）
①0既不是正数，也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．
A、1
B、2
C、3
D、4
【难度】1星
【解析】根据正负数，有理数，倒数，绝对值的定义作答．
【答案】A、由正数、负数的定义可知0既不是正数，也不是负数，正确；
B、由有理数的定义可知0既是整数也是有理数，正确；
C、由倒数的定义可知0没有倒数，正确；
D、由绝对值的定义可知0的绝对值还是0，错误．
所以有3个正确．
故选C．
点评：此题考查了正负数，有理数，倒数，绝对值的定义，学生要做好这类题必须对其定义理解透彻．
【例17】-8的倒数的绝对值是（）A、8 B、 C、-8 D、
【解析】根据倒数的定义，两数的乘积为1，这两个数互为倒数，先求出-8的倒数，然后根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出所求的值．
【答案】∵-8的倒数是-，
∴|-|= ，
则-8的倒数的绝对值是．
故选B
点评：此题考查了倒数的求法及绝对值的代数意义，其中求倒数的方法就是用“1”除以这个数得到商即为这个数的倒数（0除外），绝对值的代数意义是：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0．
【例17】下列运算有错误的是（）
A、÷（-3）=3×（-3）
B、
C、8-（-2）=8+2
D、2-7=（+2）+（-7）
【难度】1星
【解析】根据有理数的运算法则判断各选项的计算过程．减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
【答案】只有A中的计算是错误的，理由：÷（-3）= ×（-）=-，3×（-3）=-9．故选A．
点评：本题主要考查了有理数的减法与除法法则．注意，乘法是除法的逆运算，加法是减法的逆运算．
【巩固】计算：
111
321
335
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-÷÷-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()
11
21035
23
⎛⎫⎛⎫
-÷-⨯-÷-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
231
(4)()
324
+÷⨯÷-；
71
()2(3)
93
-÷⨯+；
【难度】1星
【答案】111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7
12
5673310=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 615131010125-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
231(4)()324+÷⨯÷-； 71
()2(3)93
-÷⨯+；
【例19】用“＞”或“＜”填空
⑴如果0ab c >，0ac <那么b _____ 0 ；
⑵如果0a b >，0b c <那么ac _______0 .
【难度】2星
【解析】根据乘除法确定符合口诀“同号得正，异号得负” 【答案】< <
模块五、有理数的乘方
求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次幂。

注意： ()
()1n 21
n 2n 2n
2a a a a ++-=-=-
【例20】计算：（1） （2）
【难度】1星
【解析】（1）
（2）
【例21】 计算：
【难度】1星
【解析】原式 【例22】 观察下面三行数：
、、、、、…… ①
、、、、、…… ②
、、、、、…… ③
（1）第①行按什么规律排列？
n
a 3)4(-4
)2(-64)4()4()4()4(3
-=-⨯-⨯-=-16)2()2()2()2()2(4
=-⨯-⨯-⨯-=-)2()3(]2)4[()3()2(2
23-÷--+-⨯-+-)2(9)216()3(8-÷-+⨯-+-=5.57)5.4(18)3(8-=--⨯-+-=2-48-1632-64066-1830-661-24-816-32
()()()
221014
23212125
.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-
(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415
)
21125
31514503-
=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷+= ()
()()6
7
761
7651926111-
=-⨯=-⨯⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=-⨯⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
()()()
221014
23212125.0-⨯-+--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-
()33
3743611641
9
41161
41=+-=++⨯-=⨯+--÷-=
(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415
)
模块七、有理数的大小比较
【例23】（2011•临沂）下列各数中，比-1小的数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、-2
D 、2 【难度】1星
【解析】根据有理数比较大小的法则进行比较即可． 【答案】∵-1是负数， ∴-1＜0，故A 错误； ∵2＞1＞0，
∴2＞1＞0＞-1，故B 、D 错误； ∵|-2|＞|-1|，
15751257
10131011=-=-+=
∴-2＜-1，故C 正确． 故选C ．
