角平分线性质(1)

探索构建新课程理念下的课堂教学有效模式

-------“小组合作学习研究”之教案设计

学科：八年级数学教学内容：角平分线的性质(一)教师姓名：阎登峰

教学目标：角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；说出用尺规作角平分线的依据；经历用尺规作角平分线的过程；经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见

教学重难点：重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出解题方法.

课前准备：投影仪或电脑、三角板

课时安排：一课时

教学过程：

一、依托文本，自主预习：

复习：

1、三角形的内角和与外角和.多边形的内角和与外角和.

2、三角形按两类分，分为哪两类？按三类分，又是怎样分的？

3、三角形三边的关系.

4、直角三角形中两锐角的关系.

5、角平分线的定义.

6、角平分线画法.

角平分线是从一个引出的一条把角分为相等的两个角的射线.

如图：∵在∠AOB中，∠1＝∠2 ∴OC为∠AOB的角平分线

二、小组合作，分享成果：

角平分线的画法.

对折法：用轴对称的原理，把一个角沿某一直线对折，

并使角的两边能够重合，则顶点为角的顶点且过折痕的射线即为角平分线.

局限性：不方便！在黑板上画一个角的平分线是不可能对折的.

尺规作角的平分线：

观察与思考：

观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这

种作法的依据.

步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角

的两边分别交于A，B两点.

步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的

一半)为半径画弧，两弧交于点C

步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.

注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.

三、生生合作，探求新知：

角平分线的性质：

1、通过测量的形式探讨PE＝PF.

2、通过轴对称的原理探讨PE＝PF.

（注意强调：点到直线的距离是垂线.）

性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.

反之：到角两边距离相等的点在角平分线上.

应用：（小黑板）

1、探讨△ABC的三条角平分线的交点与三边的距离关系.

得结：三角平分线的交点到三边的距离相等.

用图形说明：

在△ABC中，BP平分∠ABC，

PC平分∠ACB,

∴PE＝PF＝PD

即：可以以交点为圆心，交点到某一边距离的长为半径在三角

形内作一个最大的圆.

2、如图：△ABC的外角平分线AP上有一点P,且PE⊥BE，PD⊥

AC，E、D分别为垂足，则EB＋PD＝PB吗？说明理由.

四、师生合作，把握新知：

1、已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，

点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.

2、在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF

⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点D在∠A的平分线上.

五、练习检测，评价反馈：

已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一

点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.

证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，

∴∠1=∠2(角平分线的定义).

∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，

∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).

在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO (已证)，

∠1＝∠2(已证)，

OP＝OP(公共边)，

∴△PDO≌△PEO (AAS).

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

角平分线性质定理的逆定理：引导学生自己总结

六、交流习得，巩固新知：

（一）作业：

（二）小结：

1、学会用尺规作图画角平分线.

2、认识角平分线的性质.

3、理解在三角形中三条角平分线的交点与三边的关系.

4、进行角平分线的有关应用.