点评：本题考查的是有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【例24】（2005•无锡）比较41,
31,21--的大小，结果正确的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
【难度】1星
【解析】根据有理数大小比较的方法即可求解． 【答案】∵- ＜0，- ＜0， ＞0，
∴ 最大； 又∵ ＞ ， ∴- ＜- ； ∴ ．
故选A ．
点评：本题考查有理数比较大小的方法：
①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； ②两个负数，绝对值大的反而小．
【例25】给出两个结论：（1）|a-b|=|b-a|，（2）
．其中（ ）
A 、只有（1）正确
B 、只有（2）正确
C 、（1）和（2）都正确
D 、（1）和（2）都不正确
【难度】1星
【解析】（1）根据绝对值的性质解得；
（2）先通分，再根据两个负数比较大小的原则进行比较．
【答案】（1）正确，∵a-b与b-a互为相反数，∴|a-b|=|b-a|；
（2）错误，∵-=-＜0，-=-＜0，
|-|＞|-|，
∴-＜-，即-＜-．
故选A．
点评：本题考查的是绝对值的性质及有理数的大小比较，熟知以下知识是解答此题的关键：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等；
（2）两个负数相比较，绝对值大的反而小．
【例26】a，b，c在数轴上的位置如图．则在- ，-a，c-b，c+a中，最大的一个是（）
A、-a
B、c-b
C、c+a
D、-
【难度】2星
【解析】先根据数轴上各点的位置确定出各数的取值范围，再根据不等式的基本性质及有理数比较大小的法则即可求解．
【答案】由图可见，-1＜a＜0，0＜b＜c＜1
∴-1＜c+a＜1，
又∵c-b＜1-0=1
∵-1＜a＜0，
∴0＜-a＜1，
∴-＞1，
∴-，-a，c-b，c+a中最大的一个是-．
故选D．
点评：本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点、不等式的基本性质，比较简单．
【27】若b＜0，则a+b，a，a-b的大小关系为（）
A、a+b＞a＞a-b
B、a-b＞a＞a+b
C、a＞a-b＞a+b
D、a-b＞a+b＞a
【难度】2星
【解析】由已知，b＜0，可得-b＞0，又a+b=a-（-b），a-b=a+（-b），由此即可得出答案．【答案】∵b＜0，∴-b＞0，
a-（-b）＜a，a＜a+（-b），
又a+b=a-（-b），a-b=a+（-b），
∴a+b＜a，a＜a-b，
即a-b＞a＞a+b．
故选：B．
点评：此题考查了有理数大小的比较，解题的关键是一个正数加上一个正数大于本身且一个正数本身小于加上一个正数．
课堂检测：
1. 式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（）
A、2+1-3+2
B、-2+1+3-2
C、2-1+3-2
D、2-1-3-2
【难度】1星
【解析】①括号前面有“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不改变；
②括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变为
相反的符号．
【答案】原式=-2+1+3-2．
故选B．
点评：本题主要考查了有理数的加减混合运算．要注意，括号前面是“-”时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号；若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括，以免发生错误；遇到多层括号一般由里到外，逐层去括号，也可由外到里．数“-”的个数．2. 计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100= 1684_______
【难度】2星
【解析】观察可得这组数是从1到100的数的绝对值的数相加，其中，3的倍数都为负数．那么这组数的和等于5050加上2×（-3-6-9…-99）．
【答案】1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100=5050-3×（1+2+3…+33）×2=5050-
=1684．
点评：解决本题的关键是得到相应规律，并利用已知结论求解．
2.请你列出一个至少有加数是正整数且和为-5的算式: _________
【难度】1星
【解析】本题属于比较开放的试题，根据加减运算的知识即可得出答案．
【答案】由题意得：有加数是正整数，且和为-5的算式可以为：3+（-8）=-5．故填：3+（-8）=-5．
点评：本题考查有理数的混合运算，属于开放题，难度不大，同学们要注意尽量列举比较简单的式子．
4. （2011•台湾）计算4 之值为何（）
A、-1.1
B、-1.8
C、-3.2
D、-3.9
【难度】1星
【解析】遇到乘除加减混合运算，应先算乘除再算加减．所以这道题应先把-1.6和2.5变成分数，然后把除法变成乘法计算后，再算减法，算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法，最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值．
【答案】原式=--× ，
=-2.5-0.7，
=（-2.5）+（-0.7），
=-3.2．
故选C．
点评：此题考查有理数的混合运算，是一道基础题．做题时注意运算顺序．
5. 下列判断：①若ab=0，则a=0或b=0；②若a2=b2，则a=b；③若ac2=bc2，则a=b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a-b）是正数．其中正确的有（）
A、①④
B、①②③
C、①
D、②③
【难度】2星
【解析】①两数之积为0，说明至少有一个数为0；
②两数的平方相等，说明两数相等，或为相反数；
③若c=0，则a，b可为任意数；
④若|a|＞|b|，（a+b）与（a-b）同号．
【答案】①若ab=0，则a=0或b=0，故正确；
②若a2=b2，则|a|=|b|，故原判断错误；
③若ac2=bc2，当c≠0时a=b，故原判断错误；
④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a-b）是正数，故正确．
故选A．
点评：主要考查了等式的基本性质的运用，要求掌握平方和绝对值的定义，并会熟练运用，当判断一个式子是否正确，最好的方法就是举出反例，能举出反例的不正确，不能举出反例的则正确．
6. 对于两个非零有理数a、b定义运算*如下：a*b= ，则（-3）*（- ）=（）
A、-3
B、
C、3
D、-
【难度】3星
【解析】根据题中给出的新定义运算法则计算．
【答案】：由题意得，（-3）*（-）= = ．
故选B．
点评：本题为信息题，要严格按照所给的方法列式运算才能算对．
课后作业：
1. 下列计算正确的是（）
A、 B、-32-（-2）3=1 C、6÷3× =6 D、-（-1）2005=3
【难度】1星
【解析】按照有理数混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的．计算过程中注意正负符号的变化．
【答案】A、-×3= -=-1，错误；
B、-32-（-2）3=-9+8=-1，错误；
C、6÷3× =2× = ，错误；
D、-（-1）2005= +1=3 ，正确．
故本题选D．
点评：本题考查的是有理数的运算能力．注意：（1）要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
2. 下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ ×5=5；（4）23=6，正确的个数有（）A、4个B、3个C、2个D、1个
【难度】1星
【解析】根据有理数的运算法则分别计算各式，再与结果比较．
【答案】（1）0-（-3）=0+3=3，错误；
（2）（-2）×|-3|=（-2）×3=-6，正确；
（3）5÷ ×5=25×5=125，错误；
（4）23=2×2×2=8，错误．
∴只有（2）正确．
故选D．
点评：本题考查了绝对值的意义，有理数的减法、乘法、乘方及乘除混合运算．牢记运算法则是解题的关键．注意：同级运算应按从左往右的顺序进行．
3. 已知|x|=0.19，|y|=0.99，且0<y
x ，则x-y 的值为（ ） A 、1.18或-1.18 B 、0.8或-1.18 C 、0.8或-0.8 D 、1.18或-0.8 【解析】|x|=0.19，则x=±0.19；|y|=0.99，则y=±0.99．由于 ＜0，所以x ，y 异号，分两种情况求代数式的值．
3. （1）计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；
（2）计算：（
）×（-42）= ________.
【答案】（1）-2-（-3）+（-8）+42=-2+3-8+16
=19-10
=9．
（2） （ ）×（-42）
= ×（-42）+ ×（-42）+（- ）×（-42）
=
-7-28+12
=-35+12
=-23．
A 、abc ＞0
B 、ab-ac ＞0
C 、（a+b ）c ＞0
D 、（a-c ）b ＞0
【难度】3星
【解析】根据图示得知，a ＜-1＜0＜b ＜1＜c ，然后根据有理数的混合运算法则进行计算．
【答案】根据图示知，a ＜-1，0＜b ＜1，1＜c ．
A 、∵a 是负数，b 、c 是正数，∴abc ＜0．故本选项错误；
B 、∵b ＜c ，a ＜0，
∴ab ＞ac ，
∴ab -ac ＞0．故本选项正确；
C 、∵a ＜-1，0＜b ＜1，1＜c ，
∴ac ＜-1，0＜bc ＜1，
∴ac+bc ＜0，即（a+b ）c ＜0．故本选项错误；
D 、∵a ＜-1，0＜b ＜1，1＜c ，
∴a -c ＜-2，
∴（a -c ）b ＜-2．故本选项错误．
故选B ．
点评：本题考查了数轴、有理数的混合运算．解答此题的关键是根据图示找出a 、b 、c 的取值范围：a ＜-1，0＜b ＜1，1＜c ．
4.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则在a+b，a-b，ab，a3，a2b3这五个数中，正数
的个数是（）
A、2
B、3
C、4
D、5
【难度】3星
【解析】首先由数轴得出a b的正负：-1＜a＜0，b＞1＞0，再根据有理数的运算法则进行计算即可得出选项．
【答案】由数轴可知-1＜a＜0，b＞1＞0，
根据有理数的加法、减法、乘法、乘方法则得：
a+b＞0，a-b＜0，ab＜0，a3＜0，a2b3＞0，
所以正数的个数是2个．
故选A．
点评：本题主要考查了有理数的加法、减法、乘法、乘方法则等知识点，解此题的关键是正确观察数轴确定a b的范围和利用法则进行计算．
6. （2009•荆门）定义a※b=a2-b，则（1※2）※3= _________
【难度】2星
【解析】按照定义的规则计算．
【答案】根据题意可知，（1※2）※3=（1-2）※3=-1※3=1-3=-2．
答案：-2．
点评：此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．
7. 如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x 为-16时，最后输出的结果y是____________
【难度】3星
【解析】先根据流程图列出算式，然后根据有理数混合运算的顺序，先算乘方再算乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
【答案】根据题意，得
[x+4-（-32）]×（-）÷（-0.5）
=（x+13）×（-）×（-2）
=
∴当x=-16时，（-16+13）÷3=-1
当x=-1时，（-1+13）÷3=4
当x=4时，（4+13）÷3= ＞5，
所以，最后输出的结果y是．
点评：本题属于信息给予题，应为运算的结果不大于5，所以要经过多次运算，才能最后输出结果．。